河北省故城县高级中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题（含答案）

这是一份河北省故城县高级中学2022-2023学年高二上学期第一次月考数学试题（含答案），共13页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，直线与圆的位置关系是等内容，欢迎下载使用。
2022~2023学年度高中同步月考测试卷（一）高二数学测试模块：选择性必修第一册考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：空间向量与立体几何，直线与圆的方程.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线l经过点，，则直线l的倾斜角为（    ）A. B. C. D.2.若平面的法向量，直线l的方向向量，则（    ）A. B. C. D.或3.若与相外切，则（    ）A.9 B.10 C.11 D.124.已知空间内三点，，，则点A到直线的距离是（    ）A. B. C. D.5.直线与圆的位置关系是（    ）A.相离 B.相交 C.相切 D.无法确定6.已知向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标是（    ）A. B. C. D.7.在正三棱柱中，，点E是的中点，点F是上靠近点B的三等分点，则异面直线与所成角的余弦值是（    ）A. B. C. D.8.在平面直角坐标系中，，，若动点P满足，则的最大值是（    ）A. B. C. D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知直线l过点，倾斜角为，若，则直线l的方程可能是（    ）A.  B.C.  D.10.已知四边形是平行四边形，，，，则（    ）A.点D的坐标是 B.C.  D.四边形的面积是11.如图，在四棱锥中，是等边三角形，平面平面，底面是菱形，且，与交于点E，点F是的中点，则（    ）A.平面B.C.二面角的正弦值是D.与平面所成角的正弦值是12.已知点是圆上任意一点，则（    ）A.的最大值是 B.的最小值是C.的最小值是 D.的最大值是三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知，，，若，，则_______________.14.过，，，四点中的三点的一个圆的方程为____________.15.过点作的两条切线，切点分别为M，N，则__________________.16.如图，在三棱锥中，点G为底面的重心，点M是线段上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱，，于点D，E，F，若，，，则______________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）直线与直线相交于点P，直线l经过点P.（1）若直线，求直线l的方程；（2）若直线l在坐标轴上的截距相等，求直线l的方程.18.（本小题满分12分）已知正四面体的棱长为2，点G是的重心，点M是线段的中点.（1）用，，表示，并求出；（2）求.19.（本小题满分12分）已知以点为圆心的圆与直线相切，，与相交于M，N两点.（1）求的方程；（2）若，求直线与之间的距离，20.（本小题满分12分）如图，在长方体中，点M，N分别是和上的点，且，，.（1）求证：平面；（2）求平面和平面夹角的余弦值.21.（本小题满分12分）已知是边长为4的等边三角形，E，F分别是，的中点，将沿着翻折，得到四棱锥，平面平面，平面平面.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求点C到平面的距离.22.（本小题满分12分）已知的方程是，直线l经过点.（1）若直线l与相切，求直线l的方程；（2）若直线l与相交于A，B两点，与直线交于点M，求证：为定值.2022~2023学年度高中同步月考测试卷（一）·高二数学参考答案、提示及评分细则1.A  设直线l的倾斜角为，则，所以.故选A.2.D  因为，所以或.故选D.3.C  的标准方程是，圆心的坐标为，半径，的标准方程是，圆心的坐标为，半径，因为与相外切，所以，即，解得.故选C.4.A  因为，，所以，所以，所以点A到直线的距离.故选A.5.B  直线恒过定点，因为，所以点在圆的内部，所以直线与圆相交.故选B.6.C  由题意得，设向量在基底下的坐标是，则，所以解得，故选C.7.B  取的中点O，的中点，易证，，两两垂直，以点O为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，不妨设，则，所以，，，，，，因为，所以异面直线与所成角的余弦值是.故选B.8.D  设点P坐标为，由，得，整理得，所以点P的轨迹是以点为圆心，半径的圆，所以.故选D.9.AC  因为，，所以，所以直线l的斜率.当时，直线l的方程为，即；当时，直线l的方程为，即.故选AC.10.BD  不妨设点D坐标为，因为四边形是平行四边形，所以，即，所以，，，所以点D坐标为，故A错误；，故B正确；，，所以，故C错误；因为，所以四边形的面积，故D正确.故选BD11.ABD  在中，E，F分别是，的中点，所以，因为平面，平面，所以平面，故A正确；取的中点O，连结，，因为四边形是菱形，且，所以是等边三角形，所以，，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以，故B正确；因为平面平面，平面平面，，二平面，所以平面，所以，以，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，不妨设，则，，，，，，.设为平面的一个法向量，为平面的一个法向量，则取，得，，故.，取，得，，故，所以，所以二面角的正弦值是，故C错误；，，所以与平面所成角的正弦值是，故D正确.故选ABD.12.BC  圆的方程可化为，由题意可令，，则，当时，取得最大值，故A错误；，所以当时，取得最小值，故B正确；，所以当时，取得最小值，故C正确.，所以当时，取得最大值，故D错误.故选BC.（本题也可利用代数式的几何意义解答）13.  因为，，所以，，所以，，所以.14.或或或（写出其中一个方程即可得分）设圆的方程为，若过A，B，C三点，则解得，，，所以圆的方程为；若过A，B，D三点，则解得，，，所以圆的方程为；若过A，C，D三点，则解得，，，所以圆的方程为；若过B，C，D三点，则解得，，，所以圆的方程为.15.  因为，，且，，所以，由题意可得，，所以四边形的面积，又，所以.16.  由题意可知，，因为D，E，F，M四点共面，所以存在实数，，使，所以，所以，所以所以.17.解：（1）联立得即.………………………………1分因为，不妨设直线l的方程为，……………2分将点带入，得，…………3分所以直线l的方程为.…………4分（2）当直线l经过坐标原点时，直线l的方程是，即；…………6分当直线l不经过坐标原点时，设直线l的方程为，将点带入，得，所以直线l的方程为，即.…………9分综上所述，直线l的方程是或.…………………10分18.解：（1）因为点M是线段的中点，所以………2分因为，……3分所以，∴.……………………………………………………6分（2）.…………………………12分19.解：（1）由题意可知，的半径，……………………3分所以的方程是.……5分（2）设点A到直线的距离为d，则，解得.……6分因为，不妨设直线的方程为，则……………………7分，解得或，……8分所以直线的方程为或，………………9分当直线的方程为时，直线与之间的距离为；…………10分当直线的方程为时，直线与之间的距离为.……11分所以直线与之间的距离为1或3.……………………12分20.（1）证明：因为平面，平面，所以，因为，，，平面，所以平面.因为平面，所以.……………………2分因为平面，平面，所以，因为，，，平面，所以平面.因为平面，所以.………………4分因为，，平面，所以平面.…………6分（2）解：以点D为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，不妨设.则，，…………………………7分由（1）得，平面，所以平面的一个法向量是.……9分因为是平面的一个法向量，…………………………10分所以所以平面和平面夹角的余弦值为.……………………………………12分21.（1）证明：在中，E，F分别是，的中点，所以.在四棱锥中，因为，平面，平面，所以平面.……………………1分又平面，平面平面，所以，………………分因为平面，平面，所以平面.…………4分（2）解：在四棱锥中，取的中点O，的中点D，连结，，易证，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以.…………5分以点O为坐标原点，，，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，.………………6分设是平面的一个法向量，则取，得，，即，……8分所以，所以直线与平面所成角的正弦值为.………………10分（3）解：点C到平面的距离.…………12分22.（1）解：的方程化为标准形式是，圆心，半径，当直线l的斜率不存在时，此时直线l的方程为，圆心C到直线l的距离为2，所以直线l与相切，符合题意；…………2分当直线l的斜率存在时，设直线l的方程是，即，由直线l与相切，得，解得，所以直线l的方程是，即.………………4分综上所述，直线l的方程是或.…………………………5分（2）证明：因为直线l与相交于A，B两点，所以直线l的斜率存在，设直线l的方程为，联立得即点.………………7分设线段的中点为N，则，设直线的方程是，联立得即点，…………9分所以，所以为定值-12.……………………………12分