河北省深州市中学2023届高三上学期第二次月考数学试题（含答案）

深州中学高三年级第二次月考

数学试题

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知集合，则（    ）

A．         B．      C．       D．

2．若命题：“，使”是真命题，则实数m的取值范围是（    ）

A．       B．      C．     D．

3．已知，则（    ）

A．       B．      C．     D．

4．已知等差数列的各项均为正数，其前n项和为，且满足，则（    ）

A．28         B．30        C．32         D．35

5．设正项等比数列的前n项和为，若，则（    ）

A．510          B．511      C．1022        D．1023

6．已知为数列的前n项和，，则（    ）

A．2450          B．2451        C．2500         D．2501

7．已知一个定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（    ）

A．   B．   C．   D．

8．已知当时，函数的图像与函数的图像有且只有两个交点，则实数k的取值范围是（    ）

A．       B．      C．     D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知复数：满足，则（    ）

A．                   B．z的虚部为

C．z的共轭复数为     D．z是方程的一个根

10．如图所示，在正六边形ABCDEF中，下列说法正确的是（    ）

A．     B．

C．     D．在上的投影向量为

11．已知函数，则下列选项正确的有（    ）

A．函数极小值为1                       B．函数在上单调递增

C．当时，函数的最大值为   D．当时，方程恰有3个不等实根

12．大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程．己知大衍数列满足，,则（    ）

A．                    B．

C．      D．数列的前项和为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．设是等差数列，且，若，则__________．

14．若函数的图像向右平移个单位后是一个奇函数的图像，则正数的最小值为__________．

15．如图，在平行四边形ABCD中，，E为边CD的中点，，若，则__________．

16．己知函数，则的最大值为__________．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（10分）已知数列满足，数列是等差数列，且，．

（1）求数列，的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和．

18．（12分）已知数列的前n项和为，若，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设，数列的前n项和为，求．

19．（12分）己知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，__________，若，__________．请从下面的三个条件中任选一个，两个结论中任选一个，组成一个完整的问题，并给出解答．

条件：①；②；③．

结论：①求的周长的取值范围；②求的面积的最大值．

20．（12分）已知数列中，，且满足．

（1）证明：数列是等差数列，并求的通项公式；

（2）求数列的前n项和．

21．（12分）已知函数

（1）求曲线在点处的切线方程；

（2）求函数的极值点．

22．（12分）己知函数．

（1）若函数只有一个零点，求实数a的取值所构成的集合；

（2）若函数恒成立，求实数a的取值范围．

高三月考数学参考答案

1．B【详解】因为，则，

因此，．故选：B

2．C【详解】“，使”是真命题，，解得．

故选：C

3．D【详解】因为，则，则且，

所以，，故，因此，．故选：D

4．D【详解】设公差为d且，由，得，故，故选：D

5．A【详解】设正项等比数列的公比为，

则由得，

即，即，即，解得（舍去）．

由得，所以，故选：A．

6．B【详解】因为，所以

．故选：B．

7．D【详解】由题意，得则 单调递增，

又，所以当时，；

当时，．时，的解集为．

又为奇函数，为偶函数，的解集为．故选：D

8．A【详解】由题设可知，当时，与有两个交点，等价于有两个根，令，则，所以当时，，

则单调递减；当时，，则单调递增，故，

当，故；

当时，，故，如图；

所以当时，直线与的图像有两个交点，

即函数的图像与函数的图像有且只有两个交点．故选：A

9．AD【详解】因为，所以，

对A：，故选项A正确；

对B：z的虚部为，故选项B错误；

对C：z的共轭复数为，故选项C错误；

对D：因为方程的根为，

所以z是方程的一个根，故选项D正确．故选：AD

10．BCD【详解】

因为ABCDEF为正六边形，即每个内角都为，对于A，，故A错误．

对于B，连接AE，AC，CE，AD则为等边三角形，设六边形边长为a，CE中点为M，连接AM，则，所以，即，故B正确．

对于C，由B选项可知，，且，故C正确．

对于D，因为，所以在上的投影向量为，故D正确．故选：BCD

11．AC【详解】对于AB：，

在上，，单调递增，在上，，单调递减，

所以的极大值为，

的极小值为，故A正确，B错误；

对于C：由函数单调性知，在上单调递增，在上单调递减，在上递增，

且，故函数的最大值为，故C正确；

对于D：当时，时，，

且的极大值为，的极小值为，

由上述分析可知，的图象为：

由图象可得当或时，有1个实数根，

当或时，有2个实数根，

当时，有3个实数根，故D错误．故选：AC．

12．BCD【详解】对于A，，A错误：

对于B，当n为奇数时，为偶数，则，可得；

当n为偶数时，为奇数，则，可得，B正确；

对于C，当n为奇数且时

，

累加可得

时也符合；

当n为偶数且时，

累加可得

；则

，C正确；

对于D，设数列的前项和为，则，

又，D正确．故选：BCD．

13．20【详解】因为，所以，又，所以公差，从而，解得．

14．【详解】，向右平移个单位后解析式为，

则要想使得为奇函数，只需，

解得：，因为，所以，解得：，当时，正数取得最小值，所以．

15．【详解】，

，．

16．1【详解】函数

所以，当且仅当，即时等号成立，又因为，所以，所以在时单调递增，

其最大值为．

17．解：（1）因为数列满足，

所以，数列是以1为首项，公比为2的等比数列，所以，，

即数列的通项公式为，         （2分）

设等差数列的公差为d，由，

得，解得，所以，，

即数列的通项公式为           （6分）

（2）由（1）可知，所以，数列的前n项和

，

即           （10分）

18．解：（1）在中，令，得，解得，

因为，所以当时，，

两式相减，得，所以，

即，当时，符合该式，

所以，

又因为满足上式，所以数列的通项公式为．     （6分）

（2）因为，

所以

，

所以．                                         （12分）

19．解：若选条件①，则由正弦定理得，

因为的内角A，B，C，，所以，

所以，即，

又因为，所以，因此；         （6分）

若选条件②，则由正弦定理可得，

，

，可得．

又，因此；                   （6分）

若选条件③，则由余弦定理，

即，，

所以，又，

所以，又，因此；             （6分）

若选择结论①，因，所以由余弦定理可得：，所以，

解得（当且仅当时取等号）

又，所以，即，

故的周长的取值范围是；        （12分）

若选择结论②，因，所以由余弦定理可得：，

即（当且仅当时取等），

故，所以的面积，

即的面积的最大值为．          （12分）

20．（1）由于，所以，

即，所以数列是首项为，公差为3的等差数列，

所以．          （5分）

（2），           （6分）

，

，

两式相减得

，

所以．        （12分）

21．解：函数的定义域为，

，又，

∴曲线在点处的切线方程为，即          （4分）

（2）解：令，解得或，         （5分）

①当时，．

当x变化时，，变化情况如下表：

函数在和上单调递增，在上单调递减，

所以的极大值点为，极小值点为；（8分）

②当时，恒成立，

∴函数在上单调递增，函数无极值，即不存在极值点；       （9分）

③当时，．当x变化时，，变化情况如下表：

函数在和上单调递增，在上单调递减，

所以的极大值点为，极小值点为，

综上可得：当时极大值点为，极小值点为；

当时不存在极值点；

当时极大值点为，极小值点为．           （12分）

222．解：（1）当时，显然满足题意

当时，若函数只有一个零点，

即只有一个根，因为1不是方程的根，所以可转化为只有一个根，

即直线与函数（且）的图像只有一个交点．

，令，得，

在和上，，在上，，

所以在和上单调递减，在上单调递增．

在时有极小值，图像如图所示：

由图可知：若要使直线与函数的图像只有一个交点，则或，

综上．（5分）

（2）恒成立，等价于，

令   （6分）

①若时，，所以在上单调递增，

，即，满足，                （7分）

②若时，则，所以在上单调递增，

当时，，不成立，故不满足题意．     （8分）

③若时，令，

，单调递减，，单调递增，

只需即可，

，

令在上单调递增，

时，，

所以在上单调递增，，即，

综上：        （12分）