(新高考)高考数学一轮复习讲与练第4章§4.3《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》(含详解)

这是一份(新高考)高考数学一轮复习讲与练第4章§4.3《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》(含详解)，共20页。试卷主要包含了会推导两角差的余弦公式，eq \ftan 10°)等于等内容，欢迎下载使用。

知识梳理
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α－β)：
cs(α－β)＝cs αcs β＋sin αsin β；
(2)公式C(α＋β)：
cs(α＋β)＝cs αcs β－sin αsin β；
(3)公式S(α－β)：
sin(α－β)＝sin αcs β－cs αsin β；
(4)公式S(α＋β)：
sin(α＋β)＝sin αcs β＋cs αsin β；
(5)公式T(α－β)：tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan αtan β)；
(6)公式T(α＋β)：tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β).
2．辅助角公式
asin α＋bcs α＝eq \r(a2＋b2)sin(α＋φ)，其中sin φ＝eq \f(b,\r(a2＋b2))，cs φ＝eq \f(a,\r(a2＋b2)).
知识拓展
两角和与差的公式的常用变形：
(1)sin αsin β＋cs(α＋β)＝cs αcs β.
(2)cs αsin β＋sin(α－β)＝sin αcs β.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．
tan αtan β＝1－eq \f(tan α＋tan β,tanα＋β)＝eq \f(tan α－tan β,tanα－β)－1.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ )
(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cs Acs B大小不确定．( × )
(3)公式tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )
(4)eq \f(\r(3),2)sin α＋eq \f(1,2)cs α＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3))).( × )
教材改编题
1．若cs α＝－eq \f(4,5)，α是第三象限角，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))等于( )
A．－eq \f(\r(2),10) B.eq \f(\r(2),10)
C．－eq \f(7\r(2),10) D.eq \f(7\r(2),10)
答案 C
解析 ∵α是第三象限角，
∴sin α＝－eq \r(1－cs2α)＝－eq \f(3,5)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝sin αcs eq \f(π,4)＋cs αsin eq \f(π,4)＝－eq \f(3,5)×eq \f(\r(2),2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×eq \f(\r(2),2)＝－eq \f(7\r(2),10).
2．计算：sin 108°cs 42°－cs 72°sin 42°＝ .
答案 eq \f(1,2)
解析 原式＝sin(180°－72°)cs 42°－cs 72°sin 42°
＝sin 72°cs 42°－cs 72°sin 42°
＝sin(72°－42°)
＝sin 30°＝eq \f(1,2).
3．若tan α＝eq \f(1,3)，tan(α＋β)＝eq \f(1,2)，则tan β＝ .
答案 eq \f(1,7)
解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]
＝eq \f(tanα＋β－tan α,1＋tanα＋βtan α)
＝eq \f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq \f(1,7).
题型一 两角和与差的三角函数公式
例1 (1)(2022·包头模拟)已知cs α＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝1，则cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))等于( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(\r(2),2) D.eq \f(\r(3),3)
答案 D
解析 ∵cs α＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,3)))＝1，
∴cs α＋eq \f(1,2)cs α＋eq \f(\r(3),2)sin α＝eq \f(3,2)cs α＋eq \f(\r(3),2)sin α
＝eq \r(3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)cs α＋\f(1,2)sin α))
＝eq \r(3)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝1，
∴cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α－\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),3).
(2)化简：①sin x＋eq \r(3)cs x＝ .
答案 2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3)))
解析 sin x＋eq \r(3)cs x＝2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin x＋\f(\r(3),2)cs x))
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,3))).
②eq \f(\r(2),4)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＋eq \f(\r(6),4)cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＝ .
答案 eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)－x))
解析 原式＝eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))＋\f(\r(3),2)cs\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x))))
＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－x＋\f(π,3)))
＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7π,12)－x)).
教师备选
1．(2020·全国Ⅲ)已知sin θ＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))＝1，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))等于( )
A.eq \f(1,2) B.eq \f(\r(3),3) C.eq \f(2,3) D.eq \f(\r(2),2)
答案 B
解析 因为sin θ＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,3)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)－\f(π,6)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)＋\f(π,6)))
＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))cs eq \f(π,6)－cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))sin eq \f(π,6)＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))cs eq \f(π,6)＋cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))sin eq \f(π,6)
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))cs eq \f(π,6)＝eq \r(3)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝1.
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),3).
2．已知sin α＝eq \f(3,5)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，tan(π－β)＝eq \f(1,2)，则tan(α－β)的值为( )
A．－eq \f(2,11) B.eq \f(2,11) C.eq \f(11,2) D．－eq \f(11,2)
答案 A
解析 ∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
∴cs α＝－eq \f(4,5)，tan α＝－eq \f(3,4)，
又tan(π－β)＝eq \f(1,2)，
∴tan β＝－eq \f(1,2)，
∴tan(α－β)＝eq \f(tan α－tan β,1＋tan α·tan β)＝eq \f(－\f(3,4)＋\f(1,2),1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,4)))×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝－eq \f(2,11).
思维升华 两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α，β的三角函数表示α±β的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
跟踪训练1 (1)函数y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))的最小值为( )
A.eq \r(2) B．－2
C．－eq \r(2) D.eq \r(3)
答案 C
解析 y＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))
＝sin 2xcs eq \f(π,4)＋cs 2xsin eq \f(π,4)＋sin 2xcs eq \f(π,4)－cs 2xsin eq \f(π,4)＝eq \r(2)sin 2x.
∴y的最小值为－eq \r(2).
(2)已知cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \r(3)cs α，tan β＝eq \f(\r(3),3)，则tan(α＋β)＝ .
答案 －eq \f(\r(3),3)
解析 因为cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(\r(3),2)cs α－eq \f(1,2)sin α＝eq \r(3)cs α，所以－sin α＝eq \r(3)cs α，故tan α＝－eq \r(3)，
所以tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \f(－\r(3)＋\f(\r(3),3),1＋\r(3)×\f(\r(3),3))
＝eq \f(－\f(2\r(3),3),2)＝－eq \f(\r(3),3).
题型二 两角和与差的三角函数公式的逆用与变形
例2 (1)(多选)已知α，β，γ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，sin α＋sin γ＝sin β，cs β＋cs γ＝cs α，则下列说法正确的是( )
A．cs(β－α)＝eq \f(1,2)
B．cs(β－α)＝eq \f(1,3)
C．β－α＝－eq \f(π,3)
D．β－α＝eq \f(π,3)
答案 AD
解析 由题意知，sin γ＝sin β－sin α，
cs γ＝cs α－cs β，
将两式分别平方后相加，
得1＝(sin β－sin α)2＋(cs α－cs β)2
＝2－2(sin βsin α＋cs βcs α)，
∴cs(β－α)＝eq \f(1,2)，即选项A正确，B错误；
∵γ∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∴sin γ＝sin β－sin α>0，
∴β>α，而α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，
∴0c B．b>a>c
C．c>a>b D．a>c>b
答案 D
解析 由两角和与差的正、余弦公式及诱导公式，可得
a＝cs 50°cs 127°＋cs 40°cs 37°
＝cs 50°cs 127°＋sin 50°sin 127°
＝cs(50°－127°)＝cs(－77°)
＝cs 77°＝sin 13°，
b＝eq \f(\r(2),2)(sin 56°－cs 56°)
＝eq \f(\r(2),2)sin 56°－eq \f(\r(2),2)cs 56°
＝sin(56°－45°)
＝sin 11°，
c＝eq \f(1－tan239°,1＋tan239°)
＝eq \f(1－\f(sin239°,cs239°),1＋\f(sin239°,cs239°))
＝cs239°－sin239°
＝cs 78°＝sin 12°.
因为函数y＝sin x在x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上单调递增，
所以sin 13°>sin 12°>sin 11°，
所以a>c>b.
(2)(1＋tan 20°)(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)(1＋tan 25°)＝ .
答案 4
解析 (1＋tan 20°)(1＋tan 25°)＝1＋tan 20°＋tan 25°＋tan 20°tan 25°＝1＋tan(20°＋25°)(1－tan 20°tan 25°)＋tan 20°tan 25°＝2，同理可得(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝2，所以原式＝4.
题型三 角的变换问题
例3 (1)已知α，β∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(5π,6)))，若sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝eq \f(4,5)，cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(5π,6)))＝eq \f(5,13)，则sin(α－β)的值为( )
A.eq \f(16,65) B.eq \f(33,65)
C.eq \f(56,65) D.eq \f(63,65)
答案 A
解析 由题意可得α＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
β－eq \f(5π,6)∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，0))，
所以cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))＝－eq \f(3,5)，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(5π,6)))＝－eq \f(12,13)，
所以sin(α－β)＝－sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,6)))－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(β－\f(5π,6)))))
＝－eq \f(4,5)×eq \f(5,13)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,5)))×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(12,13)))
＝eq \f(16,65).
(2)(2022·青岛模拟)若tan(α＋2β)＝2，tan β＝－3，则tan(α＋β)＝ ，tan α＝ .
答案 －1 eq \f(1,2)
解析 ∵tan(α＋2β)＝2，
tan β＝－3，
∴tan(α＋β)＝tan(α＋2β－β)
＝eq \f(tanα＋2β－tan β,1＋tanα＋2βtan β)
＝eq \f(2－－3,1＋2×－3)
＝－1.
tan α＝tan(α＋β－β)
＝eq \f(－1－－3,1＋－1×－3)＝eq \f(1,2).
教师备选
(2022·华中师范大学第一附属中学月考)已知α，β为锐角，tan α＝eq \f(4,3)，cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5).
(1)求cs 2α的值；
(2)求tan(α－β)的值．
解 (1)因为tan α＝eq \f(4,3)，
tan α＝eq \f(sin α,cs α)，
所以sin α＝eq \f(4,3)cs α.
因为sin2α＋cs2α＝1，
所以cs2α＝eq \f(9,25)，
因此，cs 2α＝2cs2α－1＝－eq \f(7,25).
(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．
又因为cs(α＋β)＝－eq \f(\r(5),5)，
所以sin(α＋β)＝eq \r(1－cs2α＋β)＝eq \f(2\r(5),5)，
因此tan(α＋β)＝－2.
因为tan α＝eq \f(4,3)，
所以tan 2α＝eq \f(2tan α,1－tan2α)＝－eq \f(24,7)，
因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]
＝eq \f(tan 2α－tanα＋β,1＋tan 2αtanα＋β)
＝－eq \f(2,11).
思维升华 常用的拆角、配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝eq \f(α＋β,2)－eq \f(α－β,2)＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；eq \f(π,4)＋α＝eq \f(π,2)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))等．
跟踪训练3 (1)已知sin α＝eq \f(\r(5),5)，sin(α－β)＝－eq \f(\r(10),10)，α，β均为锐角，则β＝ .
答案 eq \f(π,4)
解析 因为α，β均为锐角，
所以－eq \f(π,2)