(新高考)高考数学一轮复习讲与练第7章§7.1《基本立体图形、简单几何体的表面积与体积》(含详解)

这是一份(新高考)高考数学一轮复习讲与练第7章§7.1《基本立体图形、简单几何体的表面积与体积》(含详解)，共22页。试卷主要包含了直观图，柱、锥、台、球的表面积和体积，04－3等内容，欢迎下载使用。

考试要求 1.认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.知道球、棱(圆)柱、棱(圆)锥、棱(圆)台的表面积和体积的计算公式，并能解决简单的实际问题.3.能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图．
知识梳理
1．空间几何体的结构特征
(1)多面体的结构特征
(2)旋转体的结构特征
2.直观图
(1)画法：常用斜二测画法．
(2)规则：
①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．
②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．
3．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
4.柱、锥、台、球的表面积和体积
常用结论
1．与体积有关的几个结论
(1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差．
(2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等．
2．直观图与原平面图形面积间的关系：S直观图＝eq \f(\r(2),4)S原图形．
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．( × )
(2)用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．( √ )
(3)菱形的直观图仍是菱形．( × )
(4)两个球的体积之比等于它们的半径比的平方．( × )
教材改编题
1．如图，长方体ABCD－A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，剩下的几何体是( )
A．棱台 B．四棱柱
C．五棱柱 D．六棱柱
答案 C
2．已知圆锥的表面积等于12π cm2，其侧面展开图是一个半圆，则底面圆的半径为( )
A．1 cm B．2 cm C．3 cm D.eq \f(3,2) cm
答案 B
解析 设圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，因为侧面展开图是一个半圆，所以πl＝2πr，即l＝2r，所以πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r＝2.
3．如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．
答案 1∶47
解析 设长方体的相邻三条棱长分别为a，b，c，它截出的棱锥的体积为V1＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)a×eq \f(1,2)b×
eq \f(1,2)c＝eq \f(1,48)abc，剩下的几何体的体积V2＝abc－eq \f(1,48)abc＝eq \f(47,48)abc，所以V1∶V2＝1∶47.
题型一 基本立体图形
命题点1 结构特征
例1 下列命题正确的是( )
A．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线
B．直角三角形绕其任意一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥
C．棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等
D．直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台
答案 D
解析 A不一定，只有当这两点的连线垂直于底面时才是母线；
B不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥．如图所示，它是由两个同底圆锥组成的几何体；
C错误，棱台的上、下底面相似且对应边互相平行．棱台的各侧棱延长线交于一点，但是这些侧棱的长不一定相等．
教师备选
(多选)下列说法错误的是( )
A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的多面体是棱锥
B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
答案 ABC
解析 选项A，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，即其余各面的三角形必须有公共的顶点，故A错误；选项B，棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，因为它的侧棱延长后不一定交于一点，故B错误；选项C，当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；选项D，若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确．
思维升华 空间几何体结构特征的判断技巧
(1)紧扣结构特征是判断的关键，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．
(2)说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可．
命题点2 直观图
例2 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．
答案 2＋eq \f(\r(2),2)
解析 DC＝ABsin 45°＝eq \f(\r(2),2)，
BC＝ABcs 45°＋AD＝eq \f(\r(2),2)＋1，
S梯形ABCD＝eq \f(1,2)(AD＋BC)·DC
＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2＋\f(\r(2),2)))×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),2)＋eq \f(1,4)，
S＝eq \f(4,\r(2))S梯形ABCD＝2＋eq \f(\r(2),2).
教师备选
(2022·益阳调研)如图，一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45°的等腰梯形，已知直观图OA′B′C′的面积为4，则该平面图形的面积为( )
A.eq \r(2) B．4eq \r(2) C．8eq \r(2) D．2eq \r(2)
答案 C
解析 由S原图形＝2eq \r(2)S直观图，得S原图形＝2eq \r(2)×4＝8eq \r(2).
思维升华 (1)在斜二测画法中，要确定关键点及关键线段．平行于x轴的线段平行性不变，长度不变；平行于y轴的线段平行性不变，长度减半．
(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积的关系：S直观图＝
eq \f(\r(2),4)S原图形．
命题点3 展开图
例3 如图所示的扇形是某个圆锥的侧面展开图，已知扇形所在圆的半径R＝eq \r(5)，扇形弧长l＝4π，则该圆锥的表面积为( )
A．2π
B．(4＋2eq \r(5))π
C．(3＋eq \r(5))π
D．8π＋eq \r(5)
答案 B
解析 设圆锥底面圆的半径为r，则2πr＝4π，解得r＝2，
∴圆锥的表面积S表＝S底面圆＋S侧＝πr2＋eq \f(1,2)lR＝π×22＋eq \f(1,2)×4π×eq \r(5)＝(4＋2eq \r(5))π.
教师备选
(2020·浙江)已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径(单位：cm)是________．
答案 1
解析 如图，设圆锥的母线长为l，底面半径为r，
则圆锥的侧面积S侧＝πrl＝2π，
∴r·l＝2.
又圆锥侧面展开图为半圆，
∴eq \f(1,2)πl2＝2π，
∴l＝2，∴r＝1.
思维升华 多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状．
跟踪训练1 (1)(多选)给出下列命题，其中真命题是( )
A．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
B．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直
C．在四棱柱中，若过相对侧棱的两个截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
D．存在每个面都是直角三角形的四面体
答案 BCD
解析 A不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等；
B正确，若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则三个侧面构成的三个二面角都是直二面角；
C正确，因为过相对侧棱的两个截面的交线平行于侧棱，又两个截面都垂直于底面，故该四棱柱为直四棱柱；
D正确，如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中的三棱锥C1－ABC，四个面都是直角三角形．
(2)(2022·泰安模拟)已知水平放置的△ABC按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝eq \f(\r(3),2)，那么△ABC是一个( )
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．钝角三角形
答案 A
解析 根据斜二测画法还原△ABC在直角坐标系中的图形，如图，
则BC＝B′C′＝2，AO＝2A′O′＝eq \r(3)，
AC＝AB＝eq \r(\r(3)2＋12)＝2，
所以△ABC是一个等边三角形．
(3)(2022·蚌埠模拟)如图，在水平地面上的圆锥形物体的母线长为12，底面圆的半径等于4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥侧面爬行一周后回到点P处，则小虫爬行的最短路程为( )
A．12eq \r(3) B．16 C．24 D．24eq \r(3)
答案 A
解析 如图，设圆锥侧面展开扇形的圆心角为θ，
则由题意可得2π×4＝12θ，
则θ＝eq \f(2π,3)，
在△POP′中，OP＝OP′＝12，
则小虫爬行的最短路程为
PP′＝eq \r(122＋122－2×12×12×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2))))＝12eq \r(3).
题型二 表面积与体积
命题点1 表面积
例4 (1)(2022·济南调研)如图，四面体的各个面都是边长为1的正三角形，其三个顶点在一个圆柱的下底面圆周上，另一个顶点是上底面的圆心，则圆柱的表面积是( )
A.eq \f(\r(2)＋2π,3) B.eq \f(9\r(2)＋8π,12)
C.eq \f(2\r(2)＋1π,3) D.eq \f(\r(2)＋2π,2)
答案 C
解析 如图所示，过点P作PE⊥平面ABC，E为垂足，点E为等边三角形ABC的中心，连接AE并延长，交BC于点D.
AE＝eq \f(2,3)AD，AD＝eq \f(\r(3),2)，
∴AE＝eq \f(2,3)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),3)，
∴PE＝eq \r(PA2－AE2)＝eq \f(\r(6),3).
设圆柱底面半径为r，则r＝AE＝eq \f(\r(3),3)，
∴圆柱的侧面积S1＝2πr·PE＝2π×eq \f(\r(3),3)×eq \f(\r(6),3)＝eq \f(2\r(2)π,3)，
底面积S2＝πr2×2＝π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)))2×2＝eq \f(2π,3)，
∴圆柱的表面积S＝S1＋S2＝eq \f(2\r(2)π,3)＋eq \f(2π,3)
＝eq \f(2\r(2)＋1π,3).
(2)(2022·南京质检)如图所示，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2eq \r(2)，AD＝2，则四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积为________．
答案 (60＋4eq \r(2))π
解析 由题意可得，四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体为圆台上面挖去一个圆锥的组合体．如图，过C作CE⊥AD交AD的延长线于E，过C作AB的垂线，垂足为F.
则∠EDC＝180°－∠ADC＝45°，
EC＝CD·sin 45°＝2，ED＝CD·cs 45°＝2，
CF＝AE＝4，BF＝AB－AF＝3，BC＝eq \r(32＋42)＝5.
故圆台的上底面半径r＝2，
下底面半径R＝5，高h＝4，母线长l2＝5.
圆锥底面半径r＝2，高h＝2，母线长l1＝2eq \r(2).
所以圆台侧面积
S1＝π(R＋r)l2＝π(5＋2)×5＝35π，
圆锥侧面积
S2＝eq \f(1,2)×2πr×l1＝eq \f(1,2)×2π×2×2eq \r(2)＝4eq \r(2)π，
圆台下底面面积S3＝πR2＝25π.
故该几何体的表面积
S＝S1＋S2＋S3＝35π＋4eq \r(2)π＋25π
＝(60＋4eq \r(2))π.
教师备选
已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为( )
A．12eq \r(2)π B．12π
C．8eq \r(2)π D．10π
答案 B
解析 设圆柱的轴截面的边长为x，
则由x2＝8，得x＝2eq \r(2)，
∴S圆柱表＝2S底＋S侧＝2×π×(eq \r(2))2＋2π×eq \r(2)×2eq \r(2)＝12π.
思维升华 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和．
(2)旋转体的表面积是将其展开后，展开图的面积与底面面积之和．
(3)组合体的表面积求解时注意对衔接部分的处理．
命题点2 体积
例5 (1)(2021·新高考全国Ⅱ)正四棱台的上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，则其体积为( )
A．20＋12eq \r(3) B．28eq \r(2)
C.eq \f(56,3) D.eq \f(28\r(2),3)
答案 D
解析 作出图形，连接该正四棱台上、下底面的中心，如图，
因为该四棱台上、下底面的边长分别为2,4，侧棱长为2，
所以该棱台的高h＝eq \r(22－2\r(2)－\r(2)2)＝eq \r(2)，
下底面面积S1＝16，上底面面积S2＝4，
所以该棱台的体积V＝eq \f(1,3)h(S1＋S2＋eq \r(S1S2))＝eq \f(1,3)×eq \r(2)×(16＋4＋eq \r(64))＝eq \f(28\r(2),3).
(2)(2020·新高考全国Ⅱ)棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为棱BB1，AB的中点，则三棱锥A1－D1MN的体积为________．
答案 1
解析 如图，由正方体棱长为2，
得 SKIPIF 1 < 0 ＝2×2－2×eq \f(1,2)×2×1－eq \f(1,2)×1×1＝eq \f(3,2)，
又易知D1A1为三棱锥D1－A1MN的高，且D1A1＝2，
SKIPIF 1 < 0
＝eq \f(1,3)· SKIPIF 1 < 0 ·D1A1＝eq \f(1,3)×eq \f(3,2)×2＝1.
(3)(2022·大同模拟)《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功”有如下的问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？”意思为：今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)，下底面宽AD＝3丈，长AB＝4丈，上棱EF＝2丈，EF与平面ABCD平行，EF与平面ABCD的距离为1丈，则它的体积是( )
A．4立方丈 B．5立方丈
C．6立方丈 D．8立方丈
答案 B
解析 如图，过E作EG⊥平面ABCD，垂足为G，过F作FH⊥平面ABCD，垂足为H，过G作PQ∥AD，交AB于Q，交CD于P，过H作MN∥BC，交AB于N，交CD于M，由图形的对称性可知，AQ＝BN＝1，QN＝2，且四边形AQPD与四边形NBCM都是矩形．
则它的体积
V＝VE－AQPD＋VEPQ－FMN＋VF－NBCM
＝eq \f(1,3)·EG·S矩形AQPD＋S△EPQ·NQ＋eq \f(1,3)·FH·S矩形NBCM
＝eq \f(1,3)×1×1×3＋eq \f(1,2)×3×1×2＋eq \f(1,3)×1×1×3
＝5(立方丈)．
教师备选
(2022·佛山模拟)如图所示，在直径AB＝4的半圆O内作一个内接直角三角形ABC，使∠BAC＝30°，将图中阴影部分，以AB为旋转轴旋转180°形成一个几何体，则该几何体的体积为______．
答案 eq \f(10,3)π
解析 如图，过点C作CD⊥AB于点D.
在Rt△ABC中，AC＝ABcs 30°＝2eq \r(3)，
CD＝eq \f(1,2)AC＝eq \r(3)，
AD＝ACcs 30°＝3，BD＝AB－AD＝1，
将图中阴影部分，以AB为旋转轴旋转180°形成一个几何体，该几何体是以AB为直径的半个球中间挖去两个同底的半圆锥，
故所求几何体的体积为
V＝eq \f(1,2)×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(4,3)π×23－\f(1,3)×π×\r(3)2×3＋1))
＝eq \f(10,3)π.
思维升华 求空间几何体的体积的常用方法
跟踪训练2 (1)(多选)(2022·武汉质检)等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可以为( )
A.eq \r(2)π B．(1＋eq \r(2))π
C．2eq \r(2)π D．(2＋eq \r(2))π
答案 AB
解析 如果是绕直角边旋转，则形成圆锥，圆锥底面半径为1，高为1，母线就是直角三角形的斜边，长为eq \r(2)，所以所形成的几何体的表面积S＝π×1×eq \r(2)＋π×12＝(eq \r(2)＋1)π；如果绕斜边旋转，则形成的是上、下两个圆锥．圆锥的半径是直角三角形斜边上的高，所以圆锥的半径为eq \f(\r(2),2)，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是1，所以形成的几何体的表面积S′＝2×π×eq \f(\r(2),2)×1＝eq \r(2)π.综上可知，形成几何体的表面积是(eq \r(2)＋1)π或eq \r(2)π.
(2)(2022·天津和平区模拟)已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则三棱锥A－B1CD1的体积为( )
A.eq \f(4,3) B.eq \f(8,3) C．4 D．6
答案 B
解析 如图，三棱锥A－B1CD1是由正方体ABCD－A1B1C1D1截去四个小三棱锥A－A1B1D1，C－B1C1D1，B1－ABC，D1－ACD，
又 SKIPIF 1 < 0 ＝23＝8，
SKIPIF 1 < 0
＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×23＝eq \f(4,3)，
所以 SKIPIF 1 < 0 ＝8－4×eq \f(4,3)＝eq \f(8,3).
课时精练
1．(2021·新高考全国Ⅰ)已知圆锥的底面半径为eq \r(2)，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为( )
A．2 B．2eq \r(2) C．4 D．4eq \r(2)
答案 B
解析 设圆锥的母线长为l，因为该圆锥的底面半径为eq \r(2)，所以2π×eq \r(2)＝πl，解得l＝2eq \r(2).
2．(2022·惠州调研)在我国古代数学名著《数学九章》中有这样一个问题：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠本两周，上与木齐，问葛长几何？”意思是“圆木长2丈4尺，圆周长为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”(注：1丈等于10尺)，则这个问题中，葛藤长的最小值为( )
A．2丈4尺 B．2丈5尺
C．2丈6尺 D．2丈8尺
答案 C
解析 如图，由题意，圆柱的侧面展开图是矩形，一条直角边(即圆木的高)长24尺，另一条直角边长5×2＝10(尺)，因此葛藤长的最小值为eq \r(242＋102)＝26(尺)，即为2丈6尺．
3．在梯形ABCD中，∠ABC＝eq \f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，则将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的表面积为( )
A．(5＋eq \r(2))π
B．(4＋eq \r(2))π
C．(5＋2eq \r(2))π
D．(3＋eq \r(2))π
答案 A
解析 如图所示，梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为AB＝1，高为BC＝2的圆柱挖去一个底面半径为AB＝1，高为BC－AD＝2－1＝1的圆锥，
∴该几何体的表面积S＝π×12＋2π×1×2＋π×1×eq \r(12＋12)＝(5＋eq \r(2))π.
4．(2022·武汉模拟)玉琮是一种内圆外方的筒型玉器，它与玉璧、玉圭、玉璋、玉璜、玉琥被称为“六器”，是古人用于祭祀神祇的一种礼器．《周礼》中载有“以玉作六器，以礼天地四方，以苍璧礼天，以黄琮礼地”等文．如图为齐家文化玉琮，该玉琮中方内空，形状对称，圆筒内径2.0 cm，外径2.4 cm，筒高6.0 cm，方高4.0 cm，则其体积约为(单位：cm3)( )
A．23.04－3.92π B．34.56－3.92π
C．34.56－3.12π D．23.04－3.12π
答案 D
解析 由题图可知，组合体由圆柱、长方体构成，
组合体的体积为V＝2×π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2.4,2)))2＋4×2.4×2.4－π×12×6＝23.04－3.12π.
5．(2022·常德模拟)正多面体被古希腊圣哲认为是构成宇宙的基本元素，加上它们的多种变体，一直是科学、艺术、哲学灵感的源泉之一．如图，该几何体是一个棱长为2的正八面体，则此正八面体的体积与表面积之比为( )
A.eq \f(\r(6),18) B.eq \f(\r(6),9) C.eq \f(\r(6),12) D.eq \f(\r(6),3)
答案 B
解析 取BC的中点G，连接EG，BD，取BD的中点O，连接EO，如图，由棱长为2，可得正八面体上半部分的斜高为EG＝eq \r(22－12)＝eq \r(3)，高为EO＝eq \r(3－1)＝eq \r(2)，
则正八面体的体积为
V＝2×eq \f(AB·BC·EO,3)＝2×eq \f(2×2×\r(2),3)＝eq \f(8\r(2),3)，
其表面积为
S＝8×eq \f(EG·BC,2)＝8×eq \f(\r(3)×2,2)＝8eq \r(3)，
∴此正八面体的体积与表面积之比为eq \f(\r(6),9).
6．(多选)(2022·烟台调研)在一个密闭透明的圆柱筒内装一定体积的水，将该圆柱筒分别竖直、水平、倾斜放置时，指出圆柱桶内的水平面可以呈现出的几何形状可能是( )
A．圆面
B．矩形面
C．梯形面
D．椭圆面或部分椭圆面
答案 ABD
解析 将圆柱桶竖放，水平面为圆面；将圆柱桶斜放，水平面为椭圆面或部分椭圆面；将圆柱桶水平放置，水平面为矩形面，但圆柱桶内的水平面不可以呈现出梯形面．
7．(多选)下列说法正确的是( )
A．圆柱的每个轴截面都是全等的矩形
B．棱柱的两个互相平行的面一定是棱柱的底面
C．棱台的侧面是等腰梯形
D．用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面
答案 AD
解析 A正确；B不正确，例如六棱柱的相对侧面也互相平行；C不正确，棱台的侧棱长可能不相等；D正确，用一个平面截一个球，得到的截面是一个圆面．
8．(多选)(2022·邯郸模拟)攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为θ，这个角接近30°，若取θ＝30°，侧棱长为eq \r(21)米，则( )
A．正四棱锥的底面边长为6米
B．正四棱锥的底面边长为3米
C．正四棱锥的侧面积为24eq \r(3)平方米
D．正四棱锥的侧面积为12eq \r(3)平方米
答案 AC
解析 如图，在正四棱锥S－ABCD中，O为正方形ABCD的中心，H为AB的中点，
则SH⊥AB，设底面边长为2a.
因为∠SHO＝30°，
所以OH＝AH＝a，OS＝eq \f(\r(3),3)a，SH＝eq \f(2\r(3),3)a.
在Rt△SAH中，a2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(3),3)a))2＝21，
解得a＝3，所以正四棱锥的底面边长为6米，侧面积为S＝eq \f(1,2)×6×2eq \r(3)×4＝24eq \r(3)(平方米)．
9．如图是水平放置的正方形ABCO，在平面直角坐标系Oxy中，点B的坐标为(2,2)，则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．
答案 eq \f(\r(2),2)
解析 利用斜二测画法作正方形ABCO的直观图如图，
在坐标系O′x′y′中，B′C′＝1，∠x′C′B′＝45°.
过点B′作x′轴的垂线，垂足为点D′.
在Rt△B′D′C′中，
B′D′＝B′C′sin 45°＝1×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(\r(2),2).
10.在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱的底面直径为40 cm，母线长最短50 cm，最长80 cm，则斜截圆柱的侧面面积S＝________cm2.
答案 2 600π
解析 将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱，则圆柱的侧面展开图为矩形．由题意得所求侧面展开图的面积S＝eq \f(1,2)×(π×40)×(50＋80)＝2 600π(cm2)．
11.(2020·江苏)如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm，高为2 cm，内孔半径为0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是________cm3.
答案 12eq \r(3)－eq \f(π,2)
解析 螺帽的底面正六边形的面积
S＝6×eq \f(1,2)×22×sin 60°＝6eq \r(3)(cm2)，
正六棱柱的体积V1＝6eq \r(3)×2＝12eq \r(3)(cm3)，
圆柱的体积V2＝π×0.52×2＝eq \f(π,2)(cm3)，
所以此六角螺帽毛坯的体积
V＝V1－V2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(12\r(3)－\f(π,2)))cm3.
12．(2022·佛山质检)已知圆锥的顶点为S，底面圆周上的两点A，B满足△SBA为等边三角形，且面积为4eq \r(3)，又知圆锥轴截面的面积为8，则圆锥的侧面积为________．
答案 8eq \r(2)π
解析 设圆锥的母线长为l，由△SAB为等边三角形，且面积为4eq \r(3)，
所以eq \f(1,2)l2sin eq \f(π,3)＝4eq \r(3)，
解得l＝4；
又设圆锥底面半径为r，高为h，
则由轴截面的面积为8，得rh＝8；
又r2＋h2＝16，
解得r＝h＝2eq \r(2)，所以圆锥的侧面积
S＝πrl＝π×2eq \r(2)×4＝8eq \r(2)π.
13．鲁班锁(也称孔明锁、难人木、六子联方)起源于古代中国建筑的榫卯结构．如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为( )
图1 图2
A．8(6＋6eq \r(2)＋eq \r(3)) B．6(8＋8eq \r(2)＋eq \r(3))
C．8(6＋6eq \r(3)＋eq \r(2)) D．6(8＋8eq \r(3)＋eq \r(2))
答案 A
解析 由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为2＋2eq \r(2)的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为eq \r(2)，则该几何体的表面积为
S＝6×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2＋2\r(2)2－4×\f(1,2)×\r(2)×\r(2)))＋8×eq \f(1,2)×2×eq \r(3)＝8(6＋6eq \r(2)＋eq \r(3))．
14．(2022·南京模拟)小张周末准备去探望奶奶，到商店买了一盒点心，为了美观起见，售货员用彩绳对点心盒做了一个捆扎(如图①所示)，并在角上配了一个花结．彩绳与长方体点心盒均相交于棱的四等分点处．设这种捆扎方法所用绳长为l1，一般的十字捆扎(如图②所示)所用绳长为l2.若点心盒的长、宽、高之比为2∶2∶1，则eq \f(l1,l2)的值为________．
图① 图②
答案 eq \f(\r(2),2)
解析 ∵点心盒的长、宽、高之比是2∶2∶1，
∴设点心盒的长、宽、高分别为4a,4a,2a，
由题意可得l1＝4×eq \r(2)a＋4×2eq \r(2)a＝12eq \r(2)a，
l2＝4×4a＋4×2a＝24a，
∴eq \f(l1,l2)＝eq \f(12\r(2)a,24a)＝eq \f(\r(2),2).
15．(多选)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，侧面AA1C1C的中心为O，点E是侧棱BB1上的一个动点，下列判断正确的是( )
A．直三棱柱的侧面积是4＋2eq \r(2)
B．直三棱柱的体积是eq \f(1,3)
C．三棱锥E－AA1O的体积为定值
D．AE＋EC1的最小值为2eq \r(2)
答案 ACD
解析 在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1＝2，AB＝BC＝1，∠ABC＝90°，
△ABC和△A1B1C1是等腰直角三角形，侧面全是矩形，所以其侧面积为1×2×2＋eq \r(12＋12)×2＝4＋2eq \r(2)，故A正确；
直三棱柱的体积为V＝S△ABC·AA1＝eq \f(1,2)×1×1×2＝1，故B不正确；
如图所示，由BB1∥平面AA1C1C，且点E是侧棱BB1上的一个动点，
所以三棱锥E－AA1O的高为定值eq \f(\r(2),2)，
SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(1,4)×eq \r(2)×2＝eq \f(\r(2),2)，
所以 SKIPIF 1 < 0 ＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(2),2)＝eq \f(1,6)，故C正确；
设BE＝x∈[0,2]，则B1E＝2－x，
在Rt△ABE和Rt△EB1C1中，
AE＋EC1＝eq \r(1＋x2)＋eq \r(1＋2－x2).由其几何意义，
即平面内动点(x,1)与两定点(0,0)，(2,0)距离和的最小值，由对称可知，当E为BB1的中点时，AE＋EC1取得最小值，其最小值为eq \r(2)＋eq \r(2)＝2eq \r(2)，故D正确．
16．(多选)(2022·寿光模拟)沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8 cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的eq \f(2,3)(细管长度忽略不计)，假设该沙漏每秒钟漏0.02 cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆，以下结论正确的是(π≈3.14)( )
A．沙漏中的细沙体积为eq \f(1 024π,81) cm3
B．沙漏的体积是128π cm3
C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4 cm
D．该沙漏的一个沙时大约是1 985秒
答案 ACD
解析 A项，根据圆锥的截面图可知，细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径r＝eq \f(2,3)×4＝eq \f(8,3)(cm)，
所以体积V＝eq \f(1,3)·πr2·eq \f(2h,3)＝eq \f(1,3)·eq \f(64π,9)·eq \f(16,3)
＝eq \f(1 024π,81)(cm3)；
B项，沙漏的体积V＝2×eq \f(1,3)×π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(h,2)))2×h
＝2×eq \f(1,3)×π×42×8＝eq \f(256π,3)(cm3)；
C项，设细沙流入下部后的高度为h1，根据细沙体积不变可知，
eq \f(1 024π,81)＝eq \f(1,3)×π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(h,2)))2×h1，
所以eq \f(1 024π,81)＝eq \f(16π,3)h1，所以h1≈2.4(cm)；
D项，因为细沙的体积为eq \f(1 024π,81) cm3，
沙漏每秒钟漏下0.02 cm3的沙，
所以一个沙时为eq \f(\f(1 024π,81),0.02)≈eq \f(1 024×3.14,81)×50
≈1 985(秒)．名称
棱柱
棱锥
棱台
图形
底面
互相平行
且全等
多边形
互相平行
且相似
侧棱
平行且相等
相交于一点
但不一定相等
延长线交
于一点
侧面形状
平行四边形
三角形
梯形
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
母线
互相平行且相等，垂直于底面
相交于一点
延长线交于一点
轴截面
矩形
等腰三角形
等腰梯形
圆
侧面展开图
矩形
扇形
扇环
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
名称
几何体
表面积
体积
柱体
S表＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体
S表＝S侧＋S底
V＝eq \f(1,3)Sh
台体
S表＝S侧＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S表＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3
公式法
规则几何体的体积，直接利用公式
割补法
把不规则的几何体分割成规则的几何体，或者把不规则的几何体补成规则的几何体
等体积法
通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，特别是三棱锥的体积