(新高考)高考数学一轮复习课时练习2.3《基本不等式》(含解析)

这是一份(新高考)高考数学一轮复习课时练习2.3《基本不等式》(含解析)，共19页。试卷主要包含了基本不等式，利用基本不等式求最值等内容，欢迎下载使用。
第3讲　基本不等式
最新考纲
考向预测
1.探索并了解基本不等式的证明过程.
2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.
命题
趋势
本讲是高考的热点，主要考查利用基本不等式求最值、证明不等式、求参数的取值范围等，常与函数结合命题，难度中等.
核心
素养
数学运算、逻辑推理


1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．
(3)其中称为正数a，b的算术平均数，称为正数a，b的几何平均数．
2．利用基本不等式求最值
已知x≥0，y≥0，则
(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2．(简记：积定和最小)
(2)如果和x＋y是定值s，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是．(简记：和定积最大)
常用结论
几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(2)ab≤(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(3)≥(a，b∈R)，当且仅当a＝b时取等号．
(4)＋≥2(a，b同号)，当且仅当a＝b时取等号．
常见误区
1．应用基本不等式求最值要注意：“一正、二定、三相等”．忽略任何一个条件，就会出错；
2．在利用不等式求最值时，一定要尽量避免多次使用基本不等式．若必须多次使用，则一定要保证它们等号成立的条件一致．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)函数y＝x＋的最小值是2.(　　)
(2)ab≤成立的条件是ab>0.(　　)
(3)“x>0且y>0”是“＋≥2”的充要条件．(　　)
(4)若a>0，则a3＋的最小值是2.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2．(易错题)若x2)在x＝a处取最小值，则a＝　(　　)
A．1＋　　　　　　　　 B．1＋
C．3 D．4
解析：选C.当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3，故选C.
4．设00，b>0，a＋b＝1，
所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2 ＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立．
答案：4
2．(变条件)若本例条件变为：已知a>0，b>0，4a＋b＝4，则的最小值为________．
解析：由4a＋b＝4得a＋＝1，

＝
＝
＝＋＋＋≥＋2＝＋.当且仅当4a＝b时取等号．
答案：＋

常数代换法求最值的步骤
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；
(2)把确定的定值(常数)变形为1；
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
(4)利用基本不等式求解最值．　
技法三　消元法求最值
(2020·高考江苏卷)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是__________．
【解析】　方法一：由5x2y2＋y4＝1得x2＝－，则x2＋y2＝＋≥2＝，当且仅当＝，即y2＝时取等号，则x2＋y2的最小值是.
方法二：4＝(5x2＋y2)·4y2≤＝(x2＋y2)2，则x2＋y2≥，当且仅当5x2＋y2 ＝4y2＝2，即x2＝，y2＝时取等号，则x2＋y2的最小值是，
【答案】　

消元法求最值的方法
消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．但应注意保留元的范围．　

1．设x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为(　　)
A．－9 B．9
C．10 D．0
解析：选B.＝5＋＋x2y2≥5＋2＝9，　
当且仅当xy＝±时，上式取得等号，可得最小值为9.
2．(2021·湖北八校第一次联考)已知x>0，y>0，且＋＝1，则x＋y的最小值为(　　)
A．12 B．16
C．20 D．24
解析：选B.由题意知x＋y＝(x＋y)＝1＋＋＋9≥1＋2＋9＝16，当且仅当，即时取等号，故选B.
3．设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最小值时，x＋2y－z的最大值为(　　)
A．0 B．
C．2 D．
解析：选C.z＝x2＋4y2－3xy≥2(x·2y)－3xy＝xy，当且仅当x＝2y时等号成立，此时取得最小值，于是x＋2y－z＝2y＋2y－2y2＝2y(2－y)≤2·＝2，当且仅当y＝1时等号成立，综上可得，当x＝2，y＝1，z＝2时，x＋2y－z取得最大值2.

　　　　　　利用基本不等式解决实际问题
经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y(L)与速度x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为y＝
当该型号汽车的速度为________km/h时，每小时耗油量最少，最少为每小时________L.
【解析】　当x∈[50，80)时，y＝(x2－130x＋4 900)＝[(x－65)2＋675]，
所以当x＝65时，y取得最小值，最小值为×675＝9.
当x∈[80，120]时，函数y＝12－单调递减，
故当x＝120时，y取得最小值，最小值为12－＝10.
因为93，y>3，
则y＝a＋b＋3＝3a＋3，
所以S＝(x－2)a＋(x－3)b＝(3x－8)a
＝(3x－8)＝1 808－3x－y
＝1 808－3x－×
＝1 808－≤1 808－2
＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x＝，即x＝40，y＝45时等号成立，S取得最大值，
所以当x＝40，y＝45时，S取得最大值为1 568.
答案：1 568

思想方法系列2　应用基本不等式的常见技巧
基本不等式的一个主要功能就是求两个正变量和与积的最值，即所谓“和定积最大，积定和最小”．但有的题目需要利用基本不等式的变形式求最值，有的需要对待求式作适当变形后才可求最值．常见的变形技巧有以下几种：
技巧一　加上一个数或减去一个数使和或积为定值
函数f(x)＝＋x(x0，y>0，且2x2＋＝8，求x的最大值．
[思路点拨]　由于已知条件式中有关x，y的式子均为平方式，而所求式中x是一次的，且根号下y是二次的，因此考虑平方后求其最值．
【解】　(x)2＝x2(6＋2y2)＝3·2x2≤3·＝3×.当且仅当2x2＝1＋，即x＝，y＝时，等号成立．故x的最大值为.
技巧三　展开后求最值
对于求多项式积的形式的最值，可以考虑展开后求其最值．
已知a>0，b>0且a＋b＝2，求的最小值．
[思路点拨]　由于待求式是一个积的形式，因此需将多项式展开后将积的最小值转化为和的最小值．
【解】　由题得＝＋＋＋1＝＋＋1＝＋1，
因为a>0，b>0，a＋b＝2，所以2≥2，所以ab≤1，所以≥1.所以≥4(当且仅当a＝b＝1时取等号)，所以的最小值是4.
技巧四　形如型函数变形后使用基本不等式
若y＝中f(x)的次数小于g(x)的次数，可取倒数后求其最值．
求函数y＝(x≠－1)的值域．
[思路点拨]　将(x＋5)(x＋2)用(x＋1)来表示再变形为f(x)＝Ax＋＋C的形式，然后运用基本不等式求解．
【解】　因为y＝＝
＝＝x＋1＋＋5，
当x＋1>0时，即x>－1时，y≥2＋5＝9(当且仅当x＝1时取等号)；
当x＋10，y>0，则“x＋2y＝2”的一个充分不必要条件是(　　)
A．x＝y B．x＝2y
C．x＝2且y＝1 D．x＝y或y＝1
解析：选C.因为x>0，y>0，
所以x＋2y≥2，当且仅当x＝2y时取等号．
故“x＝2且y＝1”是“x＋2y＝2”的一个充分不必要条件．故选C.
3．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为(　　)
A. B．2
C．2 D．4
解析：选C.因为＋＝，所以a＞0，b＞0，
由＝＋≥2＝2，
所以ab≥2(当且仅当b＝2a时取等号)，
所以ab的最小值为2.
4．(多选)(2021·山东临沂蒙阴实验中学期末)给出下面四个推断，其中正确的为(　　)
A．若a，b∈(0，＋∞)，则＋≥2
B．若x，y∈(0，＋∞)，则lg x＋lg y≥2
C．若a∈R，a≠0，则＋a≥4
D．若x，y∈R，xy0，b>0，且a＋b＝1，则(　　)
A．a2＋b2≥ B．2a－b>
C．log2a＋log2b≥－2 D.＋≤
解析：选ABD.对于选项A，因为a2＋b2≥2ab，所以2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，所以a2＋b2≥，正确；对于选项B，易知01，所以x－1>0，
所以y＝＝
＝
＝(x－1)＋＋2≥2＋2.
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立．
答案：2＋2
8．若a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，则ab的最大值为________________________________________________________________________，
＋的最小值为________．
解析：因为a>0，b>0，且a＋2b－4＝0，所以a＋2b＝4，所以ab＝a·2b≤×＝2，当且仅当a＝2b，即a＝2，b＝1时等号成立，所以ab的最大值为2，因为＋＝·＝(5＋＋)≥＝，当且仅当a＝b时等号成立，所以＋的最小值为.
答案：2　
9．(1)当x0，
则1＝＋≥2 ＝.
得xy≥64，
当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立．
所以xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y－xy＝0，得＋＝1，
则x＋y＝·(x＋y)
＝10＋＋≥10＋2 ＝18.
当且仅当x＝12，y＝6时等号成立，
所以x＋y的最小值为18.
[B级　综合练]
11．若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为(　　)
A．8 B．6
C．4 D．2
解析：选C.由lg a＋lg b＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，则有＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值为4，故选C.
12．已知点A(1，2)在直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)上，若存在满足该条件的a，b，使得不等式＋≤m2＋8m成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1]∪[9，＋∞) B．(－∞，－9]∪[1，＋∞)
C．[－1，9] D．[－9，1]
解析：选B.点A(1，2)在直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)上，可得a＋2b＝1，＋＝(a＋2b)＝5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当a＝b＝时取得等号，即＋的最小值为9，则9≤m2＋8m，解得m≥1或m≤－9.
13．设a，b为正实数，且＋＝2.
(1)求a2＋b2的最小值；
(2)若(a－b)2≥4(ab)3，求ab的值．
解：(1)由2＝＋≥2得ab≥，当且仅当a＝b＝时取等号，故a2＋b2≥2ab≥1，当且仅当a＝b＝时取等号，所以a2＋b2的最小值是1.
(2)由(a－b)2≥4(ab)3得≥4ab，得－≥4ab，从而ab＋≤2，又ab＋≥2，所以ab＋＝2，所以ab＝1.
14．某厂家拟定在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用m(m≥0)万元满足x＝3－(k为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．
(1)将2020年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；
(2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家获取利润最大，最大利润是多少？
解：(1)由题意知，当m＝0时，x＝1(万件)，
所以1＝3－k⇒k＝2，所以x＝3－(m≥0)，
每件产品的销售价格为1.5×(元)，
所以2020年的利润y＝1.5x×－8－16x－m
＝－＋29(m≥0)．
(2)因为m≥0时，＋(m＋1)≥2＝8，
所以y≤－8＋29＝21，当且仅当＝m＋1⇒m＝3(万元)时，ymax＝21(万元)．
故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大，最大为21万元．
[C级　创新练]
15．已知P是面积为1的△ABC内的一点(不含边界)，若△PAB，△PAC和△PBC的面积分别为x，y，z，则＋的最小值是(　　)
A. B.
C. D．3
解析：选D.因为x＋y＋z＝1，0