(新高考)高考数学一轮复习课时练习5.3.1《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》(含解析)
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这是一份(新高考)高考数学一轮复习课时练习5.3.1《两角和与差的正弦、余弦和正切公式》(含解析),共16页。试卷主要包含了二倍角的正弦、余弦、正切公式,三角函数公式的关系等内容,欢迎下载使用。
第3讲 简单的三角恒等变换
最新考纲
考向预测
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.
3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.
4.能运用公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆).
命题趋势
三角恒等变换是三角变换的工具,主要考查利用两角和与差的三角函数公式、二倍角公式进行三角函数的化简与求值,重在考查化简、求值,公式的正用、逆用以及变式运用,可单独考查,也可与三角函数的图象与性质、向量等知识综合考查,加强转化与化归思想的应用意识.选择题、填空题、解答题均有可能出现,中低档难度.
核心素养
逻辑推理、数学运算
1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)=sin__αcos____β±cos__αsin____β;
cos(α∓β)=cos__αcos____β±sin__αsin____β;
tan(α±β)=.
2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α=2sin__αcos____α;
cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α;
tan 2α=.
3.三角函数公式的关系
常用结论
四个必备结论
(1)降幂公式:cos2α=,sin2α=.
(2)升幂公式:1+cos 2α=2cos2α,1-cos 2α=2sin2α.
(3)tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β),
1+sin 2α=(sin α+cos α)2,
1-sin 2α=(sin α-cos α)2,
sin α±cos α=sin.
(4)辅助角公式
asin x+bcos x=sin (x+φ),其中tan φ=.
常见误区
(1)明确二倍角是相对的,如:是的2倍,3α是的2倍.
(2)解题时注意观察角、名、结构等特征,注意利用整体思想解决相关问题.
(3)运用公式时要注意公式成立的条件,要注意和、差、倍角的相对性,要注意升幂、降幂的灵活运用,要注意“1”的各种变形.
(4)在三角求值时,往往要估计角的范围后再求值.特别是在(0,π)内,正弦值对应的角不唯一.
1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意角.( )
(2)两角和与差的正切公式中的角α,β是任意角.( )
(3)cos 80°cos 20°-sin 80°sin 20°=cos(80°-20°)=cos 60°=.( )
(4)公式tan(α+β)=可以变形为tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),且对任意角α,β都成立.( )
(5)存在实数α,使tan 2α=2tan α.( )
答案:(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)√
2.(多选)下面各式中,正确的是( )
A.sin=sin cos +cos
B.cos =sin sin -cos cos
C.cos=cos cos +sin sin
D.cos =cos -cos
解析:选ABC.因为sin=sin cos +cos ·sin
=sin cos +cos ,所以A正确;
因为cos =-cos=-cos
=sin sin-cos cos ,所以B正确;
因为cos=cos=cos cos +sin ·sin ,所以C正确;
因为cos =cos≠cos -cos ,所以D不正确.故选ABC.
3.(2020·高考全国卷Ⅲ)已知2tan θ-tan =7,则tan θ=( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
解析:选D.由已知得2tan θ-=7,得tan θ=2.
4.(2020·高考全国卷Ⅱ)若sin x=-,则cos 2x=____________.
解析:因为sin x=-,所以由二倍角公式,得cos 2x=1-2sin2x=1-2×=.
答案:
5.(易错题)若cos α=-,α是第三象限的角,则sin=________.
解析:因为α是第三象限角,所以sin α=-=-,所以sin=-×+×=-.
答案:-
第1课时 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
和差公式的直接应用
[题组练透]
1.(2020·高考全国卷Ⅰ)已知α∈(0,π),且3cos 2α-8cos α=5,则sin α=( )
A. B. C. D.
解析:选A.因为3cos 2α-8cos α=5,所以3(2cos2α-1)-8cos α=5,所以6cos2α-8cos α-8=0,所以3cos2α-4cos α-4=0,解得cos α=2(舍去)或cos α=-,因为α∈(0,π),所以sin α==.故选A.
2.已知sin α=,α∈,tan(π-β)=,则tan(α-β)的值为( )
A.- B. C. D.-
解析:选A.因为sin α=,α∈,
所以cos α=-=-,
所以tan α==-.
因为tan(π-β)==-tan β,
所以tan β=-,
则tan(α-β)==-.
3.已知α∈,sin α=.
(1)求sin的值;
(2)求cos的值.
解:(1)因为α∈,sin α=,
所以cos α=-=-,
故sin=sin cos α+cos sin α
=×+×=-.
(2)由(1)知sin 2α=2sin αcos α=2××=-,cos 2α=1-2sin2α=1-2×=,所以cos=cos cos 2α+sin sin 2α=×+×=-.
三角函数公式的应用策略
(1)使用两角和、差及倍角公式,首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角差的余弦公式可简记为:“同名相乘,符号反.”
(2)使用公式求值,应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用.
三角函数公式的逆用与变形应用
(1)(多选)下列各式中,值为的是( )
A.
B.cos2-sin2
C.cos 42°sin 78°+sin 42°cos 78°
D.
(2)在△ABC中,若tan Atan B=tan A+tan B+1,则cos C的值为( )
A.- B. C. D.-
【解析】 (1)因为==cos 60°=;cos2-sin2=cos =;
cos 42°sin 78°+sin 42°cos 78°=sin(78°+42°)=sin 120°=;
=tan 30°=.所以值为的是BC.故选BC.
(2)由tan Atan B=tan A+tan B+1,可得=-1,
即tan(A+B)=-1,又(A+B)∈(0,π),
所以A+B=,则C=,cos C=.
【答案】 (1)BC (2)B
(1)三角函数公式活用技巧
①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同,创造条件逆用公式;
②tan αtan β,tan α+tan β(或tan α-tan β),tan(α+β)(或tan(α-β))三者中可以知二求一,注意公式的正用、逆用和变形使用.
(2)三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题
①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系;
②注意特殊角的应用,当式子中出现,1,,等这些数值时,一定要考虑引入特殊角,把“值变角”以便构造适合公式的形式.
1.(2020·高考全国卷Ⅲ)已知sin θ+sin=1,则sin=( )
A. B. C. D.
解析:选B.因为sin θ+sin =sin θ+cos θ=sin =1,
所以sin =,故选B.
2.(2020·山东菏泽一中月考)sin2+sin2-sin2α=( )
A.- B.- C. D.
解析:选C.原式=+-sin2α=1-·[cos+cos]-sin2α=1-cos 2αcos -sin2α=1--=.
三角公式的灵活应用
角度一 三角函数公式中变“角”
(1)(多选)若tan=2,则( )
A.tan α= B.tan α=
C.tan 2α= D.tan 2α=
(2)(2020·百校联盟1月联考)已知α,β都是锐角,cos(α+β)=,sin(α-β)=,则cos 2α=________.
【解析】 (1)tan α=tan=
==,tan 2α==.故选BD.
(2)因为α,β都是锐角,所以0
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