(新高考)高考数学一轮复习课时练习8.5《空间向量及其运算》(含解析)

这是一份(新高考)高考数学一轮复习课时练习8.5《空间向量及其运算》(含解析)，共24页。试卷主要包含了空间向量的有关定理，两个向量的数量积，空间向量的坐标运算，空间位置关系的向量表示等内容，欢迎下载使用。
第5讲　空间向量及其运算
最新考纲
考向预测
1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.
3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直.
4.理解直线的方向向量与平面的法向量.
5.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直、平行关系.
6.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些定理(包括三垂线定理).
命题趋势
本讲内容是空间向量的运算、线性运算、数量积及其坐标运算，利用空间向量证明空间中的平行与垂直关系，多数是解答题中的第一小问.
核心素养
逻辑推理、数学运算


1．空间向量的有关定理
(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在唯一的实数λ，使得a＝λb．
(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb．
(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc．其中{a，b，c}叫做空间的一个基底．
2．两个向量的数量积(与平面向量基本相同)
(1)两向量的夹角：已知两个非零向量a，b，在空间中任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉．通常规定0≤〈a，b〉≤π．若〈a，b〉＝，则称向量a，b互相垂直，记作a⊥b.
(2)两向量的数量积
两个非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(3)向量的数量积的性质
①a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量)；
②a⊥b⇔a·b＝0；
③|a|2＝a·a＝a2；
④|a·b|≤|a||b|.
(4)向量的数量积满足如下运算律
①(λa)·b＝λ(a·b)；
②a·b＝b·a(交换律)；
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．
3．空间向量的坐标运算
(1)设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．
a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)，
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)，
λa＝(λa1，λa2，λa3)，a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3，
a⊥b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0，
a∥b⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)，
cos〈a，b〉＝＝ .
(2)设A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，
则＝－＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．
4．直线的方向向量与平面的法向量的确定
(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量，显然一条直线的方向向量可以有无数个．
(2)平面的法向量
①定义：与平面垂直的向量，称做平面的法向量．一个平面的法向量有无数多个，任意两个都是共线向量．
②确定：设a，b是平面α内两个不共线向量，n为平面α的法向量，则求平面α的法向量的方程组为
5．空间位置关系的向量表示
位置关系
向量表示
直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2
l1∥l2
n1∥n2⇔n1＝λn2
l1⊥l2
n1⊥n2⇔n1·n2＝0
直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m
l∥α
n⊥m⇔n·m＝0
l⊥α
n∥m⇔n＝λm
平面α，β的法向量分别为n，m
α∥β
n∥m⇔n＝λm
α⊥β
n⊥m⇔n·m＝0
常用结论
1．证明空间任意三点共线的方法
对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线：
(1)＝λ(λ∈R)；
(2)对空间任一点O，＝＋λ(λ∈R)；
(3)对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1)．
2．证明空间任意四点共面的方法
对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面
(1)＝x＋y；
(2)对空间任一点O，＝＋x＋y；
(3)对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；
(4)∥(或∥或∥)．
常见误区
1．向量的数量积满足交换律、分配律，但不满足结合律，即a·b＝b·a，a·(b＋c)＝a·b＋a·c成立，(a·b)·c＝a·(b·c)不一定成立．
2．在利用＝x＋y①证明MN∥平面ABC时，必须说明点M或点N不在平面ABC内(因为①式只表示与，共面)．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)空间中任意两非零向量a，b共面．(　　)
(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(　　)
(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(　　)
(4)若{a，b，c}是空间的一个基底，则a，b，c中至多有一个零向量．(　　)
(5)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(　　)
(6)若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×　(6)√
2．(多选)以下各组向量中的三个向量，能构成空间基底的是(　　)
A．a＝(1，0，0)，b＝(0，2，0)，c＝
B．a＝(1，0，0)，b＝(0，1，0)，c＝(0，0，2)
C．a＝(1，0，1)，b＝(0，1，1)，c＝(2，1，2)
D．a＝(1，1，1)，b＝(0，1，0)，c＝(1，0，2)
解析：选BCD.若空间三个向量a，b，c能构成空间的基底，则向量a，b，c不共面，对于选项A，因为a＝(1，0，0)，b＝(0，2，0)，c＝，则c＝a－b，即向量a，b，c共面，故选项A中的三个向量不能构成空间基底，对于选项B，C，D中的三个向量均不共面，即能够构成空间的基底．
3．已知空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC中点，则＝(　　)
A.a－b＋c
B．－a＋b＋c
C.a＋b－c
D.a＋b－c
解析：选B.如图所示，＝＋＋＝＋(－)＋＝－＋(－)＝－a＋b＋c.
4．设u，v分别是平面α，β的法向量，u＝(－2，2，5)，当v＝(3，－2，2)时，α与β的位置关系为________；当v＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________．
解析：当v＝(3，－2，2)时，u⊥v，则α⊥β；
当v＝(4，－4，－10)时，u∥v，则α∥β.
答案：α⊥β　α∥β
5．(易错题)O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且＝＋＋t ，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝________．
解析：因为P，A，B，C四点共面，所以＋＋t＝1，所以t＝.
答案：


空间向量的线性运算
[题组练透]
1．在空间四边形ABCD中，若＝(－3，5，2)，＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则的坐标为(　　)
A．(2，3，3)　　　　　　　　 B．(－2，－3，－3)
C．(5，－2，1) D．(－5，2，－1)
解析：选B.因为点E，F分别为线段BC，AD的中点，设O为坐标原点，所以＝－，＝(＋)，＝(＋)．所以＝(＋)－(＋)＝(＋)＝[(3，－5，－2)＋(－7，－1，－4)]
＝(－4，－6，－6)＝(－2，－3，－3)．
2．正方体ABCD ­A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的中心．若向量＝＋x＋y，则实数x，y的值分别为(　　)
A．x＝1，y＝1 B．x＝1，y＝
C．x＝，y＝ D．x＝，y＝1
解析：选C.如图，＝＋＝＋＝＋(＋)，故x＝y＝.故选C.
3．在三棱锥O ­ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量，，表示(1)；(2).

解：(1)＝＋
＝＋
＝＋(－)
＝＋
＝－＋＋.
(2)＝＋
＝－＋＋
＝＋＋.

用已知向量表示未知向量的解题策略
(1)用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．
(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．
(3)在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．　

共线、共面向量定理的应用
　如图所示，已知斜三棱柱ABC­A1B1C1，点M，N分别在AC1和BC上，且满足＝k，＝k(0≤k≤1)．

(1)向量是否与向量，共面？
(2)直线MN是否与平面ABB1A1平行？
【解】　(1)因为＝k，＝k，
所以＝＋＋
＝k＋＋k
＝k(＋)＋
＝k(－)＋
＝k＋
＝－k＝－k(＋)
＝(1－k)－k，
所以由共面向量定理知向量与向量，共面．
(2)当k＝0时，点M，A重合，点N，B重合，MN在平面ABB1A1内，当00，·>0，·>0，则该四边形为(　　)
A．平行四边形 B．梯形
C．长方形 D．空间四边形
解析：选D.由·>0，·>0，·>0，·>0，知该四边形一定不是平面图形．
4．如图所示，在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若＝a，＝b，＝c，则下列向量中与相等的向量是　　(　　)

A．－a＋b＋c B.a＋b＋c
C．－a－b＋c D.a－b＋c
解析：选A.由题意，根据向量运算的几何运算法则，＝＋＝＋(－)
＝c＋(b－a)＝－a＋b＋c.
5．(多选)有下列四个命题，其中不正确的命题有(　　)
A．已知A，B，C，D是空间任意四点，则＋＋＋＝0
B．若两个非零向量与满足＋＝0，则∥
C．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量
D．对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面
解析：选CD.对于A，已知A，B，C，D是空间任意四点，则＋＋＋＝0，正确；对于B，若两个非零向量与满足＋＝0，则∥，正确；对于C，分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量可以是共面向量，不正确；对于D，对于空间的任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，仅当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点共面，故错误．
6.如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，O为AC的中点．用，，表示，则＝________．
解析：因为＝
＝(＋)，
所以＝＋＝(＋)＋＝＋＋.
答案：＋＋
7.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是CD，PC的中点，并且PA＝AD＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，则MN＝________．
解析：连接PD，因为M，N分别为CD，PC的中点，所以MN＝PD，又P(0，0，1)，D(0，1，0)，
所以PD＝＝，
所以MN＝.
答案：
8．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝________．
解析：＝，＝，
由a·＝0，a·＝0，得即x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．
答案：2∶3∶(－4)
9．已知空间三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝，b＝.
(1)若|c|＝3，且c∥，求c；
(2)求a和b的夹角的余弦值；
(3)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k的值．
解：(1)因为c∥，
所以c＝m＝m(－2，－1，2)＝(－2m，－m，2m)．
所以|c|＝＝3|m|＝3，即m＝±1.
所以c＝(－2，－1，2)或c＝(2，1，－2)．
(2)因为a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)．
所以a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1.
又|a|＝＝，|b|＝＝，
所以cos〈a，b〉＝＝＝－.
所以a和b的夹角的余弦值为－.
(3)因为ka＋b＝(k－1，k，2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)，
所以(k－1，k，2)·(k＋2，k，－4)＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0，
解得k＝2或k＝－.所以当ka＋b与ka－2b相互垂直时，
k＝2或k＝－.
10．如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．

(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)求证：BD∥平面EFGH.
证明：(1)连接BG，
则＝＋
＝＋(＋)
＝＋＋
＝＋，
由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面．
(2)因为＝－
＝－
＝(－)＝，
所以EH∥BD.
又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，
所以BD∥平面EFGH.
[B级　综合练]
11．(多选)已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)．下列结论正确的是(　　)
A．AP⊥AB
B．AP⊥AD
C.是平面ABCD的法向量
D.∥
解析：选ABC.因为·＝0，·＝0，所以AB⊥AP，AD⊥AP，则A，B正确．又与不平行，所以是平面ABCD的法向量，则C正确．由于＝－＝(2，3，4)，＝(－1，2，－1)，所以与不平行，故D错误．
12．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱长为2，底面边长为1，M为BC的中点，＝λ，且AB1⊥MN，则λ的值为________．

解析：如图所示，取B1C1的中点P，连接MP，以，，的方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，
因为底面边长为1，侧棱长为2，则
A，B1(－，0，2)，
C，C1，
M(0，0，0)，设N，
因为＝λ，所以N，
所以＝，
＝.
又因为AB1⊥MN，所以·＝0.
所以－＋＝0，所以λ＝15.
答案：15
13.如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，平面AA1C1C和平面AA1B1B都是正方形且互相垂直，M为AA1的中点，N为BC1的中点．
求证：(1)MN∥平面A1B1C1；
(2)平面MBC1⊥平面BB1C1C.
证明：由题意知，AA1，AB，AC两两垂直，则以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系．
设AA1＝2，则A(0，0，0)，A1(2，0，0)，B(0，2，0)，B1(2，2，0)，C(0，0，2)，C1(2，0，2)，M(1，0，0)，N(1，1，1)．
(1)因为AA1⊥A1B1，AA1⊥A1C1，
且A1B1∩A1C1＝A1，
所以AA1⊥平面A1B1C1.
因为＝(0，1，1)，＝(2，0，0)，
所以·＝0，即MN⊥AA1.
因为MN⊄平面A1B1C1，
故MN∥平面A1B1C1.
(2)设平面MBC1与平面BB1C1C的法向量分别为n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)．
因为＝(－1，2，0)，＝(1，0，2)，
所以⇒令x1＝2，
则n1＝(2，1，－1)．同理可得n2＝(0，1，1)．
因为n1·n2＝2×0＋1×1＋(－1)×1＝0，
所以平面MBC1⊥平面BB1C1C.
14．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P­ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，PD⊥平面ABCD，AD＝1，AB＝，BC＝4.

(1)求证：BD⊥PC；
(2)设点E在棱PC上，＝λ，若DE∥平面PAB，求λ的值．
解：如图，在平面ABCD内过点D作直线DF∥AB，交BC于点F，以D为坐标原点，DA，DF，DP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(1，0，0)，B(1，，0)，D(0，0，0)，C(－3，，0)．

设PD＝a，则P(0，0，a)，
(1)证明：＝(－1，－，0)，＝(－3，，－a)，
因为·＝3－3＝0，
所以BD⊥PC.
(2)由题意知，＝(0，，0)，＝(0，0，a)，＝(1，0，－a)，＝(－3，，－a)，
因为＝λ，所以＝(－3λ，λ，－aλ)，
＝＋＝(0，0，a)＋(－3λ，λ，－aλ)
＝(－3λ，λ，a－aλ)．
设n＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，
则即令z＝1，得x＝a，所以n＝(a，0，1)，
因为DE∥平面PAB，所以·n＝0，
所以－3aλ＋a－aλ＝0，即a(1－4λ)＝0，
因为a≠0，所以λ＝.
[C级　创新练]
15．已知空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(x，y，z∈R)，则“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的(　　)
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选B.当x＝2，y＝－3，z＝2时，即＝2－3＋2.则－＝2－3(－)＋2(－)，即＝－3＋2，根据共面向量定理知，P，A，B，C四点共面；反之，当P，A，B，C四点共面时，根据共面向量定理，设＝m＋n(m，n∈R)，即－＝m(－)＋n(－)，即＝(1－m－n)·＋m＋n，即x＝1－m－n，y＝m，z＝n，这组数显然不止2，－3，2.故“x＝2，y＝－3，z＝2”是“P，A，B，C四点共面”的充分不必要条件．
16．(多选)(2020·山东临沂期末)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD ­A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，则下列说法中正确的是(　　)

A．(＋＋)2＝2()2
B.·(－)＝0
C．向量与的夹角是60°
D．BD1与AC所成角的余弦值为
解析：选AB.以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，可设棱长为1，则·＝·＝·＝1×1×cos 60°＝，所以(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋3×2×＝6.又2()2＝2(＋)2＝2(2＋2＋2·)＝2＝2×3＝6，所以 (＋＋)2＝2()2，所以A正确.·(－)＝(＋＋)·(－)＝·－·＋2－·＋·－2＝－＋1－＋－1＝0，所以B正确．由已知条件，得△AA1D为等边三角形，则∠AA1D＝60°，所以向量与的夹角是120°，向量＝，即向量与的夹角是120°，所以C不正确．因为＝＋－，＝＋，所以||＝＝＝，||＝＝＝，·＝(＋－)·(＋)＝＋1＋＋－1－＝1，所以cos〈，〉＝＝＝，所以D不正确．故选AB.