(新高考)高考数学一轮复习课时练习9.3《圆的方程》(含解析)

这是一份(新高考)高考数学一轮复习课时练习9.3《圆的方程》(含解析)，共14页。试卷主要包含了圆的定义与方程，已知圆经过点A和B等内容，欢迎下载使用。
第3讲　圆的方程
最新考纲
考向预测
1.回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程.
2.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.
命题趋势
以考查圆的方程为主，与圆有关的轨迹问题、最值问题也是考查的热点，属中档题．题型主要以选择题、填空题为主，要求相对较低，但内容很重要，有时也会在解答题中出现.
核心素养
直观想象、数学运算


1．圆的定义与方程
定义
平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
方程
标准式
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
圆心为(a，b)
半径为r
一般式
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
充要条件：D2＋E2－4F>0
圆心坐标：
半径r＝
2.点与圆的位置关系
点M(x0，y0)与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系．
(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
常用结论
1．圆心在坐标原点，半径为r的圆的方程为x2＋y2＝r2.
2．以A(x1，y1)，B(x2，y2)为直径端点的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
常见误区
1．对于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆时易忽视D2＋E2－4F>0这一条件．
2．解答与圆有关的最值问题要注意数形结合，充分运用圆的性质．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)确定圆的几何要素是圆心与半径．(　　)
(2)方程x2＋y2＝a2表示半径为a的圆．(　　)
(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圆．(　　)
(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF>0.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2．圆心为(1，1)且过原点的圆的方程是(　　)
A．(x－1)2＋(y－1)2＝1
B．(x＋1)2＋(y＋1)2＝1
C．(x＋1)2＋(y＋1)2＝2
D．(x－1)2＋(y－1)2＝2
解析：选D.因为圆心为(1，1)且过原点，所以该圆的半径r＝＝，则该圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.
3．(多选)已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是(　　)
A．圆M的圆心为(4，－3)
B．圆M被x轴截得的弦长为8
C．圆M的半径为25
D．圆M被y轴截得的弦长为6
解析：选ABD.圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则(x－4)2＋(y＋3)2＝25.圆的圆心坐标为(4，－3)，半径为5.显然选项C不正确．ABD均正确．
4．(易错题)若方程x2＋y2＋mx－2y＋3＝0表示圆，则m的取值范围是________．
解析：将x2＋y2＋mx－2y＋3＝0化为圆的标准方程得＋(y－1)2＝－2.
由其表示圆可得－2>0，解得m2.
答案：(－∞，－2)∪(2，＋∞)
5．若圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1，3)，则圆C的方程为________．
解析：设圆心坐标为C(a，0)，
因为点A(－1，1)和B(1，3)在圆C上，
所以|CA|＝|CB|，
即＝，
解得a＝2，
所以圆心为C(2，0)，
半径|CA|＝＝，
所以圆C的方程为(x－2)2＋y2＝10.
答案：(x－2)2＋y2＝10


求圆的方程
[题组练透]
1．(2021·长沙模拟)已知三点A(1，0)，B(0，)，C(2，)，则△ABC外接圆的圆心到原点的距离为(　　)
A. B. C. D.
解析：选B.圆心在直线BC的垂直平分线，即x＝1上，设圆心D(1，b)，由|DA|＝|DB|得|b|＝，解得b＝，所以圆心到原点的距离为d＝＝.
2．已知圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切，则圆的方程是(　　)
A．x2＋y2－4x＝0 B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2－2x－3＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0
解析：选A.因为圆的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，且与y轴相切，所以圆的圆心坐标为(2，0)．所以圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.故选A.
3．已知圆心在x轴上，半径为的圆位于y轴右侧，且截直线x＋2y＝0所得弦的长为2，则圆的方程为________．
解析：根据题意，设圆的圆心坐标为(a，0)(a>0)，则圆的标准方程为(x－a)2＋y2＝5(a>0)，则圆心到直线x＋2y＝0的距离d＝＝a.又该圆截直线x＋2y＝0所得弦的长为2，所以可得12＋＝5，解得a＝2.故圆的方程为(x－2)2＋y2＝5.
答案：(x－2)2＋y2＝5

求圆的方程的两种方法
(1)直接法
根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出圆的方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；
②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值．
[提醒]　解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质．　

与圆有关的最值问题
角度一　借助几何性质求最值
已知M(x，y)为圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0上任意一点，且点Q(－2，3)．
(1)求|MQ|的最大值和最小值；
(2)求的最大值和最小值；
(3)求y－x的最大值和最小值．
【解】　(1)由圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0，可得(x－2)2＋(y－7)2＝8，所以圆心C的坐标为(2，7)，半径r＝2.又|QC|＝＝4，所以|MQ|max＝4＋2＝6，|MQ|min＝4－2＝2.
(2)可知表示直线MQ的斜率k.设直线MQ的方程为y－3＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＋3＝0.因为直线MQ与圆C有交点，所以≤2，可得2－≤k≤2＋，所以的最大值为2＋，最小值为2－.
(3)设y－x＝b，则x－y＋b＝0.当直线y＝x＋b与圆C相切时，截距b取到最值，所以＝2，所以b＝9或b＝1.所以y－x的最大值为9，最小值为1.

与圆有关的最值问题的求解策略
处理与圆有关的最值问题时，应充分考虑圆的几何性质，并根据代数式的几何意义，借助数形结合思想求解．与圆有关的最值问题，常见类型及解题思路如下：
常见类型
解题思路
μ＝型
转化为动直线斜率的最值问题
t＝ax＋by型
转化为动直线截距的最值问题，或用三角代换求解
m＝(x－a)2＋(y－b)2型
转化为动点与定点的距离的平方的最值问题
角度二　建立函数关系求最值
设点P(x，y)是圆(x－3)2＋y2＝4上的动点，定点A(0，2)，B(0，－2)，则|＋|的最大值为________．
【解析】　由题意，知＝(－x，2－y)，＝(－x，－2－y)，所以＋＝(－2x，－2y)，由于点P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程(x－3)2＋y2＝4，故y2＝－(x－3)2＋4，所以|＋|＝＝2.由圆的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，所以当x＝5时，|＋|的值最大，最大值为2＝10.
【答案】　10

建立函数关系式求最值
根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单调性等方法求最值．　

1．已知点P(x，y)为圆C：x2＋y2－4x＋3＝0上一点，C为圆心，则·(O为坐标原点)的取值范围是(　　)
A．[－3，1] B．[－1，1]
C．[－1，3] D．[1，3]
解析：选C.将圆C的方程x2＋y2－4x＋3＝0化为(x－2)2＋y2＝1，所以圆心C的坐标为(2，0)．所以＝(2－x，－y)．而＝(－x，－y)，所以·＝x2＋y2－2x.因为x2＋y2－4x＋3＝0，所以x2＋y2＝4x－3，所以·＝4x－3－2x＝2x－3.因为(x－2)2＋y2＝1，所以(x－2)2≤1，所以－1≤x－2≤1，即1≤x≤3.因此－1≤2x－3≤3，从而·(O为坐标原点)的取值范围为[－1，3]．故选C.
2．(多选)若P是圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1上任一点，则点P到直线y＝kx－1距离的值可以为(　　)
A．4 B．6
C．3＋1 D．8
解析：选ABC.由题意，知圆C：(x＋3)2＋(y－3)2＝1的圆心坐标为(－3，3)，半径为1，直线y＝kx－1过定点(0，－1)．由图可知，圆心C到直线y＝kx－1距离的最大值为＝5，则点P到直线y＝kx－1距离的最大值为5＋1＝6，最小值为5－1＝4，因此A，B，C正确，只有D不正确．故选ABC.
3．设点P是函数y＝－图象上的任意一点，点Q坐标为(2a，a－3)(a∈R)，则|PQ|的最小值为________．
解析：函数y＝－的图象表示圆(x－1)2＋y2＝4的下半圆(包括与x轴的交点)．令点Q的坐标为(x，y)，则得y＝－3，即x－2y－6＝0，作出图象如图所示．
由于圆心(1，0)到直线x－2y－6＝0的距离d＝＝>2，所以直线x－2y－6＝0与圆(x－1)2＋y2＝4相离，因此|PQ|的最小值是－2.
答案：－2

与圆有关的轨迹问题
已知A(2，0)为圆x2＋y2＝4上一定点，B(1，1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
【解】　(1)设AP的中点为M(x，y)，
由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2，2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.

与圆有关的轨迹问题的四种求法
　

1．(2020·高考全国卷Ⅲ)在平面内，A，B是两个定点，C是动点．若·＝1，则点C的轨迹为(　　)
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
解析：选A.以AB所在直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设A(－a，0)，B(a，0)，C(x，y)，因为·＝1，所以(x＋a)(x－a)＋y·y＝1，所以x2＋y2＝a2＋1，所以点C的轨迹为圆，故选A.
2．已知A(－1，0)，B(1，0)，C为平面内的一动点，且满足|AC|＝|BC|，则点C的轨迹方程为(　　)
A．x2＋y2＋6x＋1＝0 B．x2＋y2－6x＋1＝0
C．x2＋y2－x＋1＝0 D．x2＋y2＋x＋1＝0
解析：选B.由题意可设点C的坐标为(x，y)，因为满足|AC|＝|BC|，由两点间的距离公式可得＝×，即x2＋2x＋1＋y2＝2(x2－2x＋1＋y2)，所以x2＋y2－6x＋1＝0即为点C的轨迹方程．故选B.

[A级　基础练]
1．若点(2a，a－1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，则实数a的取值范围是(　　)
A．－