(新高考)高考数学一轮复习课时练习10.7《离散型随机变量的均值与方差、正态分布》(含解析)

这是一份(新高考)高考数学一轮复习课时练习10.7《离散型随机变量的均值与方差、正态分布》(含解析)，共23页。试卷主要包含了离散型随机变量的均值与方差，几个特殊分布的期望、方差，某篮球队对队员进行考核，规则是等内容，欢迎下载使用。
第7讲　离散型随机变量的均值与方差、正态分布
最新考纲
考向预测
1.通过具体实例，理解离散型随机变量分布列及其数字特征(均值、方差)．
2.通过具体实例，了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题．
3.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.
命题趋势
离散型随机变量的均值和方差、二项分布的均值和方差仍是高考考查的热点，题型以解答题为主．
核心素养
数据分析、数学建模


1．离散型随机变量的均值与方差
一般地，若离散型随机变量X的分布列为
X
x1
x2
…
xi
…
xn
P
p1
p2
…
pi
…
pn
(1)均值
称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
(2)方差
称D(X)＝(xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根为随机变量X的标准差．
(3)性质
(a)E(aX＋b)＝aE(X)＋b．
(b)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)
2．几个特殊分布的期望、方差
分布
期望
方差
两点分布
p
p(1－p)
二项分布
np
np(1－p)
正态分布
μ
σ2
3.正态曲线的特点
(1)曲线位于x轴上方，与x轴不相交．
(2)曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．
(3)曲线在x＝μ处达到峰值 .
(4)曲线与x轴之间的面积为1．
(5)当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移．
(6)当μ一定时，曲线的形状由σ确定．σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
常用结论
均值与方差的七个常用性质
若Y＝aX＋b，其中a，b是常数，X是随机变量，则
(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k为常数．
(2)E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)．
(3)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．
(4)D(X)＝E(X2)－(E(X))2.
(5)若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．
(6)若X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)．
(7)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p)．
常见误区
1．E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的．
2．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意计数原理、排列组合及常见概率模型．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．(　　)
(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离均值的平均程度越小．(　　)
(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的均值，σ是正态分布的标准差．(　　)
(4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．(　　)
(5)均值是算术平均数概念的推广，与概率无关．(　　)
答案：(1)√　(2)√　(3)√　(4)√　(5)×
2．(多选)设离散型随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
4
P
q
0.4
0.1
0.2
0.2
若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的有(　　)
A．q＝0.1　　　　　　　　 B．E(X)＝2
C．D(X)＝1.4 D．E(Y)＝5
解析：选ABD.因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正确；又E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，B正确，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，C不正确；E(Y)＝2×E(X)＋1＝2×2＋1＝5，D正确．
3．已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X