2023届安徽省皖江名校联盟高三上学期10月联考数学试题含答案

2023届安徽省皖江名校联盟高三上学期10月联考数学试题

一、单选题

1．若全集，集合，则的元素个数为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】解不等式，利用列举法表示全集，进而可得.

【详解】依题意，，

故，

即的元素个数为，

故选：B.

2．已知函数，若，则实数的值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据分段函数的性质可得参数值.

【详解】依题意，，

故，

解得，

故选：A.

3．某渔船由于引擎故障滞留在海上的C位置，一艘快艇负责救援，快艇从A岛出发，沿南偏西30°行驶了300海里到达B位置，发现偏航后及时调整，沿北偏西30°行驶了100海里到达C位置，则A岛与渔船发生故障的C位置间距离为（    ）

A．海里 B．海里 C．海里 D．海里

【答案】A

【分析】由条件可得，结合余弦定理求解即可.

【详解】如图，由已知，，所以，又,

所以，又，,

由余弦定理可得，

所以（海里）

故选：A.

4．已知，且，则当取到最小值时，（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用1的替换，然后利用基本不等式求解即可.

【详解】依题意，当且仅当，即时等号成立，

故选：D

5．已知实数，且，则下列结论一定正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据幂函数的单调性可判断AD选项，利用特值法可判断BC选项.

【详解】因为为增函数，且，故，故A错误；

令，，此时，故B错误；

令，，故，，故，故C错误；

因为，故在第一象限为增函数，则，故D正确；

故选：D.

6．已知，则“函数的图像关于原点对称”是“”的（    ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【分析】求出函数为奇函数时的值，即可判断出答案.

【详解】若函数为奇函数，则，

故，也可表示为；

则“函数的图像关于原点对称”是“”的必要不充分条件，

故选：B.

7．纳皮尔是苏格兰数学家，其主要成果有球面三角中的纳皮尔比拟式､纳皮尔圆部法则（1614）和纳皮尔算筹（1617），而最大的贡献是对数的发明，著有《奇妙的对数定律说明书》，并且发明了对数表，可以利用对数表查询出任意对数值.现将物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是（℃），空气的温度是（℃），经过t分钟后物体的温度T（℃）可由公式得出；现有一杯温度为70℃的温水，放在空气温度为零下10℃的冷藏室中，则当水温下降到10℃时，经过的时间约为（    ）参考数据：，.

A．3.048分钟 B．4.048分钟 C．5.048分钟 D．6.048分钟

【答案】C

【分析】先将已知数据代入公式，再用对数运算性质得到，用换底公式将为底的对数换成为底的对数，代入已知对数值计算即可.

【详解】依题意，，，，代入公式得：

（分钟），

故选：C.

8．函数的零点个数为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】当时令求出；当时，令，则，在同一直角坐标系中分别作出，的大致图象结合图象可得答案.

【详解】当时，令，解得；

当时，令，则，

在同一直角坐标系中分别作出，的大致图象如图所示，

观察可知，它们有2个交点，即函数有2个零点；

综上所述，函数的零点个数为3.

故选：C.

9．已知，且，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用三角函数的诱导公式，和差公式，辅助角公式及平方关系即可求解.

【详解】，

则；因为，故.

故选：A.

10．已知函数的大致图像如图所示，现有如下说法：①；②；③；则正确的个数为（    ）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】B

【分析】由可判断③，，记函数的极值点分别为，，然后根据韦达定理可判断①②.

【详解】因为，故③错误；

，记函数的极值点分别为，，

则，故，故①错误；

而，则，故②正确；

故选：B.

11．已知，，则，，的大小关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】构造函数，根据函数的单调性比较大小.

【详解】令，则，

令，解得，

因此在上单调递减，

又因为，，，

因为，所以.

故选：C.

12．已知函数，则下列说法错误的是（    ）

A．函数的最小正周期为

B．直线为函数图象的一条对称轴

C．函数在上单调递增

D．函数在上单调递减

【答案】D

【分析】根据周期函数的定义求函数的周期，证明为偶函数判断B，作函数在的图象判断A，根据函数的周期性和正弦函数的单调性判断C，D.

【详解】∵ ，

故为函数的一个周期；

因为

所以

又，，

所以，故函数为偶函数，所以直线为函数图象的一条对称轴，故B正确；

当时，，，

又，

所以，

所以

当时，，

；

作出函数的大致图象如下所示，

观察可知，为函数的最小正周期，故A正确；

函数在上的图象与其在上的图象相同，

当时，，此时，

所以函数在单调递增，故C正确，

函数在上的图象与其在上的图象相同，

当时，，此时，

所以函数在单调递减，故D错误，

故选：D.

二、填空题

13．命题“，”的否定为___________.

【答案】，

【分析】根据全称命题的否定是：只否定结论，条件不变，存在和任意要变即可写出答案.

【详解】全称命题的否定为存在命题，故“，”的否定为“，”.

故答案为：，.

14．若函数在上单调递增，则实数a的取值范围为___________.

【答案】

【分析】先求导，由导函数在上恒大于零，列出不等式即可求出答案.

【详解】依题意，，则，因为，故.

故答案为：

15．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是___________.（填写正确结论的序号）

①；②；③；④.

【答案】③

【分析】根据偶函数的定义和单调性的定义逐个分析判断.

【详解】对于①，因为，所以为偶函数，

任取，且，则

，

因为，且，所以，，

所以，即，所以函数在上为增函数，所以①错误，

对于②，因为，所以函数为奇函数，所以②错误；

对于③，当时，，当时，，所以函数为偶函数，

当时，单调递减，故③正确；

对于④，因为，所以此函数不是偶函数，所以④错误；

故答案为：③

16．已知，且，若，且，则实数的取值范围为___________.

【答案】

【分析】由条件可得，利用基本不等式求其最小值，结合对数函数性质求的最小值，由此可得的取值范围.

【详解】因为，故；；

因为，故，

令，，因为，，则且，则；

因为，

当且仅当，时等号成立，

故，则实数的取值范围为.

故答案为：.

三、解答题

17．已知函数

(1)求的值；

(2)求函数的极值.

【答案】(1)

(2)极小值为，无极大值

【分析】（1）先求出的导数，然后令即可；

（2）根据求极值的步骤求导，令，列表，根据表中数据即可求得极值.

【详解】(1)解：依题意，，令，

则，解得

(2)解：由（1）可知，，

令，则，解得，

当x变化时，，变化情况如下表：

故的极小值为，无极大值，

18．已知函数的部分图象如图所示，其中，，.

(1)求，，的值；

(2)将函数图象的横坐标伸长到原来的倍后，再向右平移个单位长度，得到函数的图象，求函数的单调区间.

【答案】(1)，，

(2)单调递增区间，单调递减区间为

【分析】（1）根据点与可知该函数周期，进而可得，代入点可求得，再代入点，可得；

（2）根据三角函数图象的伸缩平移变换可得，再利用整体代入法可得单调区间.

【详解】(1)由，，

得，则，

所以，

故；

而，故，则；

因为，故，

故；

将代入中，则，解得；

(2)由（1）得，

函数图象的横坐标伸长到原来的倍后，可得，

再向右平移个单位长度，得到函数，

令，

化简得，，

令，

化简得，

故函数的单调递增区间，

单调递减区间为.

19．已知函数，.

(1)判断函数的奇偶性，并给出证明；

(2)求不等式的解集.（结果用m，n表示）

【答案】(1)函数为偶函数，证明见解析

(2)

【分析】（1）先求出函数的定义域，然后根据函数奇偶性的定义判断即可，

（2）原不等式化为，则得，令，则转化为且，解出的范围，从而可求出不等式的解集.

【详解】(1)为偶函数，理由如下：

依题意，函数的定义域为，则定义域关于原点对称，

而，

故，

故函数为偶函数；

(2)依题意，，则，

令，则，从而（）式可化为，

所以且

所以且.

故且，

即不等式的解集为.

20．已知函数.

(1)若，求曲线在处的切线方程；

(2)若x=0为函数的极值点，且函数有两个零点，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）求出导函数，根据导数几何意义即可得到切线方程；

（2）由函数的极值点确定参数值，结合函数的单调性与极值，数形结合可得结果.

【详解】(1)依题意，故；

而，

故，又

故所求切线方程为；

(2)令，则；

，.

而，解得，经检验成立

所以，

故函数的定义域为R

；

令，解得或；

故当时，，当时，，当时，，

故函数在和上单调递增，在上单调递减；而，，

且当时，，当时，，

作出的大致图象如图所示，

观察可知，实数的取值范围为

21．已知中，角，，所对的边分别为，，，且.

(1)求B的值；

(2)已知的外接圆面积为，若，求实数的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用正弦定理进行边角互化，结合三角恒等变换进行化简求值；

（2）根据外接圆面积，结合正弦定理可得边，再利用三角形面积公式，余弦定理及基本不等式可得的取值范围.

【详解】(1)由正弦定理，，

故，

因为，故，

同理可得，，

故，

，即，

因为，故，解得；

(2)依题意得；

因为的外接圆面积为，

故的外接圆半径为，

由正弦定理，；

由余弦定理，，所以.（）

，所以；

将（）式代入，可得.

因为，所以由（）式可得，

即（当且仅当时等号成立），故，

所以

所以实数的取值范围为.

22．已知函数.

(1)若，求函数在上的单调区间；

(2)求证：.

【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为

(2)证明见解析

【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，再解关于导数的不等式，即可求出函数的单调区间；

（2）利用导数证明，令，则，即可得到，再证明对任意，，构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可得证；

【详解】(1)解：依题意，，

，

令，则，解得或（舍去）

故当时，，当时，，

故函数在上的单调递增区间为，

单调递减区间为；

(2)证明：当时，，

当时，，

故函数在上单调递增，故，

即，整理得，

令，则，

累加可得，；

下面证明：对任意，，

记函数，则，令，

则，故当时，，故在上单调递减，

所以，故函数在上单调递减，则，

即对，有，

令，则，

所以，

故，即.

【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．