2023届贵州省高三上学期联合考试数学（理）试题含答案

2023届贵州省高三上学期联合考试数学（理）试题

一、单选题

1．已知集合，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根据幂函数的性质求出集合，最后根据交集的定义计算可得.

【详解】解：由，即，解得，所以，

又，

所以；

故选：C

2．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】利用二倍角正弦公式及同角三角函数的基本关系计算可得.

【详解】解：因为，

所以；

故选：D

3．“”是“”的（    ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【分析】根据充分必要性的定义即可得到结果.

【详解】由可得，

因此“”是“”的必要不充分条件，

故选：A

4．已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点，若，则m=（    ）

A．-4 B．4 C．±4 D．5

【答案】B

【分析】根据任意角的三角函数的定义进行求解.

【详解】由题可知，，所以，

解得，(舍去)，故A，C，D错误.

故选：B.

5．已知函数，则（    ）

A．的最小正周期为 B．的图像关于点对称

C．的最大值为 D．的图像关于直线对称

【答案】B

【分析】利用降幂升角公式进行化简，转化为余弦型函数，再利用余弦函数的图像与性质进行求解.

【详解】因为，

所以的最小正周期为，故A错误；

因为，当时，，是的对称中心，

故的图像关于点对称，B正确；

因为，所以的最大值为，故C错误；

因为，当时，，不是的对称轴，故D错误.

故选：B.

6．已知命题p：在中，若，则，命题，.下列复合命题正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】命题可举出反例，得到命题为假命题，构造函数证明出，成立，从而判断出四个选项中的真命题.

【详解】在中，若，此时满足，但，故命题错误；

令，

则，

当时，，当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减，

所以在处取得极小值，也是最小值，

，

所以，成立，为真命题；

故为假命题，为假命题，为真命题，为假命题.

故选：C

7．函数的大致图像为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】利用函数奇偶性、特殊点的函数值、解不等式以及导数来研究函数图像进行判断.

【详解】因为函数，定义域为，

又，

所以为偶函数，故B错误；

由得，，

同理，由得，或，故C错误；

因为，，

所以，故D错误；

因为函数，定义域为，

且当时，，，

由有，，

同理，由，解得，

所以当时，在单调递增，在上单调递减，

又，所以A正确.

故选：A.

8．“学如逆水行舟，不进则退；心似平原跑马，易放难收．”《增广贤文》是勉励人们专心学习的．如果每天的“进步”率都是1％，那么一年后是；如果每天的“退步”率都是1％，那么一年后是，一年后“进步”的是“退步”的倍.如果每天的“进步”率和“退步”率都是20％，那么“进步”的是“退步”的1000倍需要经过的时间大约是（参考数据：1g 2≈0.3010，lg 3≈0.4771）（    ）

A．15天 B．17天 C．19天 D．21天

【答案】B

【分析】设大约用x天，根据题意得到，利用对数运算求解.

【详解】解：设大约用x天，“进步”的是“退步”的1000倍，

由题意得，即，

所以，

故选：B

9．将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若在上单调递增，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据三角函数平移变换可求得，利用代入检验的方式得到整体的范围，根据正弦函数单调区间可构造不等式求得结果.

【详解】向右平移个单位得：，

当时，，

在上单调递增，，解得：，

的最大值为.

故选：D

10．已知函数满足，函数与图象的交点分别为，，，，，则（    ）

A．-10 B．-5 C．5 D．10

【答案】B

【分析】依题意可得的图象关于点对称，又也关于点对称，可得两函数的交点也关于点对称，根据对称性计算可得.

【详解】解：因为，所以的图象关于点对称，

又也关于点对称，

则函数与图象的交点也关于点对称，

所以；

故选：B

11．已知，函数恰有3个零点，则m的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】分别求出两段函数各自的零点，作出图像利用数形结合即可得出答案.

【详解】设，，

令解得或2，

令在之间解得或或，

作出图形如下图

数形结合可得：，

故选：D.

12．已知，，，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】令,求导得，于是得在上单调递增，所以当时有，进而可得，由二倍角公式及的单调性可得，即可得答案.

【详解】解：令,则，

所以在上单调递增，

所以当时，，

即当时，，

所以，即，

又因为，

即，

综上所述：.

故选：A.

【点睛】本题考查了通过构造函数，利用函数的单调性进行大小比较，也考查了导数的应用和逻辑推理能力，属于较难题.

二、填空题

13．函数的图象在点处的切线方程为________.

【答案】

【分析】求出导函数，得到切线斜率，结合点斜式得到方程.

【详解】由，得，所以切线的斜率为，

又，所以切线方程为即

故答案为：

14．若，则________.

【答案】

【分析】利用诱导公式即可得到结果.

【详解】，

故答案为：

15．某城市一圆形空地的平面图如图所示，为了方便市民休闲健身，政府计划在该空地建设运动公园（图中阴影部分）.若是以B为直角的等腰直角三角形，，则该公园的面积为________.

【答案】

【分析】利用扇形面积公式即可得到结果.

【详解】由题可知圆心为的中点，，连接，

该公园的面积

故答案为：

16．设表示，两者中较小的一个，表示，两者中较大的一个.若函数在上有最大值，则m的取值范围为________.

【答案】

【分析】作出图像后数形结合求解

【详解】作出三个函数图像，

由题意得，

若在上有最大值，而，令得，

数形结合可得当时，在上有最大值，

故答案为：

三、解答题

17．已知函数是定义域在R上的奇函数，当时，.

(1)求在上的解析式；

(2)若，求a的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）由函数为奇函数，得到，结合定义可得结果；

（2）利用单调性与奇偶性解不等式即可.

【详解】(1)因为函数是定义域在R上的奇函数，所以，则.

当时，，所以，

则，

所以在上的解析式为

(2)当时，，则在上单调递增，

又函数为奇函数，所以在R上单调递增，

因为，所以，所以，

解得，即a的取值范围是

18．（1）计算的值；

（2）已知为锐角，，求.

【答案】（1）（2）

【分析】（1）利用两角差正切的变形公式，即可得到结果.

（2）利用配角的方式，转化为两角差余弦公式，即可解决.

【详解】（1）

；

（2）∵为锐角，所以，又，

所以.

19．已知函数的部分图象如图所示.

(1)求的解析式，并求的单调递增区间.

(2)把的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，且是奇函数.若命题“，”是假命题，求a的取值范围.

【答案】(1)，，.

(2)

【分析】（1）由五点作图法可得的解析式，利用整体代换法可得的单调递增区间；

（2）利用平移变换及奇偶性可得，根据全称命题为真命题得到a的取值范围.

【详解】(1)由图象可知，的最小正周期所以.

因为在处取得最大值，所以

又，所以，

因为所以，所以，

令，

得：，

所以的单调增区间为，.

(2)由题可知，因为是奇函数，所，

解得又，所以，此时，

因为命题“，”是假命题，

所以命题“，”是真命题，

即，因为，所以

所以，即a的取值范围.

20．已知函数为偶函数.

(1)求实数m的值；

(2)若对任意的，总存在，使得成立，求n的取值范围.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）根据函数奇偶性即可求得值；

（2）先由基本不等式求得的最小值，再通过变形得到成立，即即可.

【详解】(1)因为（）为偶函数，

所以有，取，即，

所以有，解得：.经检验成立

(2)由（1）知，，

将变形为，

因为，，所以，

当且仅当，即时，有最小值2.

所以存在，使得成立，

即存在，使得成立，

亦即存在，使得成立，

因为，当且仅当时取等号，

所以有，所以n的取值范围是.

21．设函数.

(1)讨论的单调性；

(2)若直线是曲线的切线，求a的值.

【答案】(1)见解析

(2)

【分析】（1）先求函数的定义域与导数，在分与讨论即可求解；

（2）设直线是曲线的切点为，由导数的几何意义求解即可

【详解】(1)因为的定义域为，

，

当时， 恒成立，

所以在上单调递增；

当，由得，

由得，

所以在上单调递增，在单调递减；

综上可知：时函数的递增区间为 ；

时函数的递增区间为，递减区间为；

(2)设直线是曲线的切点为，

则，即，

又因为，

所以，

令，

则在上恒成立，

当在递增，故在只有一个零点，

又，

所以 ，所以，即

【点睛】用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：

（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；

（2）不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；

（3）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用.

22．已知函数.

(1)若是的极值点，求的单调区间；

(2)若关于的方程恰有一个解，求a的取值范围.

【答案】(1)单调递增区间为，单调递减区间为；

(2)

【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，即可求出的值，再利用导数求出函数的单调区间；

（2）求出函数的导函数，令，，利用导数说明的单调性，由零点存在性定理可得存在使得，即可得到的单调性，从而求出的最小值，依题意可得，即可求出的值，从而得解.

【详解】(1)解：因为，所以，

因为是的极值点，所以，解得，经检验符合题意，

所以，，又与在上单调递增，

所以在上单调递增，又，

所以当时，当时，

即的单调递增区间为，单调递减区间为；

(2)解：显然，又，

令，，则恒成立，所以在上单调递增，

且，，

所以存在使得，

当时，即，当时，即，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以当时取得最小值，

由，可得，即，则，

因为关于的方程恰有一个解，

所以，即，

所以，当时等号成立，

由，可得，即的取值范围为；

【方法点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．