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江苏省泰州市兴化市常青藤学校联盟2022-2023学年八年级上学期第一次月度抽测数学试题（含答案）
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这是一份江苏省泰州市兴化市常青藤学校联盟2022-2023学年八年级上学期第一次月度抽测数学试题（含答案），共27页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
江苏省泰州市兴化市常青藤学校联盟2022-2023学年八年级
上学期第一次月度抽测数学试题（含答案与解析）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
1．（3分）第24届冬奥会将于2022年2月4日至20日在北京和张家口举办，北京是全世界唯一同时举办过夏季和冬季奥运会的城市，下列组成本届冬奥会会徽的四个图案中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地．但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（ ）
A．AB，BC两边垂直平分线的交点处
B．AB，BC两边高线的交点处
C．AB，BC两边中线的交点处
D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处
3．（3分）如图，直线a，b相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝1.7，若点P关于直线a，b的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（ ）
A．0 B．3 C．4 D．5
4．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，点D是AC上一点，连接BD，∠DBC＝60°，BC＝4，则AD长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．（3分）等腰三角形顶角为86°，则腰上的高与底边所成的角的度数为（ ）
A．4° B．43° C．47° D．53°
6．（3分）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是30cm2，AB＝13cm，AC＝7cm，则DE的长（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.）
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，则∠B＝ ．
8．（3分）某公路急转弯处设立了一面大镜子，从镜子中看到汽车的车辆的号码如图所示，则该汽车的号码是 ．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AC＝8，则AB＝ ．
10．（3分）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2＝ ．
11．（3分）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD＝1.5cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为 cm．
12．（3分）如图，在△ABC中，DF，EM分别垂直平分边AB，AC，若△AFM的周长为9，则BC＝ ．
13．（3分）已知一等腰三角形的两边长分别为1cm和3cm，则此三角形的周长为 cm．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于E，若AB＝10，BC＝7，AC＝8，则△AEF的周长为 ．
15．（3分）如图，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，……，An﹣1Bn﹣1＝An﹣1An（n≥2且n为整数），若∠B＝50°，则∠A2022A2023B2022的度数为 ．
16．（3分）如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连结AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点F．若点F是DE的中点，AD＝8，△AEF的面积为9，则点B、E之间的距离为 ．
三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）若△ABC的三边长分别为m﹣2，2m+1，8．
（1）求m的取值范围；
（2）若△ABC的三边均为整数，求△ABC的周长．
18．（8分）在如图所示的正方形网格中，已有两个正方形涂黑，请再将其中的一个空白正方形涂黑，使涂黑部分图形是一个轴对称图形（最少三种不同方法）．
19．（8分）如图，在△ABC中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，∠AFD＝155°，AB＝BC，求∠EDF的度数．
20．（10分）如图，BE是△ABC的角平分线，点D在AB上，且DB＝DE．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠A＝60°，∠AED＝50°，求∠CBE的大小．
21．（10分）如图所示，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，0）．
（1）作△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并给出A1、B1、C1三个顶点的坐标；
（2）求△ABC的面积．
22．（10分）已知：如图，△ABC是等边三角形，点E在BC的延长线上，给出下列信息：①点D是AC的中点；②CE＝CD；③DB＝DE．请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由．你选择的条件是 、 ，结论是 （只要填写序号）．
23．（10分）如图，已知△ABC，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若AB+AC＝10，DE＝3，求△ABC的面积．
24．（10分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：
①作线段AB的对称轴，分别交BC，AB于点D，E；②连接AD．
（要求：1．在答题纸上作图，保留作图痕迹，不写作法：2．铅笔完成作图后，用黑色水笔描黑，以保证阅卷扫描清晰．）
（2）如果AC＝5cm，BC＝7cm，可得△ACD的周长为 ；
（3）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，求∠B的度数．
25．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，点P为∠ABC、∠ACB的角平分线的交点．
（1）∠BPC的度数是 ．
（2）请问点P是否在∠BAC的角平分线上？请说明理由．
（3）证明：AB＝PC．
26．（14分）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
江苏省泰州市兴化市常青藤学校联盟2022-2023学年八年级
上学期第一次月度抽测数学试题参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
1．（3分）第24届冬奥会将于2022年2月4日至20日在北京和张家口举办，北京是全世界唯一同时举办过夏季和冬季奥运会的城市，下列组成本届冬奥会会徽的四个图案中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故A错误；
B．不是轴对称图形，故B错误；
C．不是轴对称图形，故C错误；
D．是轴对称图形，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
2．（3分）近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地．但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（ ）
A．AB，BC两边垂直平分线的交点处
B．AB，BC两边高线的交点处
C．AB，BC两边中线的交点处
D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处
【分析】根据线段垂直平分线的性质作出判断即可．
【解答】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可以判断出将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在AB，BC两边垂直平分线的交点处，
故选：A．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
3．（3分）如图，直线a，b相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝1.7，若点P关于直线a，b的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（ ）
A．0 B．3 C．4 D．5
【分析】由轴对称的性质得OP1＝OP＝1.7，OP＝OP2＝1.7，再根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得出结果．
【解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，如图：
∵点P关于直线a，b的对称点分别是点P1，P2，
∴OP1＝OP＝1.7，OP＝OP2＝1.7，
∵OP1+OP2＞P1P2，
∴0＜P1P2＜3.4，
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，解本题的关键是熟练掌握轴对称的性质和三角形三边的关系．
4．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，点D是AC上一点，连接BD，∠DBC＝60°，BC＝4，则AD长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】根据三角形内角和可得∠BDC＝30°，进而得出∠ABD＝15°＝∠A，得到AD＝BD，Rt△BDC中，由BC＝4，∠BDC＝30°，可求出BD＝2BC＝8＝AD即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠DBC＝60°，
∴∠BDC＝90°﹣60°＝30°，
又∵∠A＝15°，
∴∠ABD＝30°﹣15°＝15°＝∠A，
∴AD＝BD，
在Rt△BDC中，BC＝4，∠BDC＝30°，
∴BD＝2BC＝8＝AD，
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，熟记性质熟记解题的关键．
5．（3分）等腰三角形顶角为86°，则腰上的高与底边所成的角的度数为（ ）
A．4° B．43° C．47° D．53°
【分析】结合题意画出图形，可先求得两底角的大小，再结合直角三角形两锐角互余可求得答案．
【解答】解：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝86°，过C作CD⊥AB，垂足为D，
∴∠B＝＝＝47°，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠DCB＝90°，
∴∠DCB＝90°﹣47°＝43°，
即腰上的高与底边所成的角的度数为43°．
故选：B．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理是解题的关键．
6．（3分）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是30cm2，AB＝13cm，AC＝7cm，则DE的长（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】根据角平分线的性质得到DE＝DF，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴S△ABC＝×AB×DE+×AC×DF＝30（cm2），即×13×DE+×7×DF＝30，
解得DE＝DF＝3cm，
故选：A．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.）
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，则∠B＝ 50° ．
【分析】利用三角形的内角和，以及等边对等角来解决即可．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B+∠C＝100°，
∴∠B＝∠C＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
8．（3分）某公路急转弯处设立了一面大镜子，从镜子中看到汽车的车辆的号码如图所示，则该汽车的号码是 B6395 ．
【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“B6395”成轴对称，则该汽车的号码是B6395．
【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AC＝8，则AB＝ 4 ．
【分析】利用含30°角的直角三角形性质可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AC＝8，
∴AB＝AC＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，掌握含30° 角的直角三角形的性质是解题的关键．
10．（3分）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2＝ 90° ．
【分析】直接利用全等图形的性质得出∠1＝∠FDE，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：
由题意可得：△ACB≌△DFE，
则∠1＝∠FDE，
∵∠2+∠FDE＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
故答案为：90°．
【点评】此题主要考查了全等图形，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．
11．（3分）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD＝1.5cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为 1.5 cm．
【分析】过P点作PH⊥OB于H，如图，根据角平分线的性质得到PH＝PD＝1.5，然后根据垂线段最短求解．
【解答】解：过P点作PH⊥OB于H，如图，
∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB，
∴PH＝PD＝1.5cm，
∵点E是射线OB上的动点，
∴PE的最小值为PH的值，即1.5cm．
故答案为：1.5．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．
12．（3分）如图，在△ABC中，DF，EM分别垂直平分边AB，AC，若△AFM的周长为9，则BC＝ 9 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BF＝AF，AM＝CM，进一步即可求出BC的长．
【解答】解：∵DF，EM分别垂直平分边AB，AC，
∴BF＝AF，AM＝CM，
∵△AFM的周长为9，
∴AF+FM+AM＝9，
∴BC＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
13．（3分）已知一等腰三角形的两边长分别为1cm和3cm，则此三角形的周长为 7 cm．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为1cm和3cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当腰长是1cm时，因为1+1＜3，不符合三角形的三边关系，舍去；
当腰长是3cm时，因为1+3＞3，符合三角形三边关系，此时周长是1+3+3＝7（cm）．
故答案为：7．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这是解题的关键．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于E，若AB＝10，BC＝7，AC＝8，则△AEF的周长为 18 ．
【分析】根据角平分线和平行线的性质可得∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，从而可得EB＝ED，FD＝FC，然后利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠DCB，
∴∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，
∴EB＝ED，FD＝FC，
∴△AEF的周长＝AE+EF+AF
＝AE+ED+DF+AF
＝AE+BE+CF+AF
＝AB+AC
＝10+8
＝18，
故答案为：18．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线和平行线可证明等腰三角形是解题的关键．
15．（3分）如图，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，……，An﹣1Bn﹣1＝An﹣1An（n≥2且n为整数），若∠B＝50°，则∠A2022A2023B2022的度数为 ．
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠AA1B的度数，根据三角形外角的性质可得∠A1A2B1的度数，同理可得∠A2A3B2的度数，找出等腰三角形底角的规律，即可求出∠A2022A2023B2022的度数．
【解答】解：∵AB＝A1B，∠B＝50°，
∴∠AA1B＝（180°﹣50°）÷2＝65°，
∵A1B1＝A1A2，
∴∠A1A2B1＝，
同理可得∠A2A3B2＝，
∴∠A2022A2023B2022＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰三角形与规律的结合，三角形外角的性质等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
16．（3分）如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连结AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点F．若点F是DE的中点，AD＝8，△AEF的面积为9，则点B、E之间的距离为 9 ．
【分析】先根据面积求B到AD的距离，再求B，E的距离．
【解答】解：∵F是DE的中点，
∴S△ADE＝2S△AEF＝18．
如图：
连接B、E交AD于H，由翻折的性质得：BE＝2BH，BE⊥AD，S△ABD＝S△ADE＝18，
∴BH×AD＝18，
∴BH＝＝＝，
∴BE＝2×＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查翻折的性质，充分利用翻折性质，利用面积公式求高是求解本题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）若△ABC的三边长分别为m﹣2，2m+1，8．
（1）求m的取值范围；
（2）若△ABC的三边均为整数，求△ABC的周长．
【分析】（1）直接利用三角形三边关系得出不等式组求出答案；
（2）利用m的取值范围得出m的值，进而得出答案．
【解答】解：（1）根据三角形的三边关系，
，
解得：3＜m＜5；
（2）因为△ABC的三边均为整数，且3＜m＜5，所以m＝4．
所以，△ABC 的周长为：（m﹣2）+（2m+1）+8＝3m+7＝3×4+7＝19．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，正确得出不等式组是解题关键．
18．（8分）在如图所示的正方形网格中，已有两个正方形涂黑，请再将其中的一个空白正方形涂黑，使涂黑部分图形是一个轴对称图形（最少三种不同方法）．
【分析】根据轴对称图形的定义即可解决问题．
【解答】解：如图有5种方法：
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
19．（8分）如图，在△ABC中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，∠AFD＝155°，AB＝BC，求∠EDF的度数．
【分析】根据已知条件以及外角的性质可得∠C的度数，再根据等腰三角形的性质可得∠A的度数，进一步可得∠B的度数，再根据三角形外角的性质可得∠EDC的度数，进一步即可求出∠EDF的度数．
【解答】解：∵DF⊥BC，
∴∠FDC＝90°，
∵∠AFD＝∠C+∠FDC＝155°，
∴∠C＝65°，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C＝65°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝50°，
∵DE⊥AB，
∴∠BED＝90°，
∵∠EDC＝∠B+∠BED，∠FDC＝90°，
∴∠EDF＝∠B＝50°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质和三角形的内角和定理等，熟练掌握这些性质并灵活运用是解题的关键．
20．（10分）如图，BE是△ABC的角平分线，点D在AB上，且DB＝DE．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠A＝60°，∠AED＝50°，求∠CBE的大小．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠DBE＝∠EBC，从而求出∠DEB＝∠EBC，再利用内错角相等，两直线平行证明即可；
（2）由（1）中DE∥BC可得到∠C＝∠AED＝45°，再根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC，最后用角平分线求出∠DBE＝∠EBC，即可得解．
【解答】（1）证明：∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC，
∵DB＝DE，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴∠DEB＝∠EBC，
∴DE∥BC；
（2）解：∵DE∥BC，
∴∠C＝∠AED＝50°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣60°﹣50°＝70°，
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC＝∠ABC＝35°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，角平分线的定义，准确识别图形是解题的关键．
21．（10分）如图所示，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，0）．
（1）作△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并给出A1、B1、C1三个顶点的坐标；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出三个顶点的坐标．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
A1（﹣1，﹣1），B1（4，﹣2），C1（3，0）．
（2）S△ABC＝3×2﹣﹣﹣＝．
∴△ABC的面积为．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
22．（10分）已知：如图，△ABC是等边三角形，点E在BC的延长线上，给出下列信息：①点D是AC的中点；②CE＝CD；③DB＝DE．请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由．你选择的条件是 ① 、 ② ，结论是 ③ （只要填写序号）．
【分析】以①②为条件，③为结论，则由等边三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，则可求得∠CBD＝30°，再由三角形的外角性质得∠BCD＝∠E+∠CDE，由等腰三角形的性质得∠E＝∠CDE，即可求得∠E＝30°，从而有∠E＝∠CBD，即可判断DB＝DE．
【解答】解：选择的条件是①、②，结论是③，命题正确，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC＝30°，
∵∠BCD是△CDE的外角，
∴∠BCD＝∠E+∠CDE，
∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，
∴∠E＝∠CDE＝∠BCD＝30°，
∴∠E＝∠CBD，
∴DB＝DE．
故答案为：①、②，③．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质，命题，解答的关键是熟记等边三角形的性质并灵活运用．
23．（10分）如图，已知△ABC，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若AB+AC＝10，DE＝3，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据AAS证明△AED≌△AFD，可得AE＝AF，再根据等腰三角形的性质即可得证；
（2）根据角平分线的性质可得DE＝DF，再根据△ABC的面积＝求解即可．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEA＝∠DFA＝90°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴AG⊥EF，EG＝FG，
∴AD垂直平分EF；
（2）解：∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE＝DF，
∵DE＝3，
∴DF＝3，
∵AB+AC＝10，
∴△ABC的面积＝
＝
＝15．
【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
24．（10分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：
①作线段AB的对称轴，分别交BC，AB于点D，E；②连接AD．
（要求：1．在答题纸上作图，保留作图痕迹，不写作法：2．铅笔完成作图后，用黑色水笔描黑，以保证阅卷扫描清晰．）
（2）如果AC＝5cm，BC＝7cm，可得△ACD的周长为 12cm ；
（3）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，求∠B的度数．
【分析】（1）作AB的垂直平分线即可；
（2）利用线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，再利用等线段代换得到△ACD的周长＝AC+BC；
（3）设∠CAD＝x，∠BAD＝2x，由DA＝DB得到∠DAB＝∠B＝2x，再根据三角形内角和定理得到2x+3x＝90°，然后求出x，从而得到∠B的度数．
【解答】解：（1）如图，
（2）∵A点与B点关于DE对称，
∴DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝5+7＝12（cm）；
故答案为：12cm；
（3）∵∠CAD：∠BAD＝1：2，
∴设∠CAD＝x，∠BAD＝2x，
∵DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝2x，
∵∠C＝90°，
∴∠B+∠CAB＝90°，
即2x+3x＝90°，
解得x＝18°，
∴∠B＝2x＝36°．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，在画一个图形的轴对称图形时，先从确定一些特殊的对称点开始．
25．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，点P为∠ABC、∠ACB的角平分线的交点．
（1）∠BPC的度数是 130° ．
（2）请问点P是否在∠BAC的角平分线上？请说明理由．
（3）证明：AB＝PC．
【分析】（1）由P点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点可推出∠PBC+∠PCB＝50°，再利用三角形内角和定理即可求出∠BPC的度数；
（2）过点P分别作△ABC的垂足分别为D、E、F，根据角平分线的性质即可得到结论；
（3）证明：延长AP，在AP延长线上取PG＝PC，连接GC，根据角平分线的定义得到∠PAC＝40°，∠ACP＝20°，推出△PGC为等边三角形，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵P点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，
∴∠CBP＝∠ABP＝∠ABC，∠BCP＝∠ACP＝∠ACB，
∵∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，
∴∠PBC+∠PCB＝∠ABC+∠ACB＝30°+20°＝50°，
∴∠BPC＝180°﹣50°＝130°，
故答案为：130°；
（2）答：点P在∠BAC的角平分线上，理由如下：
过点p分别作三角形三边的垂线，垂足分别为D、E、F，
∵PB、PC分别是∠ABC、∠ACB 的角平分线，
∴PD＝PE PE＝PF，
∴PD＝PF，
∴点P在∠BAC的角平分线上；
（3）证明：延长AP，在AP延长线上取PG＝PC，连接GC，
∵AP、CP分别为∠BAC、∠ACB的平分线，
∴∠PAC＝40°，∠ACP＝20°，
∴∠GPC＝∠PAC+∠ACP＝60°，
∴△PGC为等边三角形，
∴∠G＝60°＝∠ABC，PC＝CG，
在△ABC和△CGA中，
，
∴△ABC≌△CGA（AAS），
∴AB＝CG，
又∵PC＝CG，
故AB＝PC．
【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
26．（14分）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；
（2）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝60°；
（3）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝120°．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ＝∠CAP，AB＝CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP＝BQ，
在△ABQ与△CAP中，
∵，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；
（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠ACP+∠MAC，
∴∠QMC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC＝60°…（6分）
（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．（7分）
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°．
【点评】此题是一个综合性题目，主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．
江苏省泰州市兴化市常青藤学校联盟2022-2023学年八年级
上学期第一次月度抽测数学试题（含答案与解析）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
1．（3分）第24届冬奥会将于2022年2月4日至20日在北京和张家口举办，北京是全世界唯一同时举办过夏季和冬季奥运会的城市，下列组成本届冬奥会会徽的四个图案中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（3分）近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地．但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（ ）
A．AB，BC两边垂直平分线的交点处
B．AB，BC两边高线的交点处
C．AB，BC两边中线的交点处
D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处
3．（3分）如图，直线a，b相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝1.7，若点P关于直线a，b的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（ ）
A．0 B．3 C．4 D．5
4．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，点D是AC上一点，连接BD，∠DBC＝60°，BC＝4，则AD长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．（3分）等腰三角形顶角为86°，则腰上的高与底边所成的角的度数为（ ）
A．4° B．43° C．47° D．53°
6．（3分）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是30cm2，AB＝13cm，AC＝7cm，则DE的长（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.）
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，则∠B＝ ．
8．（3分）某公路急转弯处设立了一面大镜子，从镜子中看到汽车的车辆的号码如图所示，则该汽车的号码是 ．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AC＝8，则AB＝ ．
10．（3分）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2＝ ．
11．（3分）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD＝1.5cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为 cm．
12．（3分）如图，在△ABC中，DF，EM分别垂直平分边AB，AC，若△AFM的周长为9，则BC＝ ．
13．（3分）已知一等腰三角形的两边长分别为1cm和3cm，则此三角形的周长为 cm．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于E，若AB＝10，BC＝7，AC＝8，则△AEF的周长为 ．
15．（3分）如图，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，……，An﹣1Bn﹣1＝An﹣1An（n≥2且n为整数），若∠B＝50°，则∠A2022A2023B2022的度数为 ．
16．（3分）如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连结AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点F．若点F是DE的中点，AD＝8，△AEF的面积为9，则点B、E之间的距离为 ．
三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）若△ABC的三边长分别为m﹣2，2m+1，8．
（1）求m的取值范围；
（2）若△ABC的三边均为整数，求△ABC的周长．
18．（8分）在如图所示的正方形网格中，已有两个正方形涂黑，请再将其中的一个空白正方形涂黑，使涂黑部分图形是一个轴对称图形（最少三种不同方法）．
19．（8分）如图，在△ABC中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，∠AFD＝155°，AB＝BC，求∠EDF的度数．
20．（10分）如图，BE是△ABC的角平分线，点D在AB上，且DB＝DE．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠A＝60°，∠AED＝50°，求∠CBE的大小．
21．（10分）如图所示，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，0）．
（1）作△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并给出A1、B1、C1三个顶点的坐标；
（2）求△ABC的面积．
22．（10分）已知：如图，△ABC是等边三角形，点E在BC的延长线上，给出下列信息：①点D是AC的中点；②CE＝CD；③DB＝DE．请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由．你选择的条件是 、 ，结论是 （只要填写序号）．
23．（10分）如图，已知△ABC，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若AB+AC＝10，DE＝3，求△ABC的面积．
24．（10分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：
①作线段AB的对称轴，分别交BC，AB于点D，E；②连接AD．
（要求：1．在答题纸上作图，保留作图痕迹，不写作法：2．铅笔完成作图后，用黑色水笔描黑，以保证阅卷扫描清晰．）
（2）如果AC＝5cm，BC＝7cm，可得△ACD的周长为 ；
（3）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，求∠B的度数．
25．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，点P为∠ABC、∠ACB的角平分线的交点．
（1）∠BPC的度数是 ．
（2）请问点P是否在∠BAC的角平分线上？请说明理由．
（3）证明：AB＝PC．
26．（14分）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
江苏省泰州市兴化市常青藤学校联盟2022-2023学年八年级
上学期第一次月度抽测数学试题参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的）
1．（3分）第24届冬奥会将于2022年2月4日至20日在北京和张家口举办，北京是全世界唯一同时举办过夏季和冬季奥运会的城市，下列组成本届冬奥会会徽的四个图案中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的定义进行逐一判断即可．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故A错误；
B．不是轴对称图形，故B错误；
C．不是轴对称图形，故C错误；
D．是轴对称图形，故D正确．
故选：D．
【点评】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形．
2．（3分）近年来，高速铁路的规划与建设成为各地政府争取的重要项目，如图，A，B，C三地都想将高铁站的修建项目落户在当地．但是，国资委为了使A，B，C三地的民众都能享受高铁带来的便利，决定将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在（ ）
A．AB，BC两边垂直平分线的交点处
B．AB，BC两边高线的交点处
C．AB，BC两边中线的交点处
D．∠B，∠C两内角的平分线的交点处
【分析】根据线段垂直平分线的性质作出判断即可．
【解答】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，可以判断出将高铁站修建在到A，B，C三地距离都相等的地方，则高铁站应建在AB，BC两边垂直平分线的交点处，
故选：A．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键．
3．（3分）如图，直线a，b相交于点O，P为这两直线外一点，且OP＝1.7，若点P关于直线a，b的对称点分别是点P1，P2，则P1，P2之间的距离可能是（ ）
A．0 B．3 C．4 D．5
【分析】由轴对称的性质得OP1＝OP＝1.7，OP＝OP2＝1.7，再根据三角形任意两边之和大于第三边，即可得出结果．
【解答】解：连接OP1，OP2，P1P2，如图：
∵点P关于直线a，b的对称点分别是点P1，P2，
∴OP1＝OP＝1.7，OP＝OP2＝1.7，
∵OP1+OP2＞P1P2，
∴0＜P1P2＜3.4，
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，解本题的关键是熟练掌握轴对称的性质和三角形三边的关系．
4．（3分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝15°，点D是AC上一点，连接BD，∠DBC＝60°，BC＝4，则AD长是（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【分析】根据三角形内角和可得∠BDC＝30°，进而得出∠ABD＝15°＝∠A，得到AD＝BD，Rt△BDC中，由BC＝4，∠BDC＝30°，可求出BD＝2BC＝8＝AD即可．
【解答】解：∵∠C＝90°，∠DBC＝60°，
∴∠BDC＝90°﹣60°＝30°，
又∵∠A＝15°，
∴∠ABD＝30°﹣15°＝15°＝∠A，
∴AD＝BD，
在Rt△BDC中，BC＝4，∠BDC＝30°，
∴BD＝2BC＝8＝AD，
故选：C．
【点评】本题考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等角对等边的性质，熟记性质熟记解题的关键．
5．（3分）等腰三角形顶角为86°，则腰上的高与底边所成的角的度数为（ ）
A．4° B．43° C．47° D．53°
【分析】结合题意画出图形，可先求得两底角的大小，再结合直角三角形两锐角互余可求得答案．
【解答】解：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝86°，过C作CD⊥AB，垂足为D，
∴∠B＝＝＝47°，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠DCB＝90°，
∴∠DCB＝90°﹣47°＝43°，
即腰上的高与底边所成的角的度数为43°．
故选：B．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形两底角相等和三角形内角和定理是解题的关键．
6．（3分）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是30cm2，AB＝13cm，AC＝7cm，则DE的长（ ）
A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm
【分析】根据角平分线的性质得到DE＝DF，根据三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：∵AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
∴S△ABC＝×AB×DE+×AC×DF＝30（cm2），即×13×DE+×7×DF＝30，
解得DE＝DF＝3cm，
故选：A．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上.）
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，则∠B＝ 50° ．
【分析】利用三角形的内角和，以及等边对等角来解决即可．
【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B+∠C＝100°，
∴∠B＝∠C＝50°，
故答案为：50°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握其性质是解题的关键．
8．（3分）某公路急转弯处设立了一面大镜子，从镜子中看到汽车的车辆的号码如图所示，则该汽车的号码是 B6395 ．
【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【解答】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“B6395”成轴对称，则该汽车的号码是B6395．
【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AC＝8，则AB＝ 4 ．
【分析】利用含30°角的直角三角形性质可求解．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，AC＝8，
∴AB＝AC＝4，
故答案为：4．
【点评】本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，掌握含30° 角的直角三角形的性质是解题的关键．
10．（3分）如图，已知方格纸中是4个相同的正方形，则∠1+∠2＝ 90° ．
【分析】直接利用全等图形的性质得出∠1＝∠FDE，进而得出答案．
【解答】解：如图所示：
由题意可得：△ACB≌△DFE，
则∠1＝∠FDE，
∵∠2+∠FDE＝90°，
∴∠1+∠2＝90°．
故答案为：90°．
【点评】此题主要考查了全等图形，正确掌握全等三角形的性质是解题关键．
11．（3分）如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D，PD＝1.5cm，点E是射线OB上的动点，则PE的最小值为 1.5 cm．
【分析】过P点作PH⊥OB于H，如图，根据角平分线的性质得到PH＝PD＝1.5，然后根据垂线段最短求解．
【解答】解：过P点作PH⊥OB于H，如图，
∵OC平分∠AOB，PD⊥OA，PH⊥OB，
∴PH＝PD＝1.5cm，
∵点E是射线OB上的动点，
∴PE的最小值为PH的值，即1.5cm．
故答案为：1.5．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了垂线段最短．
12．（3分）如图，在△ABC中，DF，EM分别垂直平分边AB，AC，若△AFM的周长为9，则BC＝ 9 ．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得BF＝AF，AM＝CM，进一步即可求出BC的长．
【解答】解：∵DF，EM分别垂直平分边AB，AC，
∴BF＝AF，AM＝CM，
∵△AFM的周长为9，
∴AF+FM+AM＝9，
∴BC＝9，
故答案为：9．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
13．（3分）已知一等腰三角形的两边长分别为1cm和3cm，则此三角形的周长为 7 cm．
【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为1cm和3cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．
【解答】解：当腰长是1cm时，因为1+1＜3，不符合三角形的三边关系，舍去；
当腰长是3cm时，因为1+3＞3，符合三角形三边关系，此时周长是1+3+3＝7（cm）．
故答案为：7．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这是解题的关键．
14．（3分）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点D，过点D作EF∥BC交AB于E，交AC于E，若AB＝10，BC＝7，AC＝8，则△AEF的周长为 18 ．
【分析】根据角平分线和平行线的性质可得∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，从而可得EB＝ED，FD＝FC，然后利用线段的和差关系，进行计算即可解答．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，
∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，
∴∠ABD＝∠DBC，∠ACD＝∠DCB，
∴∠ABD＝∠EDB，∠ACD＝∠FDC，
∴EB＝ED，FD＝FC，
∴△AEF的周长＝AE+EF+AF
＝AE+ED+DF+AF
＝AE+BE+CF+AF
＝AB+AC
＝10+8
＝18，
故答案为：18．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握角平分线和平行线可证明等腰三角形是解题的关键．
15．（3分）如图，已知AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，……，An﹣1Bn﹣1＝An﹣1An（n≥2且n为整数），若∠B＝50°，则∠A2022A2023B2022的度数为 ．
【分析】根据等腰三角形的性质可得∠AA1B的度数，根据三角形外角的性质可得∠A1A2B1的度数，同理可得∠A2A3B2的度数，找出等腰三角形底角的规律，即可求出∠A2022A2023B2022的度数．
【解答】解：∵AB＝A1B，∠B＝50°，
∴∠AA1B＝（180°﹣50°）÷2＝65°，
∵A1B1＝A1A2，
∴∠A1A2B1＝，
同理可得∠A2A3B2＝，
∴∠A2022A2023B2022＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰三角形与规律的结合，三角形外角的性质等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
16．（3分）如图，三角形纸片ABC，点D是BC边上一点，连结AD，把△ABD沿着AD翻折，得到△AED，DE与AC交于点F．若点F是DE的中点，AD＝8，△AEF的面积为9，则点B、E之间的距离为 9 ．
【分析】先根据面积求B到AD的距离，再求B，E的距离．
【解答】解：∵F是DE的中点，
∴S△ADE＝2S△AEF＝18．
如图：
连接B、E交AD于H，由翻折的性质得：BE＝2BH，BE⊥AD，S△ABD＝S△ADE＝18，
∴BH×AD＝18，
∴BH＝＝＝，
∴BE＝2×＝9．
故答案为：9．
【点评】本题考查翻折的性质，充分利用翻折性质，利用面积公式求高是求解本题的关键．
三、解答题（本大题共10小题，满分102分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）若△ABC的三边长分别为m﹣2，2m+1，8．
（1）求m的取值范围；
（2）若△ABC的三边均为整数，求△ABC的周长．
【分析】（1）直接利用三角形三边关系得出不等式组求出答案；
（2）利用m的取值范围得出m的值，进而得出答案．
【解答】解：（1）根据三角形的三边关系，
，
解得：3＜m＜5；
（2）因为△ABC的三边均为整数，且3＜m＜5，所以m＝4．
所以，△ABC 的周长为：（m﹣2）+（2m+1）+8＝3m+7＝3×4+7＝19．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，正确得出不等式组是解题关键．
18．（8分）在如图所示的正方形网格中，已有两个正方形涂黑，请再将其中的一个空白正方形涂黑，使涂黑部分图形是一个轴对称图形（最少三种不同方法）．
【分析】根据轴对称图形的定义即可解决问题．
【解答】解：如图有5种方法：
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
19．（8分）如图，在△ABC中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点D，∠AFD＝155°，AB＝BC，求∠EDF的度数．
【分析】根据已知条件以及外角的性质可得∠C的度数，再根据等腰三角形的性质可得∠A的度数，进一步可得∠B的度数，再根据三角形外角的性质可得∠EDC的度数，进一步即可求出∠EDF的度数．
【解答】解：∵DF⊥BC，
∴∠FDC＝90°，
∵∠AFD＝∠C+∠FDC＝155°，
∴∠C＝65°，
∵AB＝BC，
∴∠A＝∠C＝65°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝50°，
∵DE⊥AB，
∴∠BED＝90°，
∵∠EDC＝∠B+∠BED，∠FDC＝90°，
∴∠EDF＝∠B＝50°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质和三角形的内角和定理等，熟练掌握这些性质并灵活运用是解题的关键．
20．（10分）如图，BE是△ABC的角平分线，点D在AB上，且DB＝DE．
（1）求证：DE∥BC；
（2）若∠A＝60°，∠AED＝50°，求∠CBE的大小．
【分析】（1）根据角平分线的定义可得∠DBE＝∠EBC，从而求出∠DEB＝∠EBC，再利用内错角相等，两直线平行证明即可；
（2）由（1）中DE∥BC可得到∠C＝∠AED＝45°，再根据三角形的内角和等于180°求出∠ABC，最后用角平分线求出∠DBE＝∠EBC，即可得解．
【解答】（1）证明：∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC，
∵DB＝DE，
∴∠DEB＝∠DBE，
∴∠DEB＝∠EBC，
∴DE∥BC；
（2）解：∵DE∥BC，
∴∠C＝∠AED＝50°，
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠ABC＝180°﹣∠A﹣∠C＝180°﹣60°﹣50°＝70°，
∵BE是△ABC的角平分线，
∴∠DBE＝∠EBC＝∠ABC＝35°．
【点评】本题考查了三角形的内角和定理，平行线的判定与性质，角平分线的定义，准确识别图形是解题的关键．
21．（10分）如图所示，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1）、B（4，2）、C（3，0）．
（1）作△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并给出A1、B1、C1三个顶点的坐标；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出三个顶点的坐标．
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．
A1（﹣1，﹣1），B1（4，﹣2），C1（3，0）．
（2）S△ABC＝3×2﹣﹣﹣＝．
∴△ABC的面积为．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、三角形的面积，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键．
22．（10分）已知：如图，△ABC是等边三角形，点E在BC的延长线上，给出下列信息：①点D是AC的中点；②CE＝CD；③DB＝DE．请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题．试判断这个命题是否正确，并说明理由．你选择的条件是 ① 、 ② ，结论是 ③ （只要填写序号）．
【分析】以①②为条件，③为结论，则由等边三角形的性质可得∠ACB＝∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，则可求得∠CBD＝30°，再由三角形的外角性质得∠BCD＝∠E+∠CDE，由等腰三角形的性质得∠E＝∠CDE，即可求得∠E＝30°，从而有∠E＝∠CBD，即可判断DB＝DE．
【解答】解：选择的条件是①、②，结论是③，命题正确，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，
∴∠ACB＝∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，
∴∠CBD＝∠ABC＝30°，
∵∠BCD是△CDE的外角，
∴∠BCD＝∠E+∠CDE，
∵CE＝CD，
∴∠E＝∠CDE，
∴∠E＝∠CDE＝∠BCD＝30°，
∴∠E＝∠CBD，
∴DB＝DE．
故答案为：①、②，③．
【点评】本题主要考查等边三角形的性质，命题，解答的关键是熟记等边三角形的性质并灵活运用．
23．（10分）如图，已知△ABC，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G．
（1）求证：AD垂直平分EF；
（2）若AB+AC＝10，DE＝3，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据AAS证明△AED≌△AFD，可得AE＝AF，再根据等腰三角形的性质即可得证；
（2）根据角平分线的性质可得DE＝DF，再根据△ABC的面积＝求解即可．
【解答】（1）证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEA＝∠DFA＝90°，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴∠EAD＝∠FAD，
在△AED和△AFD中，
，
∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE＝AF，
∵AD是∠BAC的角平分线，
∴AG⊥EF，EG＝FG，
∴AD垂直平分EF；
（2）解：∵AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，
∴DE＝DF，
∵DE＝3，
∴DF＝3，
∵AB+AC＝10，
∴△ABC的面积＝
＝
＝15．
【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等，熟练掌握这些性质是解题的关键．
24．（10分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°．
（1）尺规作图：
①作线段AB的对称轴，分别交BC，AB于点D，E；②连接AD．
（要求：1．在答题纸上作图，保留作图痕迹，不写作法：2．铅笔完成作图后，用黑色水笔描黑，以保证阅卷扫描清晰．）
（2）如果AC＝5cm，BC＝7cm，可得△ACD的周长为 12cm ；
（3）如果∠CAD：∠BAD＝1：2，求∠B的度数．
【分析】（1）作AB的垂直平分线即可；
（2）利用线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，再利用等线段代换得到△ACD的周长＝AC+BC；
（3）设∠CAD＝x，∠BAD＝2x，由DA＝DB得到∠DAB＝∠B＝2x，再根据三角形内角和定理得到2x+3x＝90°，然后求出x，从而得到∠B的度数．
【解答】解：（1）如图，
（2）∵A点与B点关于DE对称，
∴DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝AC+CD+BD＝AC+BC＝5+7＝12（cm）；
故答案为：12cm；
（3）∵∠CAD：∠BAD＝1：2，
∴设∠CAD＝x，∠BAD＝2x，
∵DA＝DB，
∴∠DAB＝∠B＝2x，
∵∠C＝90°，
∴∠B+∠CAB＝90°，
即2x+3x＝90°，
解得x＝18°，
∴∠B＝2x＝36°．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，在画一个图形的轴对称图形时，先从确定一些特殊的对称点开始．
25．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，点P为∠ABC、∠ACB的角平分线的交点．
（1）∠BPC的度数是 130° ．
（2）请问点P是否在∠BAC的角平分线上？请说明理由．
（3）证明：AB＝PC．
【分析】（1）由P点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点可推出∠PBC+∠PCB＝50°，再利用三角形内角和定理即可求出∠BPC的度数；
（2）过点P分别作△ABC的垂足分别为D、E、F，根据角平分线的性质即可得到结论；
（3）证明：延长AP，在AP延长线上取PG＝PC，连接GC，根据角平分线的定义得到∠PAC＝40°，∠ACP＝20°，推出△PGC为等边三角形，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵P点是∠ABC和∠ACB角平分线的交点，
∴∠CBP＝∠ABP＝∠ABC，∠BCP＝∠ACP＝∠ACB，
∵∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，
∴∠PBC+∠PCB＝∠ABC+∠ACB＝30°+20°＝50°，
∴∠BPC＝180°﹣50°＝130°，
故答案为：130°；
（2）答：点P在∠BAC的角平分线上，理由如下：
过点p分别作三角形三边的垂线，垂足分别为D、E、F，
∵PB、PC分别是∠ABC、∠ACB 的角平分线，
∴PD＝PE PE＝PF，
∴PD＝PF，
∴点P在∠BAC的角平分线上；
（3）证明：延长AP，在AP延长线上取PG＝PC，连接GC，
∵AP、CP分别为∠BAC、∠ACB的平分线，
∴∠PAC＝40°，∠ACP＝20°，
∴∠GPC＝∠PAC+∠ACP＝60°，
∴△PGC为等边三角形，
∴∠G＝60°＝∠ABC，PC＝CG，
在△ABC和△CGA中，
，
∴△ABC≌△CGA（AAS），
∴AB＝CG，
又∵PC＝CG，
故AB＝PC．
【点评】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
26．（14分）如图1，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点（端点除外），点P从顶点A、点Q从顶点B同时出发，且它们的运动速度相同，连接AQ、CP交于点M．
（1）求证：△ABQ≌△CAP；
（2）当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数．
（3）如图2，若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，直线AQ、CP交点为M，则∠QMC变化吗？若变化，请说明理由；若不变，则求出它的度数．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用SAS证明△ABQ≌△CAP；
（2）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝60°；
（3）由△ABQ≌△CAP根据全等三角形的性质可得∠BAQ＝∠ACP，从而得到∠QMC＝120°．
【解答】（1）证明：∵△ABC是等边三角形
∴∠ABQ＝∠CAP，AB＝CA，
又∵点P、Q运动速度相同，
∴AP＝BQ，
在△ABQ与△CAP中，
∵，
∴△ABQ≌△CAP（SAS）；
（2）解：点P、Q在运动的过程中，∠QMC不变．
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠ACP+∠MAC，
∴∠QMC＝∠BAQ+∠MAC＝∠BAC＝60°…（6分）
（3）解：点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变．（7分）
理由：∵△ABQ≌△CAP，
∴∠BAQ＝∠ACP，
∵∠QMC＝∠BAQ+∠APM，
∴∠QMC＝∠ACP+∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°．
【点评】此题是一个综合性题目，主要考查等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．
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