江苏省东台市第四联盟2022-2023学年九年级上学期第一次质量检测数学试卷（含答案）

这是一份江苏省东台市第四联盟2022-2023学年九年级上学期第一次质量检测数学试卷（含答案），共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，简答题等内容，欢迎下载使用。
江苏省东台市第四联盟2022-2023学年九年级上学期第一次
质量检测数学试卷（含答案与解析）
一、选择题（每题3分，计24分）
1．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A．x2+3y＝1 B．x2+3x＝1 C．ax2+bx+c＝2 D．
2．（3分）如图，在⊙O中，圆心角∠AOB＝48°（　　）

A．48° B．24° C．36° D．96°
3．（3分）已知⊙O的半径为3，OA＝5，则点A和⊙O的位置关系是（　　）
A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点A在圆内 D．不确定
4．（3分）关于x的一元二次方程2x2﹣x﹣1＝0根的情况，下列说法正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
5．（3分）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6（不与A、B重合），下列符合条件的OP的值可以是（　　）

A．3.1 B．4.2 C．5.3 D．6.4
6．（3分）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝5，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．平行
7．（3分）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却持续蔓延，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，则根据题意可列出方程（　　）
A．x（1+x）＝256 B．x+（1+x）2＝256
C．x+x（1+x）＝256 D．1+x+x（1+x）＝256
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，若AC＝2，则BC长等于（　　）

A．4 B．5 C． D．
二、填空题（每题3分，计24分）
9．（3分）已知a，b是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根，则a+b＝　 　．
10．（3分）直角三角形的两边长分别为5和12，则此三角形的外接圆半径是　 　．
11．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°　 　．

12．（3分）已知x＝m是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式m2﹣m+2021的值为 　 　．
13．（3分）如图，AB切⊙O于点B，AO的延长线交⊙O于点C，则∠C的度数为 　 　．

14．（3分）关于x的方程x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　 　．
15．（3分）如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，则弦AB所对的圆周角的度数为　 　．

16．（3分）如图，正方形ABCD的边长是4，F点是BC边的中点，以CH为直径作⊙O，连接HF交⊙O于E点，则线段DE的最小值为 　 　．

三、简答题（本大题11题，17-21题每题8分，22-26题每题10分，27题12分）
17．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣5x＝0；
（2）x2﹣6x+4＝0．（配方法）
18．（8分）如图，在⊙O中，AC∥OB，求∠BOC的度数．

19．（8分）关于x的方程3x2+mx﹣8＝0有一个根是，求另一个根及m的值．
20．（8分）尺规作图：求作△ABC的外接圆，保留作图痕迹，不写作法．

21．（8分）如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于D，求证：AD＝BE．

22．（10分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+n＝0有两个不相等的实数根．
（1）求n的取值范围；
（2）写出一个满足条件的n的值，并求此时方程的根．
23．（10分）已知⊙O的直径AB＝10，CD是⊙O的弦．

（1）如图1，若AB⊥CD，垂足为M，求CD的长；
（2）如图2，若DC平分∠ADB，求AC的长．

24．（10分）某品牌服装平均每天可以售出10件，每件盈利40元．受新冠肺炎疫情影响，商场决定采取适当的降价措施，增加盈利．经市场调查发现：每件服装每降价1元，平均每天就可以多售出2件，那么每件降价多少元？
25．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．
（1）求证：BC是⊙O切线；
（2）若BD＝5，DC＝3，求AC的长．

26．（10分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”
（1）通过计算，判断方程x2﹣5x+6＝0是否是“邻根方程”；
（2）已知关于x的二次方程x2﹣（m﹣1）x+3m﹣12＝0．（m是常数）是“邻根方程”
27．（12分）问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B
（1）探究证明：如图2，在⊙O上任取一点C（不与点A，B重合），连接PC
（2）直接应用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，则AP的最小值是 　 　．
（3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A1MN，连接A1B，则A1B长度的最小值为 　 　．
（4）综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（4，5），以1，2为半径作⊙A，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，直接写出PM+PN的最小值为 　 　．







参考答案与试题解析
一、选择题（每题3分，计24分）
1．（3分）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）
A．x2+3y＝1 B．x2+3x＝1 C．ax2+bx+c＝2 D．
【分析】只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程．据此解答即可．
【解答】解：A、该选项含有两个未知数且最高次数为2，故该选项不符合题；
B、该选项的方程只含有一个未知数且最高次数为2，故该选项符合题意；
C、该选项a可能等于4，故该选项不符合题意；
D、该选项为分式方程．
故选：B．
【点评】此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．
2．（3分）如图，在⊙O中，圆心角∠AOB＝48°（　　）

A．48° B．24° C．36° D．96°
【分析】根据一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，得∠ACB＝∠AOB＝24°．
【解答】解：∵∠AOB＝48°
∴∠ACB＝24°
故选：B．
【点评】本题考查了圆周角定理的运用，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3．（3分）已知⊙O的半径为3，OA＝5，则点A和⊙O的位置关系是（　　）
A．点A在圆上 B．点A在圆外 C．点A在圆内 D．不确定
【分析】由⊙O的半径为3，OA＝5知点到圆心的距离大于半径，从而得出答案．
【解答】解：∵⊙O的半径为3，OA＝5，
∴点到圆心的距离大于半径，
∴点A在圆外，
故选：B．
【点评】本题主要考查点与圆的位置关系，点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有 ①点P在圆外⇔d＞r；②点P在圆上⇔d＝r；③点P在圆内⇔d＜r．
4．（3分）关于x的一元二次方程2x2﹣x﹣1＝0根的情况，下列说法正确的是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【分析】先计算出Δ＝（﹣）2﹣4×2×（﹣1），然后根据判别式的意义判断方程根的情况．
【解答】解：根据题意得：
Δ＝（﹣）2﹣4×2×（﹣1）＝13，
所以有两个不相等的实数根．
故选：A．
【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac：当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．
5．（3分）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝6（不与A、B重合），下列符合条件的OP的值可以是（　　）

A．3.1 B．4.2 C．5.3 D．6.4
【分析】过O点作OH⊥AB于H，连接OA，如图，根据垂径定理得到AH＝BH＝3，再利用勾股定理计算出OH＝4，从而得到OP的范围为4≤OP＜5，然后对各选项进行判断．
【解答】解：过O点作OH⊥AB于H，连接OA，则AH＝BH＝，
在Rt△OAH中，OH＝＝，
所以OP的范围为2≤OP＜5．
故选：B．

【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
6．（3分）已知⊙O的半径是一元二次方程x2﹣5x﹣6＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝5，则直线l与⊙O的位置关系是（　　）
A．相交 B．相切 C．相离 D．平行
【分析】先求方程的根，可得r的值，由直线与圆的位置关系的判断方法可求解．
【解答】解：∵x2﹣5x﹣3＝0，
∴x1＝﹣3，x2＝6，
∵⊙O的半径为一元二次方程x4﹣5x﹣6＝3的根，
∴r＝6，
∵d＜r，
∴直线l与⊙O的位置关系是相交，
故选：A．
【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．
7．（3分）2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却持续蔓延，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，则根据题意可列出方程（　　）
A．x（1+x）＝256 B．x+（1+x）2＝256
C．x+x（1+x）＝256 D．1+x+x（1+x）＝256
【分析】设每轮传染中平均每个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，第二轮传染了x（1+x）人，根据经过两轮传染后共有256人患新冠肺炎，即可得出关于x的一元二次方程．
【解答】解：设每轮传染中平均每个人传染了x个人，则第一轮传染了x个人，
依题意得：1+x+x（1+x）＝256．
故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，若AC＝2，则BC长等于（　　）

A．4 B．5 C． D．
【分析】根据圆周角定理得出∠ACB＝90°，∠CAB＝∠D＝60°，求出∠ABC＝90°﹣∠CAB＝30°，根据含30度角的直角三角形的性质求出AB＝2AC＝4，再根据勾股定理求出BC即可．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∵∠D＝60°，
∴∠CAB＝∠D＝60°，
∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝30°，
∵AC＝2，
∴AB＝2AC＝3，
∴BC＝＝＝2，
故选：D．
【点评】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，能熟记圆周角定理是解此题的关键．
二、填空题（每题3分，计24分）
9．（3分）已知a，b是一元二次方程x2﹣4x+3＝0的两根，则a+b＝　4　．
【分析】直接根据两根之和的公式可得答案．
【解答】解：∵a、b是一元二次方程x2﹣4x+2＝0的两根，
∴a+b＝4．
故答案为：5．
【点评】本题主要考查根与系数的关系，x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝．
10．（3分）直角三角形的两边长分别为5和12，则此三角形的外接圆半径是　或6　．
【分析】分为两种情况，①当斜边是12时，②当两直角边是5和12时，求出即可．
【解答】解：分为两种情况：①当斜边是12cm时，直角三角形的外接圆的半径是；
②当两直角边是2cm和12cm时，由勾股定理得：斜边为，
直角三角形的外接圆的半径是×13＝；
故答案为或6．
【点评】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，三角形的外接圆的应用，注意：直角三角形的外接圆的半径等于斜边的一半．
11．（3分）如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝120°　120°　．

【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，
∴∠BCD+∠A＝180°，
∵∠BCD＝120°，
∴∠A＝180°﹣120°＝60°，
由圆周角定理得：∠BOD＝2∠A＝120°，
故答案为：120°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟记圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
12．（3分）已知x＝m是一元二次方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式m2﹣m+2021的值为 　2022　．
【分析】把x＝m代入方程得到关系式，整理后代入原式计算即可求出值．
【解答】解：把x＝m代入方程得：m2﹣m﹣1＝4，即m2﹣m＝1，
则原式＝8+2021＝2022．
故答案为：2022．
【点评】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
13．（3分）如图，AB切⊙O于点B，AO的延长线交⊙O于点C，则∠C的度数为 　25°　．

【分析】连接OB，先根据切线的性质求出∠AOB，再根据OB＝OC，∠AOB＝∠C+∠OBC即可解决问题．
【解答】解：如图，连接OB．

∵AB是⊙O切线，
∴OB⊥AB，
∴∠ABO＝90°，
∵∠A＝40°，
∴∠AOB＝90°﹣∠A＝50°，
∵OC＝OB，
∴∠C＝∠OBC，
∵∠AOB＝∠C+∠OBC，
∴∠C＝25°．
故答案为：25°．
【点评】本题考查切线的性质、等腰三角形的性质、直角三角形两锐角互余等知识，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形．
14．（3分）关于x的方程x2﹣6x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 　k＜9　．
【分析】利用根的判别式的意义得到Δ＝（﹣6）2﹣4k＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意，得Δ＝（﹣6）2﹣4k＞0，
解得k＜9，
即k的取值范围为k＜7．
故答案为：k＜9．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
15．（3分）如图，⊙O的半径为1，AB是⊙O的一条弦，则弦AB所对的圆周角的度数为　30°或150°　．

【分析】连接OA，OB，判定△AOB是等边三角形，再根据圆周角定理可得∠C＝∠AOB＝30°，根据圆周角定理和圆内接四边形的性质得到答案．
【解答】解：连接OA，OB，
∵，⊙O的半径为1，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠C＝∠AOB＝30°，
∴∠ADB＝150°，
∴弦AB所对的圆周角的度数为30°或150°．
故答案为：30°或150°．

【点评】本题考查的是圆周角定理和等边三角形的判定和性质，掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半是解题的关键．
16．（3分）如图，正方形ABCD的边长是4，F点是BC边的中点，以CH为直径作⊙O，连接HF交⊙O于E点，则线段DE的最小值为 　﹣1　．

【分析】连接CE，取CF的中点M，连接EM，DM，根据圆周角的性质可知点E在正方形ABCD内以CF为直径的⊙M上，可推出，由勾股定理可得，再结合三角形三边关系得出当且仅当D、E、M三点共线时，线段DE取得最小值．
【解答】解：连接CE，

∵CH是⊙O的直径，
∴∠CEH＝90°，
∴∠CEF＝180°﹣90°＝90°，
∴点E在以CF为直径的⊙M上，
连接EM、DM，
∵正方形ABCD的边长是4，F点是BC边的中点，
∴BC＝CD＝4，∠BCD＝90°BC＝2，
∴FM＝MC＝EM＝7，
在Rt△DMC中，DM＝＝＝，
∵DE≥DM﹣EM，
∴当且仅当D、E、M三点共线时，
∴线段DE的最小值为﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查圆周角定理，正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是判断出点E的运动轨迹，属于中考常考题型．
三、简答题（本大题11题，17-21题每题8分，22-26题每题10分，27题12分）
17．（8分）解下列方程：
（1）x2﹣5x＝0；
（2）x2﹣6x+4＝0．（配方法）
【分析】（1）利用解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；
（2）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）x2﹣5x＝4，
x（x﹣5）＝0，
x＝6或x﹣5＝0，
x4＝0，x2＝6；
（2）x2﹣6x+8＝0，
x2﹣8x＝﹣4，
x2﹣4x+9＝﹣4+5，
（x﹣3）2＝6，
x﹣3＝±，
x﹣2＝或x﹣3＝﹣，
x1＝3+，x2＝3﹣．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法，因式分解法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
18．（8分）如图，在⊙O中，AC∥OB，求∠BOC的度数．

【分析】利用OA＝OB得到∠B＝∠BAO＝25°，再根据平行线的性质得到∠CAB＝∠B＝25°，然后根据圆周角定理得到∠BOC的度数．
【解答】解：∵OA＝OB，
∴∠B＝∠BAO＝25°，
∵OB∥AC，
∴∠CAB＝∠B＝25°，
∴∠BOC＝2∠CAB＝50°．
【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了平行线的性质．
19．（8分）关于x的方程3x2+mx﹣8＝0有一个根是，求另一个根及m的值．
【分析】利用根与系数的关系求出另一根，以及m的值即可．
【解答】解：∵关于x的方程3x2+mx﹣8＝0有一个根是，
∴a＝﹣，
则﹣4+＝﹣．
【点评】此题考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的解，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．
20．（8分）尺规作图：求作△ABC的外接圆，保留作图痕迹，不写作法．

【分析】分别作BC和AC的垂直平分线．它们相交于点O，然后以O点为圆心，OC为半径作圆即可．
【解答】解：如图，⊙O即为所求．

【点评】本题考查了作图﹣复杂作图，三角形的外接圆与外心，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
21．（8分）如图，在⊙O中，＝，CD⊥OA于D，求证：AD＝BE．

【分析】连接OC，先根据＝得出∠AOC＝∠BOC，再由已知条件根据AAS定理得出△COD≌△COE，由此可得出结论．
【解答】证明：连接OC，
∵＝，
∴∠AOC＝∠BOC．
∵CD⊥OA于D，CE⊥OB于E，
∴∠CDO＝∠CEO＝90°
在△COD与△COE中，
∵，
∴△COD≌△COE（AAS），
∴OD＝OE，
∵AO＝BO，
∴AD＝BE．

【点评】本题考查的是圆心角、弧、弦的关系，熟知在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等是解答此题的关键．
22．（10分）关于x的一元二次方程x2﹣4x+n＝0有两个不相等的实数根．
（1）求n的取值范围；
（2）写出一个满足条件的n的值，并求此时方程的根．
【分析】（1）先根据方程有两个实数根得出Δ＝（﹣4）2﹣4•n＞0，解之可得；
（2）在以上所求m的范围内取一值，如n＝0，再解方程即可得．
【解答】解：（1）根据题意，得Δ＝（﹣4）2﹣7•n＞0，
解得n＜4；
（2）由（1）知，n＜4．
当n＝0时，x2﹣5x＝0．
整理，得x（x﹣4）＝8．
解得x1＝0，x2＝4（答案不唯一）．
【点评】本题主要考查根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：
①当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；
②当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；
③当Δ＜0时，方程无实数根．
23．（10分）已知⊙O的直径AB＝10，CD是⊙O的弦．

（1）如图1，若AB⊥CD，垂足为M，求CD的长；
（2）如图2，若DC平分∠ADB，求AC的长．

【分析】（1）连接OC，如图1，先计算出OM＝3，再根据出径定理得到CM＝DM，接着利用勾股定理计算出CM，从而得到CD的长；
（2）连接BC，由圆周角定理得出∠ADB＝∠ACB＝90°，由角平分线的定义得出∠ADC＝∠BDC＝45°，根据勾股定理可求出答案．
【解答】解：（1）连接OC，如图1，

∵AB＝10，OM：OA＝3：4，
∴OC＝5，OM＝3，
∵AB⊥CD，
∴CM＝DM，
在Rt△OCM中，CM＝＝，
∴CD＝3CM＝8．
（2）如图2，连接BC，

∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝∠ACB＝90°，
∵DC平分∠ADB，
∴∠ADC＝∠BDC＝45°，
∴∠BAC＝∠BDC＝45°，
∴AC＝BC，
设AC＝BC＝x，
∴x2+x2＝102，
∴x＝8，
∴AC＝5．
【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
24．（10分）某品牌服装平均每天可以售出10件，每件盈利40元．受新冠肺炎疫情影响，商场决定采取适当的降价措施，增加盈利．经市场调查发现：每件服装每降价1元，平均每天就可以多售出2件，那么每件降价多少元？
【分析】设每件降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（10+2x）件，利用总利润＝每件盈利×平均每天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．
【解答】解：设每件降价x元，则每件盈利（40﹣x）元，
依题意得：（40﹣x）（10+2x）＝700，
整理得：x2﹣35x+150＝8，
解得：x1＝5，x6＝30．
答：每件降价5元或30元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
25．（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点D．
（1）求证：BC是⊙O切线；
（2）若BD＝5，DC＝3，求AC的长．

【分析】（1）要证BC是⊙O的切线，只要连接OD，再证OD⊥BC即可．
（2）过点D作DE⊥AB，根据角平分线的性质可知CD＝DE＝3，由勾股定理得到BE的长，再通过证明△BDE∽△BAC，根据相似三角形的性质得出AC的长．
【解答】（1）证明：连接OD；
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠3．
∵OA＝OD，
∴∠4＝∠2．
∴∠2＝∠7．
∴OD∥AC．
∴∠ODB＝∠ACB＝90°．
∴OD⊥BC．
∴BC是⊙O切线．

（2）解：过点D作DE⊥AB，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴CD＝DE＝3．
在Rt△BDE中，∠BED＝90°，
由勾股定理得：BE＝＝4，
∵∠BED＝∠ACB＝90°，∠B＝∠B，
∴△BDE∽△BAC．
∴．
∴．
∴AC＝2．


【点评】本题综合性较强，既考查了切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了角平分线的性质，勾股定理得到BE的长，及相似三角形的性质．
26．（10分）如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，一元二次方程x2+x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣1，则方程x2+x＝0是“邻根方程”
（1）通过计算，判断方程x2﹣5x+6＝0是否是“邻根方程”；
（2）已知关于x的二次方程x2﹣（m﹣1）x+3m﹣12＝0．（m是常数）是“邻根方程”
【分析】（1）根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻根方程”；
（2）先解方程求得其根，再根据新定义列出关于m的方程，注意有两种情况；
【解答】解：（1）解方程x2﹣5x+7＝0得：x＝3或x＝4，
∵3﹣2＝8，
∴x2﹣5x+3＝0是“邻根方程”；

（2）由方程x2﹣（m﹣7）x+3m﹣12＝0解得：x＝m﹣7或x＝3，
由于关于x的二次方程x2﹣（m﹣7）x+3m﹣12＝0．（m是常数）是“邻根方程”，
则m﹣7﹣3＝1或2﹣（m﹣4）＝1，
解得m＝6或6．
【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻根方程”的定义，本题属于中等题型．
27．（12分）问题情境：如图1，P是⊙O外的一点，直线PO分别交⊙O于点A，B
（1）探究证明：如图2，在⊙O上任取一点C（不与点A，B重合），连接PC
（2）直接应用：如图3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径的半圆交AB于D，P是弧CD上的一个动点，则AP的最小值是 　﹣　．
（3）构造运用：如图4，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A1MN，连接A1B，则A1B长度的最小值为 　﹣1　．
（4）综合应用：如图5，平面直角坐标系中，分别以点A（﹣2，3），B（4，5），以1，2为半径作⊙A，M，N分别是⊙A，⊙B上的动点，直接写出PM+PN的最小值为 　7　．

【分析】（1）在△POC中，根据“三角形两边之差小于第三边”可求证；
（2）连接OA交⊙O于点P，根据勾股定理求得OA，进而求得AP；
（3）A′的轨迹是以M为圆心，半径是1的圆，故连接BM，求得BM，进而求得A′B的最小值；
（4）作点A关于x轴的对称点C，连接CB交x轴于点P，求出BC的长，进而求得PM+PN得最小值．
【解答】（1）证明：如图1，

∵PO﹣OC＜PC，
∴（AP+OA）﹣OC＜PC，
∵OA＝OC，
∴AP＜PC；
（2）如图2，

连接OA，交半⊙O于P，
在Rt△AOC中，
OA＝
＝
＝，
∴AP＝OP﹣OP＝﹣，
故答案是﹣；
（3）如图3，

连接BM，交⊙M（半径是6）是A1，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，
∵∠BAM＝60°，
∴△ABD是等边三角形，
∵M是AD的中点，
∴∠AMB＝90°，
∴BM＝AB•sin60°＝，
∴A4B＝；
故答案是﹣1；
（4）如图4，

作点A关于x轴的对称点C，连接BC，交x轴于点P，
连接PA交⊙A于M，
∴PA＝PC，
∴PA+PB＝PC+PB＝BC，
∵C（﹣7，﹣3），5），
∴BC＝
＝10，
∴PM+PN＝PA+PB﹣AM﹣BN
＝10﹣8﹣2
＝7，
故答案是8．
【点评】本题考查了轴对称性质，圆的定义，勾股定理，三角形三边关系等知识，解决为题的关键是熟悉“将军饮马”模型．