2023浙江省十校联盟高三上学期10月联考 数学试题及答案

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浙江省十校联盟2022-2023学年高三上学期10月联考数学试题第 I 卷（选择题, 共 60 分)
一、单项选择题: 本题共 8 小题, 每小题 5 分, 共 40 分. 在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的.1.已知集合, 则(    )
A.                 B.
C.            D. 2.已知复数 ( 为虚数单位), 则(    )
A.    B.    C.    D. 3.展开式中的项的系数为(    )
A. 15    B. 20    C. 30    D. 354.源于探索外太空的渴望, 航天事业在21世纪获得了长足的发展. 太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件, 宇航员常常在太空旅行中进行科学实验. 在某次太空旅行中, 宇航员们负责的科学实验要经过5道程序, 其中两道程序既不能放在最前, 也不能放在最后, 则该实验不同程序的顺序安排共有(    )
A. 18 种      B. 36 种      C. 72 种       D. 108 种5.设平面向量均为单位向量, 则“ ”是“”的(    )
A. 充分而不必要条件           B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件               D. 既不充分也不必要条件6.同时具有以下性质: “①最小正周期是π; ②在区间上是增函数”的一个函数是(    )
A.               B.
C.              D. 7.已知定义在上的函数满足. 若函数与的图像的交点为, 则(    )
A. 5         B. 10        C. 15         D. 208.在中, . 若空间点满足, 则直线与平面所成角的正切的最大值是(    )
A.          B.         C.          D. 1
二、多项选择题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求. 全部选对的得 5 分, 部分选对的得 2 分, 有选错的得 0 分.9.已知甲、乙两名同学在高三的6次数学成绩统计的折线图如图, 则下列说法正确的是(    )
A. 若甲、乙两组成绩的平均数分别为, 则
B. 若甲、乙两组成绩的方差分别为, 则
C. 甲成绩的极差大于乙成绩的极差
D. 甲成绩比乙成绩稳定
 10.某车间加工同一型号零件, 第一、二台车床加工的零件数量分别占总数的
, 各自产品中的次品率分别为 从这批零件中任取一件, 记“该零件为第台车床加工 ” 为事件, “该零件是次品”为事件, 则(    )
A.            B.   C.          D. 11.如图, 已知正四棱台的上、下底面边长分别为, , 其顶点都在同一球面上, 且该球的表面积为, 则侧棱长为(    )
A.          B. 2         C.           D.
 12.已知, 且, 则(    )
A.
B.
C.
D.
                      第II 卷（非选择题，共 90 分)
三、填空题: 本题共 4 小题, 每小题 5 分, 共 20 分.13.若, 则 _________.14.台风中心从地以的速度向东北方向移动, 离台风中心内的地区为危险区, 城市在地正东处, 求城市处于危险区内的持续时间为.15.已知双曲线恰好满足下列条件中的两个: ①过点 ; ②渐近线方程为; ③离心率. 则双曲线方程为.16.若对任意, 都有 (其中为自然对数的底数) 恒成立, 则实数的最小值为.
四、解答题: 本题共 6 小题, 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10 分) 已知的三个内角的对边分别是.
(1) 若, 求的大小;
(2) 若不是钝角三角形, 且, 求的面积取值范围.18.(12 分) 已知数列的前项和为.
(1) 证明: 数列为等比数列;
(2) 设, 记数列的前项和为, 证明: .  19.(12 分) 现将某校高三年级不同分数段 (满分150分) 的学生对数学感兴趣程度进行调查 (只有感兴趣和不感兴趣两个选项且每人必须选择其中一项), 随机抽调了50人, 各分数段频数 (单 位: 人) 及对数学感兴趣人数如下表:成绩频数510151055
感兴趣人数135745 (1) 根据以上统计数据完成下面的列联表, 并判断能否有的把握认为“该校高三学生对数学的兴趣程度与成绩110分为分界点有关”? 成绩低于 110 分成绩不低于 110 分合计感兴趣   不感兴趣   合计    (2) 若在成绩为分数段并且对数学感兴趣的人中随机选取4人, 求成绩来自 这一分数段人数的分布列及数学期望.
附: .  20.(12 分) 在斜三棱柱中, .
(1) 证明: 在底面上的射影是线段中点;
(2) 求平面与平面夹角的余弦值.
 21.(12 分) 如图, 已知抛物线的焦点, 且经过点.
(1) 求和的值;
(2) 点在上, 且. 过点作为垂足, 证明：存在定点, 使得为定值. 
22. (12 分) 已知函数与有相同的最大值(其中为自然对数的底数).
(1) 求实数的值;
(2) 证明: , 都有;
(3) 若直线与曲线有两个不同的交点, 求证: .