人教版 九上 数学期中测试卷（21--23章）B卷zip

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人教版 九上 数学期中测试卷（21--23章）B卷
答案解析
一、 选择题：（30分）
1.关于x的一元二次方程x2+mx－m－3＝0的根的情况是 )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.实数根的个数由m的值确定
答案 A
∵△＝m2－4(－m－3)＝m2+4m+12＝(m+2)2+8>0,∴方程有两个不相等的实数根.
2.如图，将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到Rt△ADE,点B的对应点D恰好落在BC边上.若AC＝2,∠B＝60°，则CD的长为 )

A.1 B. C.2 D.4－
答案 C ∵∠B＝60°，∠BAC＝90°，∴∠C＝30°，BC＝2AB,AC2+AB2＝BC2,结合AC＝2可得AB＝2,BC＝4.∵将Rt△ABC绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到Rt△ADE,∴AD＝AB,∵∠B＝60°，∴△ADB是等边三角形，∴BD＝AB＝2,∴CD＝BC－BD＝4－2＝2.
3.将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是（　　）
A．y＝（x﹣1）2+2 B．y＝（x+1）2+2 C．y＝（x﹣1）2﹣2 D．y＝（x+1）2﹣2
【解答】解：将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是 y＝（x﹣1）2+2，
故选：A．
4.同一坐标系中，一次函数y＝ax+b与二次函数y＝ax2+bx的图象可能是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：A、由一次函数y＝ax+b的图象可得a＜0，由二次函数y＝ax2+b的图象可得a＞0，故A不可能；
B、由一次函数y＝ax+b的图象可得a＞0，b＞0，由二次函数y＝ax2+b的图象可得a＞0，b＞0，故B有可能；
C、由一次函数y＝ax+b的图象可得a＞0，由二次函数y＝ax2+b的图象可得a＜0，故C不可能；
D、由一次函数y＝ax+b的图象可得：a＜0，b＞0，由二次函数y＝ax2+b的图象可得a＜0，b＜0，故D不可能；
故选：B．
5.如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，若水面下降2.5m，那么水面宽度为（　　）m．

A．3 B．6 C．8 D．9
【解答】解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，

抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），
设顶点式y＝ax2+2，把A点坐标（﹣2，0）代入得a＝﹣0.5，
∴抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，
当水面下降2.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y＝﹣2.5时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2.5与抛物线相交的两点之间的距离，
可以通过把y＝﹣2.5代入抛物线解析式得出：
﹣2.5＝﹣0.5x2+2，
解得：x＝±3，
∴水面宽度为3﹣（﹣3）＝6（m）．
故选：B．
6．如图，在5×5的小正方形网格中有4个涂阴影的小正方形，它们组成一个轴对称图形．现在移动其中一个小正方形到空白的小正方形处，使得新的4个阴影的小正方形组成一个轴对称图形，不同的移法有（　　）

A．8种 B．12种 C．16种 D．20种
【解答】解：移动（2，三）到（1，三），（3，三），（5，三），（5，二），（5，四）共5种不同的方法，
故一共有4×5＝20（种）不同的方法，
7.如图，△AOB中，OA＝4,OB＝6,AB＝2，将△AOB绕原点0旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（ ） ( )

A.(4,2)或(－4,2) B.(2,－4)或(－2,4)
C.(－2,2)或(2，－2) D.(2,－2)或(－2,2)
答案 C 如图，作AH⊥OB于点H,设OH＝m,则BH＝6－m,AH2＝OA2－OH2,AH2＝AB2－BH2,∴OA2－OH2＝AB2－BH2,∴42－m2＝(2)2－(6－m)2,∴m＝2,∴AH＝＝2，∴A(2,2),若将△AOB绕原点0顺时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标为(2,－2),若将△AOB绕原点0逆时针旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标为(－2,2).

8.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出下列结论：①b2﹣4ac＞0；②2a+b＜0；③4a﹣2b+c=0；④a：b：c=﹣1：2：3．其中正确的是（　　）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【解答】解：由二次函数图象与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，选项①正确；
又对称轴为直线x=1，即﹣=1，
可得2a+b=0（i），选项②错误；
∵﹣2对应的函数值为负数，
∴当x=﹣2时，y=4a﹣2b+c＜0，选项③错误；
∵﹣1对应的函数值为0，
∴当x=﹣1时，y=a﹣b+c=0（ii），
联立（i）（ii）可得：b=﹣2a，c=﹣3a，
∴a：b：c=a：（﹣2a）：（﹣3a）=﹣1：2：3，选项④正确，
则正确的选项有：①④．
故选D　
9.如图，抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x＝1,如果关于x的方程ax2+bx－6＝0(a≠0)的一个根为4，那么该方程的另一个根为 ( )

A.－2 B.－1 C.0 D.3
答案 A ∵抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x＝1,∴－＝1,∴b＝－2a,设方程ax2+bx－6＝0(a≠0)的另一个根为t,∴4+t＝－＝－＝2，解得t＝－2,即方程ax2+bx－6＝0(a≠0)的另一个根为－2.
10.已知函数f（x）＝x2﹣2ax+7，当x≤3时，函数值随x增大而减小，且对任意的1≤x1≤a+2和1≤x2≤a+2，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1﹣y2|≤9，则实数a的取值范围是（　　）
A．﹣3≤a≤4 B．﹣2≤a≤4 C．﹣3≤a≤3 D．3≤a≤4
【解答】解：函数的对称轴为x＝a，而x≤3时，函数值随x增大而减小，故a≥3；
∵1≤x1≤a+2和1≤x2≤a+2，
∴x＝a时，函数的最小值＝7﹣a2，
故函数的最大值在x＝1和x＝a+2中产生，
则x＝1，x＝a+2那个距x＝a远，函数就在那一边取得最大值，
∵a≥3，
∴a﹣1≥2，而a+2﹣a＝2，
∴1距离a 更远，
∴x＝1时，函数取得最大值为：8﹣2a，
∵对任意的1≤x1≤a+2和1≤x2≤a+2，x1，x2相应的函数值y1，y2总满足|y1﹣y2|≤9，
只需最大值与最小值的差小于等于9即可，
∴8﹣2a﹣（7﹣a2）≤9，
a2﹣2a﹣8≤0，
解得﹣2≤a≤4，而a≥3，
∴3≤a≤4，
故选：D．
二、 填空题：（24分）
11.一元二次方程x2﹣3x=0的根是　 　．
【解答】解：x2﹣3x=0，
x（x﹣3）=0，
∴x1=0，x2=3．
故答案为：x1=0，x2=3．
12.已知抛物线y＝a(x－h)2+k与x轴交于(－2,0)、(3,0)两点，则关于x的一元二次方程a(x－h+6)2+k＝0的解为________
【答案】x1＝－8,x2＝－3
【解析】将抛物线y＝a(x－h)2+k向左平移6个单位长度后的抛物线的解析式为y＝a(x－h+6)2+h,∵抛物线y＝a(x－h)2+k经过(－2,0)、(3,0)两点，∴抛物线y＝a(x－h+6)2+k经过(－8,0)、(－3,0)两点，∴a(x－h+6)2+k＝0的解是x1＝－8,x2＝－3.
13.设a、b是方程x2+x﹣2020＝0的两个不等实根，则a2+2a+b的值是　 　
【解答】解：∵a、b是方程x2+x﹣2020＝0的两个不等实根，
∴a2+a﹣2020＝0，a+b＝﹣1，
∴a2+a＝2020，
∴a2+2a+b＝（a2+a）+（a+b）＝2020﹣1＝2019．
故答案为：2019．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，将△ABC绕顶点C逆时针旋转得到△A'B'C，AC与A'B'相交于点P．则CP的最小值为　 　．

【解答】解：当CP与A'B'垂直时，CP有最小值，如图，

∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，
∴AB＝＝＝10，
∴A'B'＝AB＝10，
由旋转的性质知B'C＝BC＝6，A'C＝AC＝8，
∵S△A'B'C＝×B'C×A'C＝×A'B'×CP，
∴CP＝＝4.8．
故答案为：4.8．
15.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（﹣2，0），B的坐标为（2，0），等边三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD．△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是　 　个单位长度；△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是　 　；△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以是　 　度．

【解答】解：∵点A的坐标为（﹣2，0），B的坐标为（2，0），
∴OA＝OB＝2，
∴△AOC，△BOD都是等边三角形且全等，
∴△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是2个单位长度；△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是y轴，△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角度可以是120度．
故答案为：2，y轴，120．
16.在平面直角坐标系中，将函数y＝x2﹣2mx+m（x≤2m，m为常数）的图象记为G，当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是 　
【解答】解：如图1中，当m＞0时，

∵y＝x2﹣2mx+m＝（x﹣m）2﹣m2+m，
图象G是抛物线在直线x＝2m的左侧部分（包括点D），
此时最低点P（m，﹣m2+m），
当m＝0时，显然不符合题意有两个交点，
当m＜0时，如图2中，

图象G是抛物线在直线x＝2m的左侧部分（包括点D）与x轴只要一个交点不符合题意，
∴当图象G与x轴有两个交点时，m＞0，

当抛物线顶点在x轴上时，△＝4m2﹣4m＝0，
∴m＝1或0（舍弃），
∵y＝x2﹣2mx+m＝（x﹣m）2﹣m2+m，最低点P（m，﹣m2+m），所以顶点组成抛物线：y＝﹣x2+x＝﹣（m﹣）2+，且过定点（，），
∴观察图象可知，当图象G与x轴有两个交点时，设左边交点的横坐标为x1，则x1的取值范围是＜x1＜1，
故答案为＜x1＜1．
三、 解答题（66分）
17.（6分）如图，在直角坐标系xOy中，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使△AOB的面积等于6，求点B的坐标．

【解答】解：（1）把（0，0）代入得k+1=0，解得k=﹣1，
所以二次函数解析式为y=x2﹣3x；

（2）当y=0时，x2﹣3x=0，解得x1=0，x2=3，则A（3，0），
抛物线的对称轴为直线x=，
设B（x，x2﹣3x），
因为△AOB的面积等于6，
所以•3•|x2﹣3x|=6，
当x2﹣3x=4时，解得x1=﹣1，x2=4，则B点坐标为（4，4）；
当x2﹣3x=﹣4时，方程无实数解．
所以点B的坐标为（4，4）
18.（8分）已知关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足x12+x22＝16，求k的值．
【解答】解：（1）∵a＝1，b＝2（k﹣1），c＝k2﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，即[2（k﹣1）]2﹣4×1×（k2﹣1）＞0，
∴k＜1．
（2）∵关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴x1+x2＝﹣2（k﹣1），x1x2＝k2﹣1．
∵x12+x22＝16，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝16，即[﹣2（k﹣1）]2﹣2（k2﹣1）＝16，
整理，得：k2﹣4k﹣5＝0，
解得：k1＝5，k2＝﹣1．
又∵k＜1，
∴k＝﹣1．
19.(8分）某汽车清洗店，清洗一辆汽车定价20元时每天能清洗45辆，定价25元时每天能清洗30辆，假设清洗汽车辆数y（辆）与定价x（元）（x取整数）是一次函数关系（清洗每辆汽车成本忽略不计）．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若清洗一辆汽车定价不低于15元且不超过50元，且该汽车清洗店每天需支付电费、水和员工工资共计200元，问：定价为多少时，该汽车清洗店每天获利最大？最大获利多少？
【解答】解：（1）设y与x的一次函数式为y＝kx+b，由题意可知：
，解得：，
∴y与x之间的函数表达式为y＝﹣3x+105；
（2）设汽车美容店每天获利润为w元，由题意得：
w＝xy﹣200
＝x（﹣3x+105）﹣200
＝﹣3（x﹣17.5）2+718.75，
∵15≤x≤50，且x为整数，
∴当x＝17或18时，w最大＝718（元）．
∴定价为17元或18元时，该汽车清洗店每天获利最大，最大获利是718元．

20.（10分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC,点O是AB的中点，∠MON＝90°，将∠MON绕点0旋转，∠MON的两边分别与射线AC、CB交于点D、E.
(1)当∠MON转动至如图1所示的位置时，线段CD、CE、AC之间有怎样的数量关系？请说明理由；
(2)当∠MON转动至如图2所示的位置时，请直接写出CD、CE、AC之间的数量关系.

【解析】
(1)CD+CE＝AC.理由：如图①，连接OC.

∵CA＝CB,∠ACB＝90°，AO＝OB,∴OC⊥AB,OC＝AO＝OB,∴∠OCD＝∠B＝45°.∵∠MON＝∠COB＝90°，∴∠DOC＝∠EOB,在△COD和△BOE中，,∴△COD≌△BOE(ASA),∴CD＝BE,∴CD+CE＝BE+CE＝BC＝AC.
(2)CE－CD＝AC.理由：如图②，连接OC.

∵CA＝CB,∠ACB＝90°，AO＝OB,∴OC⊥AB,OC＝AO＝OB,∴∠OCA＝∠CBA＝45°，∴∠DCO＝∠EBO＝135°.∵∠MON＝∠COB＝90°，∴∠DOC＝∠EOB,在△COD和△BOE中，,∴△COD≌△BOE(ASA),∴CD＝BE,∴CE－CD＝CE－BE＝BC＝AC
21.（10分）如图，矩形ABCD的两边长AB=18cm，AD=4cm，点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y（cm2）．
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求△PBQ的面积的最大值．

【解答】解：（1）∵S△PBQ=PB•BQ，PB=AB﹣AP=18﹣2x，BQ=x，
∴y=（18﹣2x）x，
即y=﹣x2+9x（0＜x≤4）；

（2）由（1）知：y=﹣x2+9x，
∴y=﹣（x﹣）2+，
∵当0＜x≤时，y随x的增大而增大，
而0＜x≤4，
∴当x=4时，y最大值=20，
即△PBQ的最大面积是20cm2．

22.（12分）问题：如图①，在等边三角形ABC内有一点P，且PA＝2，PB＝，PC＝1，求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．
李明同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图②），连接PP′，可得△P′PB是等边三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证），可得∠AP′B＝　 　°，所以∠BPC＝∠AP′B＝　 　°，还可证得△ABP是直角三角形，进而求出等边三角形ABC的边长为　 　，问题得到解决．
（1）根据李明同学的思路填空：∠AP′B＝　 　°，∠BPC＝∠AP′B＝　 　°，等边三角形ABC的边长为　 　．
（2）探究并解决下列问题：如图③，在正方形ABCD内有一点P，且PA＝，PB＝，PC＝1．求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．

【解答】解：（1）根据旋转可知：
∠AP′B＝150°，∠BPC＝∠AP′B＝150°，
等边三角形ABC的边长为．
故答案为150°、150°、．
（2）解：将△BPC绕点B逆时针旋转90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A．
∴AP′＝PC＝1，BP′＝PB＝．
连接PP′，如图．在Rt△BP′P中，
∵PB＝BP′＝，∠PBP′＝90°，
∴PP′＝2，∠BP′P＝45°．
在△AP′P中，AP′＝1，PP′＝2，PA＝，
∵12+22＝（）2，
即AP′2+PP′2＝PA2，
∴△AP′P是直角三角形，
即∠AP′P＝90°．
∴∠AP′B＝135°，
∴∠BPC＝∠AP′B＝135°．
过点B作BE⊥AP′，交AP′的延长线于点E，则△BEP′是等腰直角三角形，
∴∠EP′B＝45°．
又∵BP′＝，
∴EP′＝BE＝1，∴AE＝2．
在Rt△ABE中，
∵BE＝1，AE＝2，
∴由勾股定理，得AB＝．
综上可得，∠BPC＝135°，正方形ABCD的边长为．
答：∠BPC的度数为135°，正方形ABCD的边长为．
23.（12分）如图1，抛物线y＝－x2+bx+c过点A(－1,0)、点B(3,0),与y轴交于点C.在x轴上有一动点E(m,0)(0 (1)求抛物线的解析式及点C的坐标；
(2)当m＝1时，D是直线l上的点且在第一象限内，若△ACD是以∠DCA为底角的等腰三角形，求点D的坐标；
(3)如图2，连接BM并延长，交y轴于点N,连接AM,OM,设△AEM的面积为S1,△MON的面积为S2,若S1＝2S2,求m的值.

【解析】
(1)把点A(－1,0)、点B(3,0)代入y＝－x2+bx+c,得,解得.∴抛物线的解析式为y＝一x2+2x+3.把x＝0代入y＝－x2+2x+3,得y＝3,∴C(0,3).
(2)当m＝1时，点D的横坐标为1.设D(1,a).①当∠DCA＝∠CDA时，AC＝AD,∴12+32＝22+a2,解得a＝±.∵点D在第一象限，∴a>0,∴a＝，∴D(1,).②当∠DCA＝∠DAC时，AD＝CD,∴22+a2＝12+(3－a)2,解得a＝1,∴D(1,1).综上所述，点D的坐标为(1,)或(1,1).
(3)由题意，得M(m,－m2+2m+3),设直线BM的解析式为y＝kx+h(k≠O),则,解得h＝,∴ON＝∵S1＝AE·ME＝(m+1)(－m2+2m+3),S2＝ON·OE＝··m,S1＝2S2,∴(m+1)(－m2+2m+3)＝2×m·,整理得(m2+4m－3)(－m2+2m+3)＝0,∵当00,∴m2+4m－3＝0,解得m1＝－2+，m2＝－2－.∵0