函数的单调性的判定及应用讲义--高三数学一轮复习

函数的单调性的判定及应用一、基础知识：1、对单调性的理解：（1）它是一个区间概念；（2）由函数单调性的定义知，可以正反互推；（3）函数单调性是单调区间上普遍成立的性质，是单调区间上恒成立的不等式；（4）函数单调性是函数性质中最活跃的性质，它的运用主要体现在不等式方面，如比较大小，解抽象函数不等式等。2、常见函数的单调性：①一次函数.当时，是这个函数的单调增区间；当时，是这个函数的单调减区间.②反比例函数.当时，和都是这个函数的单调减区间，当时，和都是这个函数的单调增区间.③二次函数.当时是这个函数的单调减区间，是它的单调增区间；当时是这个函数的单调增区间，是它的单调减区间；④指数函数.当时，是这个函数的单调增区间，当时，是这个函数的单调减区间.⑤对数函数. 当时，是这个函数的单调增区间，当时，是它的单调减区间.⑥对勾函数: 增区间为：，减区间为：；3、单调性的判定法：①定义法:即（1）设x,x是所研究区间内任两个自变量，且x＜x；（2）判定f(x)与f(x)的大小；（3）作差比较或作商比较. ②图象法:③单调性的运算性质（实质上是不等式性质）:④复合函数单调性判断法则：规律：当两个函数的单调性相同时，其复合函数是增函数；当两个函数的单调性不同时，其复合函数为减函数。即我们所说的“同增异减”规律。⑤导数法二、题型：（一）判断或证明函数的单调性：1．如果函数在上是增函数，那么对于任意的，下列结论中不正确的是（ C ） 2. 给定函数①，②，③，④，其中在区间上单调递减的函数序号是（ C）A. ①④ B. ①② C. ②③ D. ③④ 3．已知定义在R上的函数满足：①对任意的，都有；②当时，有．（1）利用奇偶性的定义，判断的奇偶性；（2）利用单调性的定义，判断的单调性；（3）若，解不等式．解析：（1）令，得，得．将“y”用“”代替，得，即，∴为奇函数．（2）设、，且，则．∵，∴，∴，即，∴在R上是增函数．（3）=6，∴。不等式即为，∵是R上的增函数，于是，解之得。（二）求函数的单调区间：1．求函数的单调递增区间．解：∵y＝－x2＋2|x|＋3＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(－x2＋2x＋3，x≥0，,－x2－2x＋3，x0借助二次函数的图象，有 解得：评注：依函数的的单调性得到关于的不等式组是解决本题的关键。4.已知幂函数在区间上单调递增，则实数的值为 3 略解：由题意，，解得或当时，幂函数，在区间上单调递减，不符合题意；当时，幂函数，在区间上单调递增，符合题意；5．已知函数 满足条件，对任意在，都有，求实数的取值范围。（简析：可将变形为）6.已知函数在上是单调递减函数，则实数的取值范围为( C )A. B. C. D. 解析：因为在上单调递减函数,所以,即,解得,故选C.Ⅱ、比较大小：1. 若，，，则a，b，c的大小关系为( B )A. B. C. D. 【详解】因为，由指数函数单调递增，且可得，且，又因为，所以.故选：B.【点睛】本题主要考查指数式，对数式比较大小，指数式的大小比较一般是化为同底数来进行，不同类的数值比较一般采用介值法进行，侧重考查数学抽象的核心素养.2.已知，，，则、、的大小关系为（ A ）A. B. C. D.略解：，，3. 已知，，，则，，的大小关系为（ C ）A. B. C. D. 略解：，，，，又因，，4.已知，已知，，，则（ B ）A. B. C. D. 略解：是偶函数，且在上是减函数又，，5．已知函数且， ，，则的值（A）A．一定大于0； B．一定小于0； C．等于0； D．正负都有可能。Ⅲ、解方程、不等式：1. 奇函数满足，且在上单调递减，则的解集为（ B ）A. B. C. D. 提示：因为是奇函数，所以可变形为所以或，又且在上单调递减结合图象可知选B2.设函数，则满足不等式的的取值范围是（ C ）A. B. C. D. 提示：分类讨论或单调性,须注意定义域3.已知函数，若，则实数的取值范围是（ A ）A. B. C. D. 简析：用函数的奇偶性及单调性即可4.已知是定义域为的偶函数，当时，，那么，不等式的解集为 略解：因是偶函数，当时，，则时，又因是偶函数，所以则可化为即，，，5.已知函数，则满足不等式的的取值范围是 略解：令，则，即又的定义域为，且奇函数，在上为减函数，解得6. 已知函数，若，则的取值范围为 提示：易证是偶函数，再借助单调性即可。7．已知定义在区间上的函数满足，且当时，.（1）求的值；（2）判断的单调性并予以证明；（3）若，解不等式.解:（1）令，代入得，故.（2）任取，且则，由于当时，,所以,即，因此.所以函数在区间上是单调递减函数. (3) 由得，而，所以.由函数在区间上是单调递减函数，且，得，因此不等式的解集为.Ⅳ、求值域和最值：1．函数的值域为__ (－∞，3) ___．2．已知函数,若且，，则的取值范围是( C )(A) (B)(C) (D) 【解析】因为 f(a)=f(b),所以|lga|=|lgb|,所以a=b(舍去)，或，所以a+b=又0