高考理科数学六大解答题的审题与答题得分示范

这是一份高考理科数学六大解答题的审题与答题得分示范，共7页。
高考解答题的审题与答题示范(一)　函数与导数类解答题
——审结论
问题解决的最终目标就是求出结论或说明已给结论正确或错误．因而解决问题时的思维过程大多都是围绕着结论这个目标进行定向思考的．审视结论，就是在结论的启发下，探索已知条件和结论之间的内在联系和转化规律．善于从结论中捕捉解题信息，善于对结论进行转化，使之逐步靠近条件，从而发现和确定解题方向．
典例
(本题满分12分)已知函数f(x)＝excos x－x.
(1)求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；
(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.
审题路线
(1)要求曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程⇒需求f′(0)及f(0)的值⇒利用点斜式求切线方程．
(2)要求函数f(x)在区间上的最大值和最小值⇒需求函数f(x)在区间上的极值及端点处的函数值⇒比较极值与端点处的函数值即可求出最大值和最小值.
标准答案
阅卷现场
(1)因为f(x)＝excos x－x，
所以f′(x)＝ex(cos x－sin x)－1，①
又因为f(0)＝1，f′(0)＝0，②
所以曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1.③
(2)设h(x)＝ex(cos x－sin x)－1，
则h′(x)＝ex(cos x－sin x－sin x－cos x)
＝－2exsin x．④
当x∈时，h′(x)＜0，⑤
所以h(x)在区间上单调递减．⑥
所以对任意x∈有h(x)≤h(0)＝0，
即f′(x)≤0，⑦
所以函数f(x)在区间上单调递减，⑧
因此f(x)在区间上的最大值为f(0)＝1，⑨
最小值为f＝－.⑩

第(1)问
第(2)问
得
分
点
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
2
1
1
2
1
1
1
1
1
1
4分
8分
第(1)问踩点得分说明
①有正确的求导式子得2分；
②得出f′(0)＝0得1分；
③写出切线方程y＝1得1分．
第(2)问踩点得分说明
④对新函数h(x)＝ex(cos x－sin x)－1求导正确得2分；
⑤得出x∈时，h′(x)＜0得1分，求导出错不得分；
⑥正确判断出函数h(x)的单调性得1分；
⑦得出f′(x)≤0得1分；
⑧判断出函数f(x)在区间的单调性得1分；
⑨求出最大值得1分；
⑩求出最小值得1分.
满分心得
(1)牢记求导法则，正确求导：在函数与导数类解答题中，通常都会涉及求导，正确的求导是解题关键，因此要牢记求导公式，做到正确求导，如本题就涉及对函数的求导．
(2)注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求解．
(3)写全得分关键：在函数与导数问题中，求导的结果、分类讨论的条件、极值、最值、题目的结论等一些关键式子和结果都是得分点，在解答时一定要写清楚，如本题中的得分点②④⑦⑧等.



高考解答题的审题与答题示范(二)　三角函数与解三角形类解答题
——审条件
条件是解题的主要材料，充分利用条件间的内在联系是解题的必经之路．审视条件要充分挖掘每一个条件的内涵和隐含信息，发掘条件的内在联系．
典例
(本题满分12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为.
(1)求sin Bsin C；
(2)若6cos Bcos C＝1，a＝3，求△ABC的周长.
审题路线

标准答案
阅卷现场
(1)由题设得acsin B＝，①
即csin B＝.②
由正弦定理得sin Csin B＝.③
故sin Bsin C＝.④
(2)由题设及(1)
得cos Bcos C－sin Bsin C＝－，⑤
即cos(B＋C)＝－，所以B＋C＝，故A＝.⑥
由题设得bcsin A＝，⑦
即bc＝8.⑧
由余弦定理得b2＋c2－bc＝9，
即(b＋c)2－3bc＝9，得b＋c＝.⑨
故△ABC的周长为3＋.⑩

第(1)问
第(2)问
得
分
点
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
2
1
2
1
1
1
1
1
1
1
6分
6分
第(1)问踩点得分说明
①写出acsin B＝得2分，如果没有记0分；
②正确变形，得出csin B＝得1分，越过此步不扣分；
③正确写出sin Csin B＝得2分；
④正确叙述结论得1分．
第(2)问踩点得分说明
⑤写出cos Bcos C－sin Bsin C＝－得1分；
⑥正确求出A得1分；
⑦正确写出bcsin A＝得1分；
⑧求出bc的值，正确得1分，错误不得分；
⑨通过变形得出b＋c＝得1分；
⑩正确写出答案得1分.
满分心得
(1)写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤有则给分，无则没分，所以得分点步骤一定要写全，如第(1)问中只要写出acsin B＝就有分，第(2)问中求出cos Bcos C－sin Bsin C＝－就有分．
(2)写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时要写清得分关键点，如第(1)问中由正弦定理得sin Csin B＝；第(2)问由余弦定理得b2＋c2－bc＝9.
(3)计算正确是得分保证：解题过程中计算准确，是得满分的根本保证，如cos Bcos C－sin Bsin C＝－化简如果出现错误，本题的第(2)问就全错了，不能得分.
高考解答题的审题与答题示范(三)　数列类解答题
——审结构
结构是数学问题的搭配形式，某些问题已知的数式结构中常常隐含着某种特殊的关系．审视结构要对结构进行分析、加工和转化，以实现解题突破．
典例
(本题满分12分)已知{an}为等差数列，前n项和为Sn(n∈N*)，{bn}是首项为2的等比数列，且公比大于0，b2＋b3＝12，b3＝a4－2a1，S11＝11b4.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{a2nb2n－1}的前n项和(n∈N*).
审题路线
(1)要求{an}和{bn}的通项公式⇒需求{an}的首项a1和公差d；{bn}的首项b1和公比q.
(2)由(1)知a2nb2n－1＝(3n－1)4n⇒分析a2nb2n－1的结构：{3n－1}是等差数列，{4n}是等比数列⇒符合错位相减法求和的特点.
标准答案
阅卷现场
(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q.由已知b2＋b3＝12，得b1(q＋q2)＝12，
而b1＝2，所以q2＋q－6＝0.①
又因为q＞0，解得q＝2，所以bn＝2n.②
由b3＝a4－2a1，可得3d－a1＝8(ⅰ)．
由S11＝11b4，可得a1＋5d＝16(ⅱ)．
联立(ⅰ)(ⅱ)，解得a1＝1，d＝3，③
由此可得an＝3n－2.④
所以数列{an}的通项公式为an＝3n－2，
数列{bn}的通项公式为bn＝2n.
(2)设数列{a2nb2n－1}的前n项和为Tn，由a2n＝6n－2，b2n－1＝2×4n－1，得a2nb2n－1＝(3n－1)×4n，⑤
故Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n，(*)
⑥
4Tn＝2×42＋5×43＋8×44＋…＋(3n－4)×4n＋(3n－1)×4n＋1，(**)⑦
(*)－(**)得－3Tn＝2×4＋3×42＋3×43＋…＋3×4n－(3n－1)×4n＋1＝－(3n－2)×4n＋1－8.⑧
得Tn＝×4n＋1＋.⑨
所以数列{a2nb2n－1}的前n项和为×4n＋1＋.

第(1)问
第(2)问
得
分
点
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
2
1
2
1
1
1
1
2
1
6分
6分
第(1)问踩点得分说明
①正确求出q2＋q－6＝0得2分；
②根据等比数列的通项公式求出通项公式bn＝2n得1分，通项公式使用错误不得分；
③求出a1＝1，d＝3得2分；
④根据等差数列的通项公式求出通项公式an＝3n－2得1分，通项公式使用错误不得分．
第(2)问踩点得分说明
⑤正确写出a2nb2n－1＝(3n－1)×4n得1分；
⑥正确写出Tn＝2×4＋5×42＋8×43＋…＋(3n－1)×4n得1分；
⑦正确写出4Tn得1分；
⑧由两式相减得出－(3n－2)×4n＋1－8正确得2分，错误不得分；
⑨正确计算出Tn＝×4n＋1＋得1分.
满分心得
(1)牢记等差、等比数列的相关公式：熟记等差、等比数列的通项公式及前n项和公式，解题时结合实际情况合理选择．如第(1)问运用了等差、等比数列的通项公式．
(2)注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题(2)即是在第(1)问的基础上得出数列{a2nb2n－1}，分析数列特征，想到用错位相减法求数列的前n项和.

高考解答题的审题与答题示范(四)　立体几何类解答题
——审图形
图形或者图象的力量比文字更为简洁而有力，挖掘其中蕴含的有效信息，正确理解问题是解决问题的关键．对图形或者图象的独特理解很多时候能成为问题解决中的亮点．
典例
(本题满分12分)如图，在四棱锥P­ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A­PB­C的余弦值.
审题路线
(1)AB∥CDAB⊥PD―→AB⊥平面PAD―→结论
(2)―→PF⊥平面ABCD―→以F为坐标原点建系―→一些点的坐标―→平面PCB、平面PAB的法向量―→二面角的余弦值
标准答案
阅卷现场
(1)由已知∠BAP＝∠CDP＝90°，得AB⊥AP，CD⊥PD.
由于AB∥CD，故AB⊥PD，又PD∩PA＝P，PD，PA⊂平面PAD，所以AB⊥平面PAD.① 又AB⊂平面PAB，② 所以平面PAB⊥平面PAD.③
(2)在平面PAD内作PF⊥AD，垂足为点F，
AB⊥平面PAD，故AB⊥PF，可得PF⊥平面ABCD.
以F为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长度，
建立空间直角坐标系．④
由(1)及已知可得A，P，B，C.
所以＝，＝(，0，0)，＝，＝(0，1，0)．⑤
设n＝(x，y，z)是平面PCB的一个法向量，则即
可取n＝(0，－1，－)．⑥
设m＝(x′，y′，z′)是平面PAB的法向量，则
即可取m＝(1，0，1)．⑦
则cos〈n，m〉＝＝－，⑧
由图知二面角A­PB­C为钝二面角，所以二面角A­PB­C的余弦值为－.⑨

第(1)问
第(2)问
得
分
点
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
2
1
1
2
1
1
1
2
1
4分
8分

第(1)问踩点得分说明
①证得AB⊥平面PAD得2分，直接写出不得分；
②写出AB⊂平面PAB得1分，此步没有扣1分；
③写出结论平面PAB⊥平面PAD得1分．
第(2)问踩点得分说明
④正确建立空间直角坐标系得2分；
⑤写出相应的坐标及向量得1分(酌情)；
⑥正确求出平面PCB的一个法向量得1分，错误不得分；
⑦正确求出平面PAB的一个法向量得1分，错误不得分；
⑧写出公式cos〈n，m〉＝得1分，正确求出值再得1分；
⑨写出正确结果得1分，不写不得分.
满分心得
(1)写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全．如第(1)问中AB⊥PD，第(2)问中两向量的坐标．
(2)写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出结论平面PAB⊥平面PAD；过程中的三个条件，写不全则不能得全分，否则就不得分，再者AB⊂平面PAB这一条件也一定要有，否则要扣1分；第(2)问中不写出cos〈n，m〉＝而得出余弦值则要扣1分.


高考解答题的审题与答题示范(五)　解析几何类解答题
——审方法
数学思想是问题的主线，方法是解题的手段．审视方法，选择适当的解题方法，往往使问题的解决事半功倍．审题的过程还是一个解题方法的抉择过程，开拓的解题思路能使我们心涌如潮，适宜的解题方法则帮助我们事半功倍．
典例
(本题满分12分)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：＋y2＝1上，过点M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足＝ .
(1)求点P的轨迹方程；
(2)设点Q在直线x＝－3上，且·＝1.证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.
审题路线
(1)要求P点的轨迹方程⇒求点P(x，y)的横坐标x与纵坐标y的关系式⇒利用条件＝ 求解．
(2)要证过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F⇒证明⊥⇒·＝0.
标准答案
阅卷现场
(1)设P(x，y)，M(x0，y0)，N(x0，0)，＝(x－x0，y)，＝(0，y0)，①
由＝ ，得x0＝x，y0＝y，②
因为M(x0，y0)在C上，所以＋＝1，③
因此点P的轨迹方程为x2＋y2＝2.④
(2)证明：由题意知F(－1，0)，
设Q(－3，t)，P(m，n)，
则＝(－3，t)，＝(－1－m，－n)，⑤
·＝3＋3m－tn，⑥
＝(m，n)，＝(－3－m，t－n)，⑦
由·＝1得－3m－m2＋tn－n2＝1，⑧
又由(1)知m2＋n2＝2，故3＋3m－tn＝0.
所以·＝0，即⊥，⑨
又过点P存在唯一直线垂直于OQ，所以过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F.⑩

第(1)问
第(2)问







得分点









①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
⑨
⑩
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
6分
6分









第(1)问踩点得分说明
①设出点P、M、N的坐标，并求出和的坐标得1分；
②由＝ ，正确求出x0＝x，y0＝y得2分；
③代入法求出＋＝1得2分； ④化简成x2＋y2＝2得1分．
第(2)问踩点得分说明
⑤求出和的坐标得1分； ⑥正确求出·的值得1分；
⑦正确求出和的坐标得1分；
⑧由·＝1得出－3m－m2＋tn－n2＝1得1分；
⑨得出⊥得1分； ⑩写出结论得1分.
满分心得
(1)写全得分步骤：对于解题过程中是得分点的步骤，有则给分，无则没分，所以对于得分点步骤一定要写全，如第(1)问，设P(x，y)，M(x0，y0)，N(x0，0)，就得分，第(2)问中求出－3m－m2＋tn－n2＝1就得分．
(2)写明得分关键：对于解题过程中的关键点，有则给分，无则没分，所以在答题时一定要写清得分关键点，如第(1)问中一定要写出x0＝x，y0＝y，没有则不得分；第(2)问一定要写出·＝0，即⊥，否则不得分，因此步骤才是关键的，只有结果不得分.
高考解答题的审题与答题示范(六)　概率与统计类解答题
——审图表、审数据
题目中的图表、数据包含着问题的基本信息，也往往暗示着解决问题的目标和方向．在审题时，认真观察分析图表、数据的特征的规律，常常可以找到解决问题的思路和方法．
典例
(本题满分12分)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
最高气温
[10，15)
[15，20)
[20，25)
[25，30)
[30，35)
[35，40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.
(1)求六月份这种酸奶一天的需求量X(单位：瓶)的分布列；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位：瓶)为多少时，Y的数学期望达到最大值？
审题路线
→→→
标准答案
阅卷现场
(1)由题意知，X所有可能取值为200，300，500.①
由表格数据知
P(X＝200)＝＝0.2，P(X＝300)＝＝0.4，
P(X＝500)＝＝0.4.②
因此X的分布列为
X
200
300
500
P
0.2
0.4
0.4
③
(2)由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为200，因此只需考虑200≤n≤500，当300≤n≤500时，若最高气温不低于25，则Y＝6n－4n＝2n，若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2(n－300)－4n＝1 200－2n；
若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(n－200)－4n＝800－2n；④
因此E(Y)＝2n×0.4＋(1 200－2n)×0.4＋(800－2n)×0.2＝640－0.4n.⑤
当200≤n