高考数学100个热点题型秒解技巧之利用“对称思想”速解不等式最值问题

秒解高考数学100招

—— 选择、填空篇 ——

◆ 例（2016山东理7）函数的最小正周期是(   )

A.          B.          C.         D.

【秒解】根据口诀：和差不变,积商减半,易知以及的周期

均为,则的周期为,选.

目录   CONTENTS

1、集合  利用特值逆代法速解集合运算题……………………………………2

2、集合  利用对条件具体化巧解集合运算题……………………………………

3、集合  运用补集运算公式简化集合计算………………………………………

4、简易逻辑  利用韦恩图巧解集合与数量关系题………………………………

5、简易逻辑  借助数轴法巧解充要条件问题……………………………………

6、复数  利用逆代法、特值法速解含参型复数题………………………………

7、复数  利用公式速解有关复数的模的问题……………………………………

8、复数  利用结论快速判断复数的商为实数或虚数……………………………

9、复数  利用公式快速解决一类复数问题………………………………………

10、三视图  柱体和锥体的三视图快速还原技巧………………………………

11、三视图  利用“三线交点”法巧妙还原直线型三视图……………………

12、不等式  利用逆代法巧解求不等式解集问题 ………………………………

13、不等式  利用特值法速解比较大小问题 ……………………………………

14、不等式  利用数轴标根法速解高次不等式…………………………………

15、不等式  用代入法速解f型不等式选择题…………………………………

16、不等式  利用几何意义与三角不等式速解含有绝对值的不等式…………

17、不等式  利用结论速解含双绝对值函数的最值问题………………………

18、不等式  利用“1的代换”巧解不等式中的最值问题……………………

19、不等式  利用“对称思想”速解不等式最值问题…………………………

20、不等式  利用柯西不等式速解最值问题……………………………………

21、线性规划  利用特殊法巧解线性规划问题…………………………………

22、线性规划  高考中常见的线性规划题型完整汇总…………………………

23、程序框图  程序框图高效格式化解题模式…………………………………

24、排列组合  排列组合21种常见题型解题技巧汇总………………………

25、排列组合  利用公式法速解相间涂色问题…………………………………

26、排列组合  速解排列组合之最短路径技巧…………………………………

27、二项式定理  二项式定理常见题型大汇总…………………………………

28、二项式定理  利用公式速解三项型二项式指定项问题……………………

29、平面向量  特殊化法速解平面向量问题……………………………………

30、平面向量  利用三个法则作图法速求平面向量问题………………………

31、平面向量  三点共线定理及其推论的妙用…………………………………

32、平面向量  平面向量等和线定理的妙用……………………………………

33、平面向量  向量中的“奔驰定理”的妙用…………………………………

34、平面向量  三角形四心的向量表示及妙用…………………………………

35、平面向量  利用极化恒等式速解向量内积范围问题………………………

36、空间几何  利用折叠角公式速求线线角……………………………………

37、空间几何  求体积的万能公式：拟柱体公式………………………………

38、空间几何  空间坐标系中的平面的方程与点到平面的距离公式的妙用…

39、空间几何  利用空间余弦定理速求异面直线所成角………………………

40、空间几何  利用公式速解空间几何体的外接球半径………………………

41、函数  用特值法速解分段函数求范围问题…………………………………

42、函数  数形结合法速解函数的零点与交点问题……………………………

43、函数  数型结合法巧解带f的函数型不等式………………………………

44、函数  函数的周期性的重要结论的运用……………………………………

45、函数  利用特值法巧解函数图像与性质问题………………………………

46、函数  通过解析式判断图像常用解题技巧…………………………………

47、函数 利用结论 速解“奇函数＋C”模型问题……………………………

48、函数  利用特值法速解与指数、对数有关的大小比较问题………………

49、函数  巧用耐克函数求解函数与不等式问题………………………………

50、函数  利用对数函数绝对值性质速解范围问题……………………………

51、函数  巧用原型函数解决抽象函数问题……………………………………

52、函数  构造特殊函数巧解函数问题…………………………………………

53、导数  特殊化与构造方法巧解导数型抽象函数问题………………………

54、导数  极端估算法速解与导数有关选择题…………………………………

55、导数  用母函数代入法巧解函数、导数中求范围问题……………………

56、导数  隐函数求导在函数与圆锥曲线切线问题中的妙用…………………

57、三角函数  利用口诀巧记诱导公式及其运用………………………………

58、三角函数  利用结论速求三角函数周期问题………………………………

59、三角函数  巧用特值法、估算法解三角函数图像问题……………………

60、三角函数  海伦公式及其推论在求面积中的妙用…………………………

61、三角函数  借助直角三角形巧妙转换弦与切………………………………

62、三角函数  特殊技巧在三角变换与解三角形问题中的运用………………

63、三角函数  齐次式中弦切互化技巧…………………………………………

64、三角函数  利用射影定理秒解解三角形问题………………………………

65、三角函数  三角形角平分线定理的妙用……………………………………

66、三角函数  三角形角平分线长公式的妙用…………………………………

67、三角函数  三角形中线定理及其推论的妙用………………………………

68、三角函数  利用测量法估算法速解三角形选择题…………………………

69、三角函数  利用公式法速解三角函数平移问题……………………………

70、数列  利用公式法速解等差数列与……………………………………

71、数列  利用列举法速解数列最值型压轴题…………………………………

72、数列  用特殊化法巧解单条件等差数列问题………………………………

73、数列  等差数列性质及其推论的妙用………………………………………

74、数列  观察法速解一类数列求和选择题……………………………………

75、数列  巧用不完全归纳法与猜想法求通项公式……………………………

76、数列  代入法速解数列选项含型选择题…………………………………

77、数列  一些数列选择填空题的解题技巧……………………………………

78、统计与概率  估算法速解几何概型选择题…………………………………

79、直线与圆  利用相交弦定理巧解有关圆的问题……………………………

80、直线与圆  利用精准作图估算法速解直线与圆选择题……………………

81、直线与圆  利用两圆方程作差的几何意义速解有问题……………………

82、圆锥曲线  利用“阿波罗尼圆”速解一类距离比问题……………………

83、圆锥曲线  用点差法速解有关中点弦问题…………………………………

84、圆锥曲线  用垂径定理速解中点弦问题……………………………………

85、圆锥曲线  用中心弦公式定理速解中心弦问题……………………………

86、圆锥曲线  焦点弦垂直平分线结论的妙用…………………………………

87、圆锥曲线 利用二次曲线的极点与极线结论速求切线和中点弦方程……

88、圆锥曲线  用公式速解过定点弦中点轨迹问题……………………………

89、圆锥曲线  巧用通径公式速解离心率等问题………………………………

90、圆锥曲线  巧用三角形关系速求离心率……………………………………

91、圆锥曲线  构造相似三角形速解离心率……………………………………

92、圆锥曲线  用平面几何原理巧解圆锥曲线问题……………………………

93、圆锥曲线  利用焦点弦公式速解焦点弦比例问题…………………………

94、圆锥曲线  利用焦点弦公式速解焦半径与弦长问题………………………

95、圆锥曲线  椭圆焦点三角形面积公式的妙用………………………………

96、圆锥曲线  双曲线焦点三角形面积公式的妙用……………………………

97、圆锥曲线  离心率与焦点三角形底角公式的妙用…………………………

98、圆锥曲线  用离心率与焦点三角形顶角公式速求离心率范围……………

99、圆锥曲线  用特值法巧解圆锥曲线选填题…………………………………

100、圆锥曲线  用对称思想速解圆锥曲线问题………………………………

19、不等式  利用“对称思想”速解不等式最值问题

在高考的选择题、填空题中,常会遇到不等式最值问题,用对称思想解决最值问题.这种方法简单有

效,可以解决绝大数不等式最值问题.

※ 什么叫做对称式？

如果把一个代数式中的任意字母对调,所得的代数式与原来的代数式恒相等,那么就说原来的代数式关于这些字母成对称,问题 (条件和结论 )中的地位相同,作用一样 .原来的代数式就是关于这些字母的对称式. 例如：(1) (2) 在 中,对于 来说,和是相互对称的,所以在结论中和 也是相互对称的 .

※ 解题方法

两个 (多个 ) 元素在问题中相互对称时,就 没有充分理由认为这些元素中的某个元素比其他的元素的作用 大或小,地位高或低,它们对结论的贡献应是相等的,地位应 是相同的,谁也无特权,故诸元素均相等时,问题达到最优化 .

这种“ 一视同仁 ”地 、“ 公正 ” 地看待某些对象的“ 非充分 理由 ”原理,用来监控对称问题的结论是很有效的,即条件和研究对象的形式是对称的,结论也应该符合对称的要求,否则可判断结论或者不完整,或者就是根本错误的 . 对称思想告诉我们:没有充分理由区别的,可能是不必区别的 .

对称的原因必然导致对称的结果,对称的条件必能得出对 称的结论 . 利用诸对称元素相等时,问题达到最优化(取某个最值 ),是速解高考客观题中的最值问题的一种极为有效的策略和 方法,是对称思想用于指导解题的具体体现 . 发现或构造对称, 并利用对称原理解题,是解题者对称思想成熟的标志!

最后,需要说明的是,在问题中具有相互对称性的诸元素相等是问题取得最值的充分不必要条件 . 例如,若,,则当 时, 取得最大值;当,或 时,取得最小值0. 但即便如此,它仍然是解决高考客观题中的最值问题的一种极为简便的方法, 也是猜测、估计解答题中最值问题的结论,并变求解题为证明 题的有效措施和手段 .

※应用举例

（1）诸元素均相互对称

◆ 例1 (2009天津理6) 设 ,若是与的等比中项,则的最小值为 (   )

A.8       B.4        C.1       D.

【秒解】由题设得,所以 将 看成是此问题的两个元素,它们对换时问题不变,说明它们在此问题中是相互对称的.即本题中 的地位相同,所以 对于取得最小值的作用和地位应当相同,谁也无权比另一个大. 因此,当时, 取得最小值4,选 B.

◆ 例2(2007重庆理7) 若是与的等比中项,则的最大值为 (   )

A.     B.    C.     D.

【秒解】因为是与的等比中项,所以 ,即. 以下虽然可以利用三角代换或基本不等式求解,但均需用配凑等技巧,是对大多数考生思维的挑战,是大多数考生所想不到的,更何况接下来,不是求导,就是放缩. 显然,这样解一道选择题是不经济的,这促使我们想有没有更好的、更经济的解法呢?如果我们能把 和分别看成是和 ,那么条件式和求解式中的和 具有对称性,即元素和在此问题中是相互对称的,当取得最大值时,就没有充分理由认为 比大或小,它们对取最 (极 )值的贡献是相等 的,地位是相同的,故当,即当 时,取得最大值,选 B .

◆ 例3(2009重庆文7 ) 已知 ,则 的最小值是 (    ) .

A.2      B.     C. 4      D. 5

【秒解】与对称,则时取最值,此时

,选C.

◆ 例4（2015福建文5）若直线

过点,则的最小值等于（  ）

A.2       B.3        C.4       D.5

【秒解】易知,,上式中与对称,则时取最值,此时,选C.

◆ 例5(2009天津文9 ) 设 若 ,,则的最大值为 (  )

A. 2      B.     C. 1       D.

【秒解】在,中与对称,则当时,取最值,此时,取最大值,选C.

◆ 例6(2011浙江文16 ) 若实数满足 ,则的最大值是          .

【秒解】中与对称,答案：.

（2）只有部分元素相互对称

这类问题的解决,只需对这些具有对称性的元素,使用对称原理,即会使问题化难为易,化繁为简,思维量、运算量大为减小,用时少,速度快 .

◆ 例1(2006重庆文12 ) 若,且,则的最小值是 (    )

A.     B.3     C.2     D.

【秒解】在本题中,无论是在题设中还是结论中,虽然不是相互对称的,但是 却是相互对称的,即地位完全相同,所以 对于 取得最小值的作用应当相同,也无权比另一个大.因此,当时,取得最小值.此 时,题设式变为,待求式恰为,此时,选 A .

◆例2(2006重庆理10) 若,且,则的最小值是( )

A.  B.  C.  D.

【秒解】在本题中,无论是在题设还是结论中,虽然 不是相互对称的,但是 却是相互对称的,即地位完全相同,所以对于取得最小值的作用应当相同,谁也无权比另一个大. 因此,当 时,取得最小.此时,题设式变为,待求式恰为,此时,选 D .

（3）元素不对称

有些元素不对称问题,可以根据问题的特点,通过配凑、恒等变形等手段,使 “ 新元素 ” 具有对称性,进而再利用对称 思想求解 . 这是掌握了对称思想的标志和表现之一 .

◆ 例1(2010山东文14 ) 已知, 且满足,则的最大值为(     ) .

【秒解】如果能把和综合起来看成是和,那么条件式和求解式中的和具有对称性,即元素和在此问题中是相互对称的,当,即取得最大值时,就没有充分理由认为比大或小,它们对,即取最(极 )值的贡献相等,故当时,=3 ,即取得最大值3.

◆ 例2(2008江苏11 )设,满足 则的最小值是        .

【秒解】题中,无论是在题设中还是结论中,虽然不是相互对称的,但是如果我们能把 和综合起来看成是 和,则条件式和求解式中的和是相互对称的,当,即当时,取最小值3.

◆ 例3(2007山东理16) 函数

的图象恒过定点,若点在直线上,其中则的最小值为  .        

【秒解】易知定点A 为,所以 又因为,所以.若用对称思想,则由和 知,元素 与在此问题中是相互对称的,地位相同,所以当且仅当时,取最小值8.

◆ 例4(2010浙江文) 若正实数满足 ,则的最小值是        .     

【秒解】在本题中,虽然不相互对称,但是如果我们能把和综合起来看成是和,那么条件式和求解式中的和是相互对称的,故当,即当时,取得最小值18.

◆ 例5(2011浙江理16) 设为实数,若,则的最大值是        .            

【秒解】本题中,虽然不相互对称,但是如果我们能把和综合起来看成是 和,那么条件式和求解式中的和是相互对称的,当即当 时,取得最大值.

◆例6(2010重庆理7) 已知, ,则的最小值是 (   ) .

1. 3       B. 4      C.    D.

【秒解】,

与中与对称,则当时,取最值,此时

,取最大值,选B.

◆ 例7(2011浙江理16 )设为实数,若则的最大值是          .

【秒解】

与中,对称,答案. 

◆ 例8（2015天津文12）已知 则当的值为      时取得最大值.

【秒解】,在与中,对称,则时取最值4.

◆ 例9（2017天津卷文13）若,,

则的最小值为          .

【秒解】,

可知上式中对称,则当时,

.

◆ 例10（2015重庆文14）设,则的最大值为          .

【秒解】,

在式子与中,对称,则当时,取最值,此时,

最大值为.