新疆乌鲁木齐市第八中学2022-2023学年高三上学期第一次月考数学（理）试题

2022-2023学年高三上学期第一次月考数学试题

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.    已知集合，，则的真子集个数为    ．(    )

A.  B.  C.  D.

2.    命题“ ，”为真命题的一个充分不必要条件是(    )

A.  B.  C.  D.

3.    函数的图像的一个对称中心是  ．(    )

A. B.   C.  D.

4.    一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一周岁生日开始，每年到银行储蓄元一年定期，若年利率为保持不变，且每年到期时存款含利息自动转为新的一年定期，当孩子岁生日时不再存入，将所有存款含利息全部取回，则取回的钱的总数为元(    )

A.  B.
C.  D.

5.    如图，正方形中，是的中点，若，则(    )

A.             B.        C.      D.

6.    设数列为等差数列，是其前项和，且，，则下列结论不正确的是(    )

A.  B.
C.  D. 与均为的最大值

7.    已知，，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

8.    若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最大值为．(    )

A.  B.  C.  D.

9.    在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法错误的是(    )

A.  B. 数列是等比数列
C.数列是公差为等差数列      D. 

10. 已知关于的不等式的解集为，则的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

11. 在中，，，是的外心，则的值为(    )

A. B.  C.  D.

12. 已知函数，则下列说法正确的是(    )

A. 是函数的对称轴
B. 函数在区间上单调递增
C. 函数的最大值为，最小值为
D. 函数在区间上恰有个零点，则

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13. 已知，，且，求的最小值____________
14. 若函数在区间上的最大值为，则实数___________.
15. 已知当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是          ．
16. 数列满足，前项和为，则          ．

三、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17. 本小题分
    在中，为上一点，，，．
    若，求外接圆的半径；

设，，求面积．

18. 本小题分
    中国制造是经国务院总理李克强签批，由国务院于年月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布，并把质量差在内的产品为优等品，质量差在内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理优等品与一等品统称为正品现分别从该企业生产的正品中随机抽取件，测得产品质量差的样本数据统计如下：
    根据频率分布直方图，求样本平均数
    根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为，用样本平均数作为的近似值，用样本标准差作为的估计值，求该厂生产的产品为正品的概率同一组中的数据用该组区间的中点值代表
    参考数据：若随机变量服从正态分布，则：，，．
    假如企业包装时要求把3件优等品球和6件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为，求的分布列以及期望值．

19. 本小题分
    如图，平面，，，，，4．
    
    Ⅰ求证：平面；
    Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值；
    Ⅲ若二面角的余弦值为，求线段的长．
20. 本小题分
    已知定点，圆：，点为圆上动点，线段的垂直平分线交于点，记的轨迹为曲线．
    求曲线的方程；
    过点与作平行直线和，分别交曲线于点，和点，，求四边形面积的最大值．
21. 本小题分

已知函数

若是定义域上的增函数，求的取值范围；

若，若函数有两个极值点，，求的取值范围．

选做题10分（二选一）

22.本小题分
已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的非负半轴重合．若曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为为参数．
Ⅰ求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；
Ⅱ设点，直线与曲线交于、两点，求的值．

23.本小题分

已知函数．

当时，求不等式的解集

若，且对任意，恒成立，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查了子集及其运算，一个集合含有个元素，则其真子集的个数是，属于基础题．
利用交集运算求出集合，写出其真子集，则答案可求．

【解答】

解：因为 ，所以的真子集为，，，共个．

故选：B．

2. 【答案】C

【解析】

【分析】
本题考查充分、必要条件的判定，属于基础题．
解题时由不等式恒成立得出的取值范围，再由充分不必要条件的定义得出答案即可．
【解答】
解：若命题“，”为真命题
，恒成立，故：
结合选项，命题“，”为真命题的一个充分不必要条件为
故选：  

3.【答案】A

【解析】

【分析】

本题综合考查了三角函数的恒等变换，二倍角公式以及正弦函数的图像等知识点解题时首先利用二倍角公式，和差公式对原式进行化简，然后利用正弦函数的图像性质得出对称中心的横坐标特点，最终可求得满足题意的对称中心属于中档题．
首先对题设函数化简得，当取函数的对称中心时，有：，，解得，，当时，，，即可得解．

【解答】

解：
．
当取函数的对称中心时，有：，，，，
当时，，，所以函数的一个对称中心为．
故选：A．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查数列的应用，涉及等比数列的前项和公式的应用，属于中档题．
根据题意，依次分析孩子在周岁时、周岁时、周岁时存入的元产生的本利合计，进而可得取回的钱的总数，由等比数列的前项和公式分析可得答案．

【解答】

解：根据题意，
当孩子岁生日时，孩子在一周岁生日时存入的元产生的本利合计为，
同理：孩子在周岁生日时存入的元产生的本利合计为，
孩子在周岁生日时存入的元产生的本利合计为，
孩子在周岁生日时存入的元产生的本利合计为，
可以看成是以为首项，为公比的等比数列的前项的和，
此时将存款含利息全部取回，
则取回的钱的总数


；
故选：．

5.【答案】D

【解析】

【分析】

考查向量加法、减法，及数乘的几何意义，以及向量的数乘运算，相等向量的概念，平面向量基本定理，属于基础题．
根据向量加法、减法及数乘的几何意义便可得出，代入并进行向量的数乘运算便可得出，而，这样根据平面向量基本定理即可得出关于，的方程组，解出，便可得出的值．

【解答】

解：，，；


；
由平面向量基本定理得：；
解得；
．
故选：D．

6.【答案】B

【解析】

【分析】
本题考查了等差数列的前项和公式和的最值问题，熟练应用公式是解题的关键．
利用结论：时，，易推出，，，然后逐一分析各选项，排除错误答案．
【解答】
解：由，得，
，故A正确；

而B选项，即，
可得，由结论，，
显然B选项是错误的．

，，
又，，故C正确；
，，
与均为的最大值，
故D正确；
故选B．  

7.【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查二倍角公式， 两角和与差公式，同角三角函数基本关系，属于中档题．
由题可得为锐角，所以，可求得和的值，再求的值即可．

【解答】

解：，，
，， ，
，

，
，


故选A．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算及二次函数的性质，属于中档题．

先求出左焦点坐标，设，根据在椭圆上可得到、的关系式，表示出向量，根据数量积的运算将、的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．

【解答】

解：由题意，，设点，则有，解得，
因为，
所以，
此二次函数对应的抛物线的对称轴为，
因为，所以当时，取得最大值．
故选C．

9.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查等比数列基本量运算及等比数列等差数列的判定，属中档题．
由题意结合等比数列的通项公式逐项求解即可．

【解答】

解：因为若，，所以，，所以，所以，舍故A正确
B.由知，，所以，，，所以，且所以是以为首项，为公比的等比数列．故B正确
C.由知，，且，所以数列是以为首项，为公差的等差数列．故C错误．
D.由知，故D正确
故选C．

10.【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查了一元二次不等式的应用，以及根与系数的关系，同时考查了基本不等式性质的运用能力和计算能力．
根据不等式的解集为，利用韦达定理求出，，利用基本不等式的性质求解．

【解答】

解：不等式的解集为，
故，为对应方程的两个根，
根据韦达定理，可得：，，
那么：，
，
，
即，当且仅当时等号成立，
故的最大值为．
故选：B．

11.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的数量积运算，属于中档题目 
过点作，的垂线，利用向量的运算将用，表示，利用向量的数量积的几何意义将向量的数量积表示成一个向量与另一个向量的投影的乘积 

【解答】

解：过作，垂足分别为，，则，分别是，的中点， 
 
 
 
 
 
故选A．

12.【答案】 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是三角函数的图象与性质，同角三角函数间的基本关系，二倍角公式，函数的对称性，函数的最值，复合函数的单调性，诱导公式，属于难题．
用函数的对称性判断其对称轴即可判断，去绝对值并利用三角函数的基本关系转化为利用复合函数的单调性即可判断，求出的周期为，分与两种情况，去绝对值，利用复合函数的性质求其最值即可判断，先判断函数在上的零点情况，进而判断在上的零点情况得到结论．
【解答】
解：对于，因为，所以不是函数的对称轴，故A错误；
对于，当时，
令，则
当时，单调递增；当时，单调递减，
所以，且在上单调递增，
综上，在上单调递增，在上单调递减，故B错误；
对于，
所以函数的周期为
当时，
令，则，，
易知在区间上单调递减，所以，的最大值为，最小值为，
当时，，
令，则，，
易知在区间上单调递增，所以，的最大值为，最小值为，
综合可知：函数的最大值为，最小值为，故C错误；
对于，因为是以为周期的函数，可以先研究函数在上的零点个数，易知，
当时，令，解得或，
在上无解，在上仅有一解，
当时，令，解得或，
在上无解，在上也无解，
综合可知函数在上有两个零点，分别为和，
又因为是以为周期的函数，所以，若，则在上恰有个零点，
又已知函数在上恰有个零点，所以，故D正确．
故选D．  

13.【答案】9+6

【解析】

解：，，且，

9+6

当且仅当且，即，时取等号，
则的最小值9+6

14【答案】
本题主要考查了复合函数的单调性以及函数的最值，属于中档题．
先分离变量，再由复合函数的单调性知，分类研究即可．
【解答】
解：函数，
由复合函数的单调性知，
当时，在上单调递减，最大值为
当时，在上单调递增，最大值为，
即，显然不合题意，
故实数．
 

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查一元二次不等式恒成立问题，是基础题

【解答】

令，

因为当时，不等式恒成立，

所以即解得或，

所以实数的取值范围为

  16.【答案】 

【解析】

在已知数列递推式中，分别取为奇数与偶数，可得与，利用累加法得到为奇数时与的关系，求出偶数项的和，然后列式求解．
本题考查数列递推式，考查等差数列的前项和，考查运算求解能力，是较难题．

【解答】

解：由，
当为奇数时，有，
可得，

，
累加可得
；
当为偶数时，，
可得，，，．
可得．
．
，
，即．
故答案为：．

17.【答案】解：由余弦定理，
解得；
又，
解得；
外接圆的半径为；
由，所以，
所以；
由；
设，则，，
在中，
由余弦定理得，
解得；
所以，；
由正弦定理，
即，
解得；
所以，
即的面积为． 

【解析】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了正弦、余弦定理的应用问题，是基础题．
利用余弦定理求出的值，再由正弦定理求得三角形外接圆的半径；
由题意，利用正弦、余弦定理求得的正弦值，再计算的面积．
 

18.【答案】解：由频率分布直方图可知，
．
由题意可知，样本方差，故，所以，
该厂生产的产品为正品的概率
．
所有可能值为，，，．
，
，
，
．
所以的分布列为

数学期望． 

【解析】本题考查频率分布直方图的性质、正态分布以及离散型随机变量的分布列和数学期望，有一定的综合性，但难度不大，考查学生对数据的分析能力和运算能力，属于中档题．
结合频率分布直方图，同一组中的数据用该组区间的中点值代表即可求得平均值；
分析易知，，而正品概率，然后结合参考数据即可得解；
所有可能值为，，，，再利用超几何分布求出每个的取值所对应的概率即可得到分布列，然后求出数学期望即可．
 

19.【答案】Ⅰ证明：因为平面，，在平面内，
则，，又，
故以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，

可得，，，，．
设，则．
则是平面的法向量，又，可得．
又直线平面，
平面；
Ⅱ解：依题意，，，．
设为平面的法向量，
则
令，得．
．
直线与平面所成角的正弦值为；
Ⅲ解：设为平面的法向量，
则
取，可得，
由题意，，
解得．
经检验，符合题意．
线段的长为． 

【解析】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，利用空间向量求解线面角与二面角的大小，是拔高题．
Ⅰ以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，求得，，，，的坐标，设，得可得是平面的法向量，再求出，由，且直线平面，得平面；
Ⅱ求出，再求出平面的法向量，利用数量积求夹角公式得到直线与平面所成角的正弦值；
Ⅲ求出平面的法向量，由两平面法向量所成角的余弦值为列式求线段的长．
 

20.【答案】解：由题意可得，
所以动点的轨迹是以，为焦点，长轴长为的椭圆，
即曲线的方程为：；
由题意可设的方程为，
联立方程得，
设，，
则，
所以
，
根据椭圆的对称性可得，
与的距离即为点到直线的距离，为，
所以四边形面积为，
令得，
又对勾函数性质可知：当，即时，四边形面积取得最大值为． 

【解析】本题考查椭圆的概念及标准方程的求解，考查直线与椭圆的位置关系，考查圆锥曲线中面积最值的求法，属于中档题．
根据题意，结合椭圆的定义即可求出椭圆的标准方程；
设的方程为，与椭圆方程联立，由根与系数的关系得到两根之和及两根之积，再表示出四边形的面积，换元后利用对勾函数性质即得解．
 

21.【答案】解：的定义域为，，
在定义域内单调递增，
，即对恒成立，
则恒成立，，
，
当且仅当时上式取等，，
所以，的取值范围是．
设方程，即的两根为，，且，
由且，得，
，，
，，

，
，
，
，
令，则，
令，，，
在上递减，从而，
即，． 

【解析】本题考查导数的综合应用：求单调区间和求极值，考查二次方程的两根的关系，构造函数应用导数判断单调性，属于难题．
求出函数导数，令它大于等于在定义域上恒成立，转化为恒成立，即，进而利用基本不等式求解；
将表示成的函数，令，令，通过导数研究函数单调性，确定值域即可．
 

22.【答案】解Ⅰ由，得，
又由，，，
得曲线的直角坐标方程为，即，
由，消去参数，
得直线的普通方程为．
Ⅱ由Ⅰ知直线的参数方程可化为为参数，
代入曲线的直角坐标方程得．
由韦达定理，得，则 

【解析】Ⅰ根据互化公式可得曲线的直角坐标方程，消去参数可得直线的普通方程；
Ⅱ根据参数的几何意义可得．
本题考查了参数方程化成普通方程，属中档题．

23.【答案】解：当时，
等价于 或 或
 解得：或，
的解集为或；
，，，，
则

函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，
当时，取得最小值，
对，恒成立，
，
又，
，解得不合题意，
的最小值为． 

【解析】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，属于中档题．
将代入中，去绝对值后分别解不等式即可；
恒成立，只需求出的最小值，根据最小值大于等于可求出的范围．