(新高考)高考数学一轮复习第06讲《函数的单调性与最值 达标检测(解析版)

《函数的单调性与最值》达标检测

[A组]—应知应会

1．（春•天津期末）下列函数中，在上为增函数的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，为一次函数，在上为减函数，不符合题意；

对于，为二次函数，在上为减函数，不符合题意；

对于，为反比例函数，在上为增函数，符合题意；

对于，，当时，，则函数在上为减函数，不符合题意；

故选：．

2．（2019秋•钟祥市校级期中）函数的单调递减区间为　　

A． B． C． D．

【分析】结合绝对值的应用，以及函数单调性的性质进行判断即可．

【解答】解：当时，，此时函数为增函数，

当时，，此时函数为减函数，

即函数的单调递减区间为，

故选：．

3．（•吴忠一模）已知偶函数满足：对任意的，，，都有成立，则满足的取值范围是　　

A． B． C． D．

【分析】根据偶函数的对称性及单调性即可直接求解．

【解答】解：偶函数满足：对任意的，，，都有成立，

故在，上单调递增，根据偶函数的对称性可知，函数在上单调递减，

由可得，

，

解可得．

故选：．

4．（•厦门模拟）已知函数，是单调递增函数，则实数的取值范围是　　

A． B．， C．， D．，

【分析】结合已知分段函数的单调性及每段函数单调性的要求进行求解即可．

【解答】解：由，，

可知在恒成立，

故即或，

根据分段函数的性质可知，，解可得，．

故选：．

5．（•汕头二模）设函数，则满足的的取值范围是　　

A．， B． C． D．

【分析】由已知结合分段函数的单调性进行分类讨论可求．

【解答】解：因为时，单调递减，

由可得，或，

解可得，或即．

故选：．

6．（春•金凤区校级期中）若函数，且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是　　

A． B． C． D．，

【分析】先根据函数单调性的定义可判断出函数在上单调递增，再结合一次函数、指数函数的单调性，列出满足条件的关于的不等式组，解之即可得解．

【解答】解：由题可知，函数在上单调递增，

解得，．

故选：．

7．（春•海安市校级月考）已知函数，若的最小值与的最小值相等，则实数的取值范围是　　

A．， B．， C．，， D．，，

【分析】首先这个函数的图象是一个开口向上的抛物线，也就是说它的值域就是大于等于它的最小值．它的图象只能是函数上的一段，而要这两个函数的值域相同，则函数  必须要能够取到最小值，这样问题就简单了，就只需要的最小值小于．

【解答】解：由于，．则当时，，

又函数的最小值与函数的最小值相等，

则函数必须要能够取到最小值，即，

得到或，

所以的取值范围为或．

故选：．

8．（多选）（2019秋•临高县校级期末）下列函数中，在区间上单调递增的是　　

A． B． C． D．

【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．

【解答】解：根据题意，依次分析选项：

对于，，是正比例函数，在区间上单调递增，符合题意；

对于，，是二次函数，在区间上单调递增，符合题意；

对于，，是反比例函数，在区间上单调递减，不符合题意；

对于，，是指数函数，在区间上单调递减，不符合题意；

故选：．

9．（多选）（2019秋•费县期末）已知函数，，则以下结论错误的是　　

A．任意的，且，都有 

B．任意的，且，都有 

C．有最小值，无最大值 

D．有最小值，无最大值

【分析】由函数及函数的性质直接判断即可．

【解答】解：在上单调递增，无最值，故选项错误；

为偶函数，易知其在为减函数，在为增函数，且在处取得最小值，无最大值，故选项错误；

故选：．

10．（多选）（2019秋•葫芦岛期末）已知函数在区间上单调递增，则，的取值可以是　　

A．， B．， C．， D．，

【分析】根据题意，将函数的解析式变形可得，结合反比例函数的性质以及函数图象平移的规律可得且，分析可得、的关系，据此分析选项可得答案．

【解答】解：根据题意，函数，其定义域为，

若函数在区间上单调递增，

必有且，

即且，

据此分析选项：、、符合；

故选：．

11．（2019秋•徐汇区校级期中）函数的单调递增区间为　　      ．

【分析】根据题意，由函数的解析式分析可得的对称轴以及开口方向，结合二次函数的性质分析可得答案．

【解答】解：根据题意，，是开口向下的二次函数，其对称轴为，

故的单调递增区间为，；

故答案为：，．

12．（2019秋•香坊区校级月考）函数的值域是　　     ，单调递增区间是　     　．

【分析】根据题意，，求出函数定义域，设，结合二次函数的性质分析可得答案．

【解答】解：根据题意，函数，

设，必有，解可得，

必有，则，则有，即函数的值域为，；

又由，必在区间，上为增函数，则，上为减函数，则函数的递增区间为，；

故答案为：，；，．

13．（2019秋•咸阳期末）已知函数在上是减函数，且（2），则满足的实数的取值范围是　　       ．

【分析】根据（2）可以由得出（2），再根据在上是减函数即可得出，解出的范围即可．

【解答】解：（2），

由得，（2），且在上是减函数，

，解得，

满足的实数的取值范围是．

故答案为：．

14．（•运城模拟）已知函数，若的最小值为（1），则实数的取值范围是　　         ．

【分析】利用分段函数以及二次函数的性质，基本不等式转化列出不等式组求解即可．

【解答】解：由题意可知要保证的最小值为（1），需满足，

即，

解得．

故答案为：，

15．（2019秋•贺州期中）已知函数，判断函数的单调性并加以证明．

【分析】利用函数单调性的定义，先设，然后通过作差法比较与的大小，即可判断

【解答】解：函数在，上是减函数．

证明如下：设，

，

，

，，，

即，

函数在，上是减函数．

16．（2019秋•杜集区校级期末）已知一次函数是上的增函数，且，．

（1）求；

（2）若在上单调递增，求实数的取值范围．

【分析】（1）设，代入，可求出，；

（2）图象开口向上，故只需令位于对称轴右侧即可．

【解答】解：（1）设，

一次函数是上的增函数，

，

则，

，

解得，．

．

（2），

图象开口向上，对称轴为，

在上单调递增，

，

解得．

故的范围为，．

17．（2019秋•浔阳区校级期末）已知函数

（1）用函数单调性的定义证明在区间，上为增函数

（2）解不等式：（7）

【分析】（1）任取，，，且，通过作差比较与的大小，根据增函数的定义，只需说明即可；

（2）根据函数的单调性得到，求出不等式的解集即可．

【解答】（1）证明：任取，，，且，

则，

因为，所以，，

所以，即，

所以在，上为增函数．

（2）解：，

结合（1）得在，递增，

所以，

解得：，

故不等式的解集是，．

18．（2019秋•顺庆区校级期中）设是定义在上的单调递增函数，满足，（2）．

（1）求（1）；

（2）解不等式．

【分析】（1）根据可令，，从而可求出（1）的值；

（2）根据条件可求出（4），从而由可得出（4），再根据是定义在上的单调递增函数可得出，解出的范围即可．

【解答】解：（1），

（1）（1）（1），

（1）；

（2），（2），

（4）（2）（2），，

由得，（4），且是定义在上的单调递增函数，

，解得，

故原不等式的解集是，．

19．（春•杭州期中）已知函数，．

（Ⅰ）当时，求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）令，若在，的最大值为5，求的值．

【分析】（Ⅰ）当时，分段求解，作出图象，即可求解单调递增区间；

（Ⅱ）令，利用换元法根据分段函数的性质即可求解最大值为5时的值．

【解答】解：（Ⅰ）当时，

当或，在，递增，

当时，在，递增，

所以函数的单调递增区间为，，，；

（Ⅱ）

可令，，，

则

当时，，则；

当，则

综上可知或

20．（2019秋•上城区校级月考）定义函数．

（1）如果的图象关于对称，求的值；

（2）若，，记的最大值为，当、变化时，求的最小值．

【分析】（1）知道函数的对称轴，可以通过平移，数形结合的思想进而求得答案；

（2）利用放缩法求解函数最小值．

【解答】解：（1）的图象关于直线对称，则将的图象向左移动2个单位，得到函数，

为偶函数，

解得，

；

（2）对任意的，，，，

取得，

同理取得，，

由上述三式得：，，

，，

，，

因此，，（当且仅当时，取得最大值），此时，，

经验证，满足题意．

故当，时，取得最小值，且最小值为．

[B组]—强基必备

1．（•河南模拟）已知，则不等式的解集为　           　

【分析】由已知函数解析式求出函数的单调性，然后结合单调性可求不等式的解集．

【解答】解：因为时，，

则，即此时函数单调递增，

又因为在时单调递增，且在端点0处，

因为，

当时，不等式显然成立，此时；

当时，可得，

所以，

整理可得，，

解可得，或

此时或，

综上可得，不等式的解集为或．

故答案为：或．

2．（2019秋•锡山区校级月考）已知实数，，则的最大值为　　      ．

【分析】构造新的不等式，引入参数，，然后令分子等于0，△，即，再令△，解得或或，进而求解；

【解答】解：

令分子等于0，△，即，

再令△，解得或或，

①，

当且仅当即时等号成立；

②，

当且仅当即时等号成立；

综上，最大值为，

故答案为：

3．（春•温州期末）已知函数．

（Ⅰ）若对于任意的，恒成立，求实数的取值范围；

（Ⅱ）记在，内的最大值为，最小值为，若有解，求的取值范围．

【分析】（Ⅰ）在区间上恒成立，化为大于最大值，设，利用函数的单调性求解即可．

（Ⅱ）推出，通过①当，②当，③当，求出不等式的最小值即可．

【解答】解　（Ⅰ）在区间上恒成立，

在上恒成立，，恒成立，即大于的最大值，

设，

由函数性质易得：在，上是单调递增函数，

，即，．

（Ⅱ）有解，

，

①当，即时，（1）（2）；

②当，即时，（2）（1），

③当，即时，

．与对应图象如图：

当时，最小值为，

．