(新高考)高考数学一轮复习第12讲《函数与方程》达标检测(解析版)

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《函数与方程》达标检测 [A组]—应知应会1．（•娄底模拟）函数的零点所在的区间为　　A． B． C． D．【分析】先判断函数的单调性，再求特殊点对应的函数值即可求解结论．【解答】解：在区间上是增函数，且（1），（2），的零点．故选：．2．（春•大兴区期末）方程的实根个数为　　A．0 B．1 C．2 D．3【分析】法一：构造函数，利用函数的图象的交点，判断方程的根的个数即可．法二：构造函数，利用函数的导数，判断函数的单调性，然后求解即可．【解答】解：法一：方程的实根即函数和的图象交点的横坐标，在同一坐标系中，作出和的图象如图，由图可知，有1个交点，也就是方程实根的个数为1．法二：由法一，可知时，有一个零点，令，，可得，，可知是减函数，函数是增函数；的最小值为，所以，，是增函数，，所以函数，，没有零点．即方程在时没有实数根．所以零点个数为1．故选：．3．（•平阳县模拟）已知关于的方程有四个不同的实数解，则实数的取值范围为　　A． B． C． D．【分析】设，，则方程化为函数，在上有两个不相等的实数根．利用根与系数的关系，列出不等式组求解即可．【解答】解：设，，则方程化为函数，在上有两个不相等的实数根．令，因为，所以，可得，解得可得．故选：．4．（•潮州二模）已知函数，则若在区间，上方程只有一个解，实数的取值范围为　　A．，或 B．，或 C． D．，或【分析】分别求出当时，当时，有一解时的集合，，若在区间，上方程只有一个解，实数的取值范围为在中的补集．【解答】解：当时，，有一解即，有一解，有一解，令，在，上单调递减，所以，（1），所以，当时，有一解，即，有一解，即，有一解，令，在，上单调递增，所以，，所以，所以若在区间，上方程只有一个解，所以或，故选：．5．（春•高安市校级期中）已知定义在上的函数满足：且，，则方程在区间，上的所有实根之和为　　A．14 B．12 C．11 D．7【分析】分析两函数的性质，在同一坐标系内画出两函数图象，利用数形结合的方法可求．【解答】解：，函数为周期为2的周期函数，函数，其图象关于点对称，如图，函数的图象也关于点对称，函数与在，上的交点也关于对称，设，，，，，，分别为，，，，，．，，由图象知另一交点横坐标为，，故两图象在，上的交点的横坐标之和为，即函数在，上的所有根之和为11．故选：．6．（•天津）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是　　A．，， B．，， C．，， D．，，【分析】问题转化为有四个根，与有四个交点，再分三种情况当时，当时，当时，讨论两个函数是否能有4个交点，进而得出的取值范围．【解答】解：若函数恰有4个零点，则有四个根，即与有四个交点，当时，与图象如下：两图象只有两个交点，不符合题意，当时，与轴交于两点，图象如图所示，两图象有4个交点，符合题意，当时，与轴交于两点，在，内两函数图象有两个交点，所以若有四个交点，只需与在，还有两个交点，即可，即在，还有两个根，即在，还有两个根，函数，（当且仅当时，取等号），所以，且，所以，综上所述，的取值范围为，，．故选：．7．（多选）（2019秋•琼山区校级期末）已知函数，利用零点存在性法则确定各零点所在的范围．下列区间中存在零点的是　　A． B． C． D．【分析】此类选择题可用代入法计算出函数值，利用函数零点判定定理即可求解【解答】解：经计算，，，（1），，根据零点判定定理可得区间，，，上存在零点，故选：．8．（•宣城二模）已知函数的零点在区间，上，则　 　．【分析】利用函数零点的判定定理，结合是整数，转化求解即可得出结论．【解答】解：（3），（4），（3）（4）函数的零点在之间，函数的零点在区间，上，，故答案为：3．9．（2019秋•青浦区期末）已知对于任意实数，函数满足．若方程有2019个实数解，则这2019个实数解之和为　 　．【分析】由已知结合偶函数的对称性可知函数的所有零点也关于轴对称，从而可求．【解答】解：因为函数满足，所以为偶函数，图象关于轴对称，若方程有2019个实数解，函数图象关于轴对称，则这2019个实数解之和为0．故答案为：010．（•山西模拟）已知函数若关于的方程恰有5个不同的实根，则的取值范围为　　    ．【分析】利用，求出函数的值，结合函数的图象，通过数形结合求解的范围即可．【解答】解：方程得方程或，作出函数的图象，如图所示，由图可知，有两个根，故有三个根，故．故答案为：．11．（•南通模拟）已知函数则函数的不同零点的个数为　 　．【分析】先求得的实根，然后令，整理得：或，再令，求解方程与的实根即可．【解答】解：由题设条件可知：的实根为或．令，则有：或，即或．令，则有或，可解得：，，，，，函数的不同零点的个数为5．故答案为：5．12．（春•玉林期末）若函数恰有两个零点，则的取值范围为　　       ．【分析】对于分段函数分别讨论每一段上零点的情况，再找到恰有两个零点时，的取值范围．【解答】解：当时，若，则，那么，即，当时，若，则，①若，即时，无解，②若，即时，，不符合，无解，③若，即时，（舍，，若时，，不符合，无解，若时，，符合，有一解，所以若函数有两个零点，则．综上所述，的取值范围为，．故答案为：，．13．（春•洛龙区校级期末）已知是定义在上的奇函数，且满足，当，时，，则函数在区间，上所有零点之和为　  　．【分析】根据条件判断函数的周期是4，求出函数在一个周期上解析式，利用函数与方程的关系转化为两个函数交点个数问题，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：因为为奇函数，则，故，则，即函数是周期为4的周期函数，是上的奇函数，当，时，，，时，，，时，，，时，，，则，（2）由得，当时，，不成立，即，则，作出函数和的图象如图：则两个函数关于点对称，两个图象有4个交点，两两关于对称，则函数在区间，上所有零点之和为，故答案为：8．14．（春•金凤区校级期中）已知奇函数的定义域为，．（1）求实数，的值；（2）若，，方程恰有两解，求的取值范围．【分析】（1）由奇函数的定义域关于原点对称可得，的关系，再由奇函数中求出的值，进而求出，的值；（2）由（1）得的解析式即所给的区间范围，要使方程有两解，既是函数有交点，换元可得为二次函数，根据函数的单调性求出最值．进而求出的取值范围．【解答】解：（1）由函数为奇函数可得：，即定义域关于原点对称，即，可得：，①，由在定义域内，又是奇函数，所以，所以可得：，解得，将代入①可得：，所以，；（2）由（1）得：，若，，即，，在，单调递增，所以，，设，；所以方程：有解，可得，，有解，令，，，开口向上的抛物线，对称轴，．函数先减后增，且离对称轴较远，所以，最小且为：，时，最大，且为，且，综上所述：方程恰有两解，的取值范围为：，．15．（2019秋•邵阳期末）设，函数．（1）若函数在，为单调函数，求的取值范围；（2）根据的不同取值情况，确定函数在定义域内零点的个数．【分析】（1）函数定义域为，分类讨论，，函数的单调情况即可；（2），可得或，令．分类讨论，，，根的情况即可得到的零点个数．【解答】解：显然，当时，，，在，为增函数，在，为增函数．当时，．显然在，为增函数．当时，此时，为的零点，又是的零点，不单调．综上，实数的取值范围为，；（2），由，可得或，①①式可化为．设．Ⅰ．若，有两个根0，1．故函数有2个零点；Ⅱ．若，，对称轴，且△．故有两个不同正根，即函数有3个零点．Ⅲ．若，△，故函数只有1个零点．  [B组]—强基必备1．（•葫芦岛二模）已知函数，方程有四个不同的实数根，记最大的根的取值集合为，若函数，有零点，则的取值范围是　　        ．【分析】先分析函数性质，进而画出图象，结合图象得方程有四个不同的实数根时，的取值范围，进而得，点坐标，集合，若函数，有零点，与，有交点，结合图象求出的取值范围．【解答】解：在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，（1），，，画出图象如下：若方程有四个不同的实数根，则有四个不同的实数根，即与有四个交点，所以，令，解得或，，解得或，得，，，所以最大的根的取值集合为，若函数，有零点，则与，有交点，，设切点，，，，，解得，所以，所以实数的取值范围为，，故答案为：，．2．（春•齐齐哈尔期末）已知函数，若，则函数有　 　个零点；若函数有3个零点，则实数的取值范围是　      　．【分析】判断函数单调性，根据零点存在性定理判断零点个数；分离参数，讨论方程的根的情况，根据有3个零点和的范围得出函数的范围．【解答】解：（1）当时，，显然是的一个零点，令，则，故在上单调递增，又，，在上有1个零点，故有2个零点．（2）令可得，令，则，当时，，当时，，当时，取得最大值（1），又当时，，当时，，令，则当或时，关于的方程只有1解，当时，关于的方程有2解，当时，关于的方程无解．令且，则在和，上单调递增，有3个零点，关于的方程在和，上各有1解，又（1），，．故答案为：2，．3．（2019秋•黄浦区校级期末）已知函数的定义域为区间，若对于内任意、，都有成立，则称函数是区间的“函数”．（1）判断函数是否是“函数”？说明理由；（2）已知，求证：函数是“函数”；（3）设函数是，上的“函数”， （a），（b），且存在，使得（c），试探讨函数在区间，上零点个数，并用图象作出简要的说明（结果不需要证明）．【分析】（1）由题意直接判断即可；（2）由题意直接判断即可；（3）举例即可得出结论．【解答】解：（1）是，理由如下：任取，，且，则成立，故函数是“函数”．（2）证明：事实上，任取，，且，则成立，即得证；（3）函数在，上的零点个数可以为0、1或2个．例如，是函数，如图，其零点个数为0；是函数，如图，其零点个数为1；是函数，如图，其零点个数为2；函数不可能有3个零点，假设，，均是零点，且，则由可知，势必，，，上恒大于0，从而导致矛盾．