(新高考)高考数学一轮复习第30讲《平面向量的数量积》达标检测(解析版)

第30讲 平面向量的数量积（达标检测）

[A组]—应知应会

1．（春•隆回县期末）已知，，则　　

A．8 B．7 C． D．

【分析】直接利用向量的坐标运算以及向量的数量积公式求解即可．

【解答】解：，，则．

故选：．

2．（春•商洛期末）已知向量，，若，则　　

A． B． C． D．

【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出，再由，利用向量垂直的性质能求出．

【解答】解：向量，，

，

，

，

解得．

故选：．

3．（春•汉台区校级月考）已知向量，，且，则　　

A．5 B． C． D．4

【分析】根据即可求出，从而可得出的坐标，从而可得出的值．

【解答】解：，

，解得，

，

．

故选：．

3．（春•五华区校级期末）已知单位向量，满足，则　　

A． B．1 C． D．0

【分析】对条件式两边平方计算，再计算．

【解答】解：是单位向量，，

，，故，

．

故选：．

4．（•贵阳模拟）已知非零向量满足，且，则与的夹角为　　

A． B． C． D．

【分析】根据列方程得出，再代入向量的夹角公式即可得出答案．

【解答】解：，，

即，

，

，

．

故选：．

5．（春•兴宁区校级期末）已知单位向量与的夹角为，则向量在向量方向上的投影为　　

A． B． C． D．

【分析】根据向量数量积公式转化求解即可．

【解答】解：因为单位向量与的夹角为，所以向量在向量方向上的投影为；

故选：．

6．（春•内江期末）已知向量，，，若，，则　　

A．14 B． C．10 D．6

【分析】通过向量的共线与垂直，求出，，然后求解向量的数量积即可．

【解答】解：向量，，，

，可得，解得，，

，可得，解得，

，

则．

故选：．

7．（•石家庄模拟）设圆的半径为1，，，是圆上不重合的点，则的最小值是　　

A． B． C． D．

【分析】用表示出，作，垂足为，设，，用，表示出即可得出最值．

【解答】解：，

由题意可知，，均为单位向量，故，

连接，作，垂足为，设，，则，

，，，

，

，

当，时，取得最小值．

故选：．

8．（春•驻马店期末）已知，，，若，则最大值为　　

A． B． C． D．

【分析】由平面向量数量积的定义可知，设，，则，结合平面向量数量积的坐标运算和，可得，若令，，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，于是当、与三点共线位于和的中间），且点在的延长线上时，最大，为，从而得解．

【解答】解：，，，即．

设，，则，

，，，，化简整理得，，

令，，则点的轨迹是以为圆心，为半径的圆．

，

当、与三点共线位于和的中间），且点在的延长线上时，

最大，为．

故选：．

9．（春•湖北期末）已知向量，满足，且对任意的实数，不等式恒成立，设的夹角为，则的值为　　

A． B． C． D．

【分析】根据条件，对两边平方，进行数量积的运算即可得出，从而得出△，进而得出，，从而可求出的值．

【解答】解：，的夹角为，且对任意的实数，不等式恒成立，

，

，整理得，，

△，

，，且，

，

．

故选：．

10．（多选）（•青岛模拟）已知向量，设的夹角为，则　　

A． B． C． D．

【分析】根据题意，求出、的坐标，据此分析选项，综合即可得答案．

【解答】解：根据题意，，，则，，

依次分析选项：

对于，，，则不成立，错误；

对于，，，则，即，正确；

对于，，，不成立，错误；

对于，，，则，，，则，则，正确；

故选：．

11．（多选）（•山东模拟）在平行四边形中，，，，若为线段的中点，则　　

A． B． C． D．

【分析】画出图形，求出相关点的坐标，通过向量的数量积求解即可．

【解答】解：在平行四边形中，，，，

若为线段中点，建立如图所示的坐标系，则，，，则，，

可得，，，，

则；

．

故选：．

12．（春•运城期末）已知，，且，则与夹角为　　   ．

【分析】根据向量夹角的余弦公式即可得出，然后根据向量夹角的范围即可求出夹角．

【解答】解：，

，且，

与的夹角为．

故答案为：．

13．（春•上高县校级期末）已知向量，，若，则实数的值为　　  ．

【分析】可以得出，然后根据即可得出，从而解出即可．

【解答】解：，

，

，解得．

故答案为：．

14．（•宁波模拟）已知所在平面内的两点，满足：，，是边上的点，若，，，，则　　    ．

【分析】由题意可判断是的外心，是的垂心，结合，及可判断为的中点，从而可计算．

【解答】解：，，即，，

同理可得：，，

是的垂心，

，

，是的外心，

，，

下面证明：，

延长交圆于，则，

又，，同理可得：，

四边形是平行四边形，，

，

设的中点为，则，

，又，，

与重合，故，

．

故答案为：

15．（春•湖北期末）已知，，，，则　　．

【分析】两边平方即可求出的值．

【解答】解：，，

，，

，，

，即，

．

故答案为：．

16．（春•凉山州期末）已知，，．

（1）求；

（2）求与的夹角．

【分析】（1）根据即可得出，进行数量积的运算即可求出；

（2）可设与的夹角为，然后可求出的值，根据求出的值，从而可得出的值，进而得出的值．

【解答】解：（1），，

，

；

（2）设与的夹角为，

由（1）与得，，，

，且，，

．

17．（春•辽阳期末）已知单位向量，的夹角为，向量，向量．

（1）若，求的值；

（2）若，求．

【分析】（1）由题意利用两个向量共线的性质，求出的值．

（2）由题意利用两个向量垂直的性质，求出的值，可得，从而求出．

【解答】解：（1）单位向量，的夹角为，  与  不共线．

向量，向量，

若，则，．

（2）若，．

，

求得，，．

18．（春•泸州期末）设平面向量，．

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若且，求实数的值．

【分析】（Ⅰ）由题意利用两个向量坐标形式的运算法则，求得的坐标，可得它的模．

（Ⅱ）由题意利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，求得的值．

【解答】解：（Ⅰ）向量，，

0，，．

（Ⅱ）若且，

，，

实数．

19．（春•新余期末）如图，在中，已知，，，为线段中点，为线段中点．

（1）求的值；

（2）求，夹角的余弦值．

【分析】（1）建立坐标系，求出相关向量，利用向量的数量积求解即可．

（2）求出，的坐标，利用向量的数量积求解两个向量的夹角．

【解答】解：（1）依题意可知为直角三角形，，如图建立坐标系：

则，，，，因为为的中点，故，

，

．

（2）由为线段中点可知，，，

．

20．（春•滨州期末）如图，在中，为边上的一点，且与的夹角为．

（1）设，求，的值；

（2）求的值．

【分析】（1）用表示出即可得出，的值；

（2）表示出，，再计算的值．

【解答】解：（1），，

，

，．

（2），，，

．

[B组]—强基必备

1．（春•焦作期末）在中，点，在线段上，，当点在线段上运动时，总有，则一定有　　

A． B． C． D．

【分析】由题意画出图形，设，由，得，代入，再令，结合已知转化为关于的不等式，再由判别式恒小于等于0求得的值，然后利用数量积的几何意义可得，则答案可求．

【解答】解：如图，

设，由，得，

又，

，

即有，

，

令，

则，

即恒成立．

可得．

化为，则．

，即在上的投影为的中点．

．

故选：．

2．（春•桃城区校级期中）已知平面单位向量的夹角为，向量满足，若对任意的，记的最小值为，则的最大值为　　

A． B． C． D．

【分析】由题意设，，，，化为，它表示圆；由表示该圆上的点到点的距离，即到直线的距离；得出距离的最小值，求得的最大值为．

【解答】解：平面单位向量的夹角为，

设，，，，

由得，

化简得，它表示以点，为圆心，以为半径的圆；

又表示圆上的点到点的距离，即到直线的距离；

距离的最小值为，由圆心，到直线的距离为，

则的最大值为．

故选：．

3．（•镇海区校级模拟）已知平面向量，，，满足，，，若平面向量，且，则的最小值是　   　．

【分析】由，可知，于是可分别以和为横、纵轴建立平面直角坐标系，此外，不妨设，则，，，于是有，而，且，，所以点的轨迹是以4为焦距的双曲线的右支．再设的夹角为，可推知，的夹角为，将其代入，可得，最后结合双曲线的定义、平面向量的减法运算、勾股定理和均值不等式等可求得的最小值．

【解答】解：，，即，

不妨令，由于，所以，，

如图所示，分别以和为横、纵轴建立平面直角坐标系，则，

，

，且，，

点的轨迹是以4为焦距的双曲线的右支．

，，

如图，设的夹角为，则，，

，，

即，的夹角为，

，，，

，

当且仅当即时，取得等号．

故答案为：．

4．（2019•江苏三模）在平面四边形中，，，，若，则的最小值为　　    ．

【分析】以为坐标原点，以为轴，以为轴建立如图坐标系，设．可以推出点在圆上，然后将的最小值的问题，根据三角形相似转化为的问题，借助三角形的两边之和大于第三边即可得到的最小值．

【解答】解：以为坐标原点，以为轴，以为轴建立如图坐标系，设．

则，，，，

，．

，

所以，

即，即点在以为圆心，以2为半径的圆上，

取，则，所以，

所以，即，

所以取得最小值即取得最小值，

根据三角形的两边之和大于第三边，，

故填：．