(新高考)高考数学一轮复习第34讲《等差数列及其前n项和》达标检测(解析版)

第34讲 等差数列及其前n项和（达标检测）

[A组]—应知应会

1．（春•张家界期末）5与11的等差中项是　　

A．7 B．8 C．9 D．10

【分析】由题意利用等差中项的定义，求得结果．

【解答】解：5与11的等差中项为，

故选：．

2．（春•田家庵区校级期末）在等差数列中，，，则　　

A．8 B．10 C．14 D．16

【分析】利用等差数列通项公式列方程，求出，由此能求出．

【解答】解：在等差数列中，，，

，

解得，

．

故选：．

3．（春•湛江期末）已知等差数列的前项和为，若，则　　

A．3 B．4 C．5 D．6

【分析】由等差数列的前项和公式分析可得，计算可得答案．

【解答】解：，

；

故选：．

4．（春•绵阳期末）在等差数列中，若，则数列的前7项和　　

A．15 B．20 C．35 D．45

【分析】先利用等差数列的前项和公式表示出，再利用等差数列的性质化简后把前7项之和用第四项来表示，将的值代入即可求出值．

【解答】解：因为，

所以．

故选：．

5．（春•宣城期末）已知等差数列中，前项为偶数）和为126，其中偶数项之和为69，且，则数列公差为　　

A． B．4 C．6 D．

【分析】由已知结合等差数列的性质即可求解．

【解答】解：由题意可得，，，

，

，

解可得，．

故选：．

6．（春•珠海期末）已知等差数列，公差，为其前项和，，则　　

A． B． C． D．

【分析】利用等差数列前项和公式推导出，再由，能求出结果．

【解答】解：等差数列，公差，，

，

解得，

．

故选：．

7．（春•太原期末）已知等差数列满足，，．其前项和为，则使成立时最大值为　　

A． B．2019 C．4040 D．4038

【分析】差数列的首项，，，可得，．再利用求和公式及其性质即可得出．

【解答】解：等差数列的首项，，，

，．

于是，

．

使成立的最大正整数是4038．

故选：．

8．（春•张家界期末）已知是等差数列的前项和，若，，则　　

A． B．2019 C．0 D．

【分析】推导出，解得，由此能求出．

【解答】解：是等差数列的前项和，

，，

设数列的公差为，

，

解得，

．

故选：．

9．（•黑龙江二模）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，书中提到：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，则立夏的日影子长为　　

A．15.5尺 B．12.5尺 C．9.5尺 D．6.5尺

【分析】利用等差数列的通项公式列出方程组，能求出立夏的日影子长．

【解答】解：从冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列，设其公差为，

冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺，芒种的日影子长为4.5尺，

解得，．

，

立夏的日影子长为15.5尺．

故选：．

10．（多选）（春•龙岩期末）等差数列的前项和为，，则下列结论一定正确的是　　

A． B．当或10时，取最大值 

C． D．

【分析】由题意利用等差数列的通项公式、求和公式以及等差数列的性质，得出结论．

【解答】解：等差数列的前项和为，，，

求得．

故，故正确；

该数列的前项和，它的最值，还跟有关，

不能推出当或10时，取最大值，故错误．

，，故有，故错误；

由于，，故，故正确，

故选：．

11．（多选）（春•宁德期末）公差为的等差数列，其前项和为，，，下列说法正确的有　　

A． B． C．中最大 D．

【分析】推导出，，，由此能求出结果．

【解答】解：公差为的等差数列，其前项和为，，，

，解得，

，解得，故错误；

，故正确；

，，中最大，故错误；

，，，

，，故正确．

故选：．

12．（春•宜宾期末）在等差数列中，，，则　 　．

【分析】由题意利用等差数列的性质，求得公差 的值，可得结论．

【解答】解：等差数列中，，，故，

 则，

故答案为：7．

13．（春•河南期末）记为等差数列的前项和，若，，则　 　．

【分析】由为等差数列的前项和，，，利用等差数列的通项公式和前项和公式列出方程组，求出，，由此能求出．

【解答】解：为等差数列的前项和，，，

，解得，，

．

故答案为：14．

14．（•十堰模拟）等差数列中，，，则　  　．

【分析】利用等差数列的性质求出公差，进而求出结论．

【解答】解：因为等差数列中，，，

故；

；

．

故答案为：135．

15．（春•乐山期末）在等差数列中，，其前项的和为，若，则的值为　    　．

【分析】由已知结合等差数列的性质及通项公式即可求解．

【解答】解：由等差数列的性质可知，为等差数列，设公差为，

，，

，

，

，

则

故答案为：

16．（春•怀化期末）已知是等差数列的前项和，若，，则　  　．

【分析】由已知结合等差数列的性质及通项公式即可直接求解．

【解答】解：是等差数列的前项和，

是等差数列，设公差为，

因为，

所以即，

因为，，

则．

故答案为：2016

17．（春•沙坪坝区校级期中）等差数列中，，．

（1）求的通项公式；

（2）设，记为数列前项的和，若，求．

【分析】（1）由已知结合等差数列的通项公式即可求解，，然后结合等差数列的通项公式即可求解；

（2）由（1）结合等比数列的求和公式即可求解．

【解答】解：（1）等差数列中，，．

，即，

，

（2）由题意可得，，

，

所以，

故

18．（2019秋•怀柔区期末）已知等差数列满足，．

（Ⅰ）求的通项公式；

（Ⅱ）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等？

【分析】设等差数列的公差为，由，．可得，，联立解得：，．即可得出．

（Ⅱ）设等比数列的公比为，由，，联立解得：，．即可得出．

【解答】解：设等差数列的公差为，，．

，，

联立解得：，．

．

（Ⅱ）设等比数列的公比为，

，联立解得：，．

．

，解得．．

与数列的第31项相等．

19．（•海淀区二模）已知是公差为的无穷等差数列，其前项和为．又___，且，是否存在大于1的正整数，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由．

从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．

【分析】分别选择①②，然后结合等差数列的求和公式及已知条件进行求解即可判断．

【解答】解：若选①，，

因为是等差数列，

所以，

故，，，

由可得可得或（舍，

故不存在使得；

若选②，，因为是等差数列，

由，可得，，

因为，

所以，解可得或，

因为，

存在在使得；

20．（春•青羊区校级期中）已知，，都是各项不为零的数列，且满足，，其中是数列的前项和，是公差为的等差数列．

（1）若数列，的通项公式分别为，，求数列的通项公式；

（2）若是不为零的常数），求证：数列是等差数列；

（3）若为常数，，．对任意，，求出数列的最大项（用含式子表达）．

【分析】（1）根据题意得，所以，当时，，两式做差，可得；当时，满足上式，则．

（2）因为，当时，，两式相减得：，即，即，又，代入得，又，当时，，两式相减得：，得数列是从第二项起公差为得等差数列．当时，得，当时，由，得，故数列是公差为的等差数列．

（3）由（2），当时，得，因为，所以，进而得，即，即，故从第二项起数列是等比数列，得当时，，，由已知条件可得，又，，，所以，因而，令，则，得对任意的时，，恒成立，得时，，单调递减，进而得中最大项．

【解答】解：（1）因为，，

所以，

由，

得，

当时，，

两式做差，可得

，

当时，满足上式，则．

（2）证明：因为，

当时，，

两式相减得：，

即，

，

即，又，

所以，

又，

所以当时，，

两式相减得：，

所以数列是从第二项起公差为得等差数列．

又当时，由，得

当时，由，得，

故数列是公差为的等差数列．

（3）解：由（2），当时，

，即，

因为，

所以，

即，

所以，即，即，

故从第二项起数列是等比数列，

所以当时，，

，

另外，由已知条件可得，

又，，，

所以，

因而，

令，

则，

故对任意的时，，恒成立，

所以时，，单调递减，中最大项为．

[B组]—强基必备

1．（2019春•昌江区校级期中）数列是等差数列，，数列满足，设为的前项和，则当取得最大值时，的值等于　   　．

【分析】由，可得，，．又，，时，．可得，，又由，，，．比较与大小关系即可得出．

【解答】解：，，，．

又，，时，．

，，

，，，．

时，．

．

，

．

故，所以中最大．

故答案为：15，

2．（•宿迁模拟）已知数列的前项和为，把满足条件的所有数列构成的集合记为．

（1）若数列的通项为，则是否属于？

（2）若数列是等差数列，且，求的取值范围；

（3）若数列的各项均为正数，且，数列中是否存在无穷多项依次成等差数列，若存在，给出一个数列的通项：若不存在，说明理由．

【分析】（1）直接利用数列的通项公式的应用和前项和公式的应用求出结果．

（2）利用等差数列的性质的应用求出首项的取值范围．

（3）利用假设法的应用，建立不等量关系，进一步求出结果．

【解答】解：（1）因为，所以，

所以，

所以，即．

（2）设的公差为，因为，

所以

特别的当时，，即，

由得，

整理得，

因为上述不等式对一切恒成立，所以必有，解得，

又，所以，

于是，即，所以，

即，

（3）由得，所以，即，

所以，从而有，

又，所以，即，

又，，所以有，

所以，假设数列中存在无穷多项依次成等差数列，

不妨设该等差数列的第项为为常数），

则存在，，使得，即，

设 ，，，则 ，

即 （3），

于是当时，，从而有：当时，即，

于是当时，关于的不等式有无穷多个解，显然不成立，

因此数列中是不存在无穷多项依次成等差数列．