(新高考)高考数学一轮复习第39讲《空间点、直线、平面之间的位置关系》达标检测(解析版)

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第39讲 空间点、直线、平面之间的位置关系（达标检测）[A组]—应知应会1．（春•密云区期末）在空间中，下列结论正确的是　　A．三角形确定一个平面 B．四边形确定一个平面 C．一个点和一条直线确定一个平面 D．两条直线确定一个平面【分析】直接利用平面的性质的应用求出结果．【解答】解：对于选项：三角形的三角不共线，所以不共线的三点确定的平面有且只有一个，故正确．对于选项：四边形假设为空间四边形，确定的平面可能有四个，故错误．对于选项：只有当点不在直线上时，才能确定一个平面，故错误．对于选项：两条直线平行或相交时，确定的平面有且只有一个，故错误．故选：．2．（春•朝阳区校级期中）一正四面体木块如图所示，点是棱的中点，过点将木块锯开，使截面平行于棱和，则下列关于截面的说法正确的是　　A．满足条件的截面不存在 B．截面是一个梯形 C．截面是一个菱形 D．截面是一个三角形【分析】取中点，中点，中点，连结、、、，推导出截面是菱形．【解答】解：取中点，中点，中点，连结、、、，点是棱的中点，，，，，，，，，过点将木块锯开，使截面平行于棱和，，，，，，，四边形是平行四边形，，，截面是菱形．故选：．3．（2019秋•吉安期末）下列命题是公理的是　　A．平行于同一个平面的两个平面互相平行 B．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 D．空间中，如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补【分析】由所学知识可知，为定理，为公理，再判断错误得答案．【解答】解：，为定理，不是公理；对于，垂直于同一条直线的两条直线可能平行、也可能相交、也可能异面，故错误；是教材中给出的公理．故选：．4．（2019秋•中山市期末）如图，点、、、分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线与是异面直线的图是　　A． B． C． D．【分析】利用正方体的性质、异面直线的定义即可判断出结论．【解答】解：中，，中，，中，与为异面直线，．与相交．故选：．5．（•青羊区校级模拟）在正四棱柱中，，，点，分别为棱，上两点，且，，则　　A．，且直线，异面 B．，且直线，相交 C．，且直线，异面 D．，且直线，相交【分析】作图，通过计算可知，取点为的中点，则共面，显然点不在面内，由此直线，异面．【解答】解：，如图，取点为的中点，则，故共面，点在面面外，故直线，异面．故选：．6．（春•本溪县期末）在长方体中，若，，则异面直线和所成角的余弦值为　　A． B． C． D．【分析】连结，，由长方体的性质得，从而是异面直线和所成角（或补角），由此能求出异面直线和所成角的余弦值．【解答】解：如图，连结，，由长方体的性质得，是异面直线和所成角（或补角），由已知得，，，．异面直线和所成角的余弦值为．故选：．7．（春•宣城期末）在正三棱柱中，为侧面的中心，为侧面的中心，为的中点，则直线与直线所成的角为　　A． B． C． D．【分析】由题意画出图形，可得，再由，得到，则答案可求．【解答】解：如图，为侧面的中心，为侧面的中心，，为的中点，连接，则．，即直线与直线所成的角为．故选：．8．（春•赤峰期末）在三棱锥中，，，，分别是，，，的中点，若，且与所成的角为，则四边形的面积为　　A． B． C． D．【分析】由题意画出图形，可得四边形为菱形，再由已知异面直线所成角求得，代入三角形面积公式计算．【解答】解：如图，，，，分别是，，，的中点，，，四边形为平行四边形，又与所成的角为，（或．，，则四边形为菱形．．故选：．9．（春•河源期末）如图，在三棱柱中，平面，四边形为正方形，，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　A． B． C． D．【分析】过点作，交于点，则为异面直线与所成角（或所成角的补角），由此能求出异面直线与所成角的余弦值．【解答】解：如图，过点作，交于点，则为异面直线与所成角（或所成角的补角），在三棱柱中，平面，四边形为正方形，，，为的中点，由题意知，，，异面直线与所成角的余弦值为：．故选：．10．（春•宁德期末）在正四面体中，，，，分别是，，，的中点，则与所成的角为　　A． B． C． D．【分析】推导出，，从而是与所成的角（或所成角的补角），由此能求出与所成的角．【解答】解：在正四面体中，，，，分别是，，，的中点，，，是与所成的角（或所成角的补角），是等边三角形，，与所成的角为．故选：．11．（多选）（春•葫芦岛期末）如图，在边长为4的正三角形中，，，分别为各边的中点，，分别为，的中点，将沿，，折成正四面体，则在此正四面体中，下列说法正确的是　　A．与所成的角的正弦值为 B．与成角 C．与所成的角为 D．与所成角余弦值为【分析】对于，推导出，，连结，取中点，则，异面直线与所成角为，求出与所成的角的正弦值为；对于，推导出平面，从而；对于，连结，，则，从而异面直线与所成的角为，由余弦定理求出与所成的角为；对于，异面直线与所成角为，由余弦定理能求出结果．【解答】解：对于，的边长为4，折成正四面体后，如图，，，分别为各边的中点，，分别为，的中点，，，连结，取中点，则，异面直线与所成角为，，，连结，得，，，与所成的角的正弦值为：，故错误；对于，正四面体中，取中点，连结，，则，，平面，，与成角，故正确；对于，连结，，则，异面直线与所成的角为，，，，，与所成的角为，故正确；对于，异面直线与所成角为，，故正确．故选：．12．（多选）（•海南模拟）如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点，异面直与所成角的余弦值为，则　　A． B．直线与直线共面 C． D．直线与直线异面【分析】可连接，，从而看出为异面直线与所成的角，可设，从而可得出，这样在中，根据余弦定理即可求出异面直与所成角的余弦值的值；然后连接，，从而可得出，这样即可得出直线与直线共面．【解答】解：如图，连接，，则，为异面直线与所成的角，，为正四棱柱，，分别为，的中点，设，则，，在中，根据余弦定理，，；连接，，，则，，，与共面．故选：．13．（春•黄浦区校级期末）作一个平面截正方体得到一个多边形（包括三角形）截面，那么截面形状可能是　         　（填上所有你认为正确的选项的序号）．①正三角形；②正方形；③菱形；④非正方形的矩形；⑤正五边形；⑥正六边形．【分析】作出可能的截面图形，能求出结果．【解答】解：如图，作一个平面截正方体得到一个多边形（包括三角形）截面，对于①，截面形状可能是正三角形，故①正确；对于②，截面形状可能是正方形，其中、、、分别是所在棱的中点，故②正确；对于③，截面形状可能是菱形，其中、、、分别是所在棱的中点，故③正确；对于④，截面形状可能是，故④正确；对于⑤，由正方体的对称性得截面形状不可能是正五边形，故⑤错误；对于⑥，截面形状可能是正六边形，其中、、、、、分别是所在棱的中点，故⑥正确；故答案为：①②③④⑥．14．（2019春•秦淮区期末）在正方体的各条棱中，棱所在直线与直线异面的有　 　条【分析】根据题意画出图形，结合图形写出棱所在直线与直线是异面直线的条数．【解答】解：如图所示，正方体中，棱所在直线、、和与直线是异面直线，共有4条．故答案为：4．15．（2019春•杨浦区校级期末）四面体中，，，则异面直线与的夹角为　　    .【分析】取中点，连接，，由已知可得，，再由线面垂直的判定可得平面，从而得到异面直线与的夹角为．【解答】解：如图，取中点，连接，，，，，，又，平面，则．即异面直线与的夹角为．故答案为：．16．（2019秋•温州校级月考）如图，是正方体，，，，，，分别是所在棱的中点，则下列结论错误的有　      　．①和是平行直线；和是相交直线②和是平行直线；和是相交直线③和是相交直线；和是异面直线④和是异面直线；和也是异面直线【分析】根据空间中两条直线的位置关系，对题目中的命题进行分析、判断即可．【解答】解：对于①，和是平行直线，但和是异面直线，不是相交直线，①错误；对于②，和是平行直线；和是相交直线，并且它们的交点在直线上，②正确；对于③，和是平行直线，不是相交直线；和是异面直线，③错误；对于④，和是异面直线；但和是相交直线，不是异面直线，④错误；综上，错误的命题序号是①③④．故答案为：①③④．17．（春•沈河区校级期末）已知：平面，，，，，，，，，，直线与的夹角是，则线段的长为　　       ．【分析】推导出，从而，由此能求出线段的长．【解答】解：平面，，，，，，，，，，，，直线与的夹角是，或，当时，线段的长为：，当时，线段的长为：．故答案为：或5．18．（春•常德期末）已知三棱柱的侧棱垂直于底面，且是边长为1的正三角形，，、分别为、的中点，则异面直线与所成的角为　　   ．【分析】由题意画出图形，由，可得即为异面直线与所成角，再由已知求解三角形得答案．【解答】解：如图，在直三棱柱中，，即为异面直线与所成角．底面，，，，且、分别为、的中点，，，在中，由，，得．，即异面直线与所成的角为．故答案为：．19．（•怀化二模）如图，在三棱锥中，平面，，．若三棱锥外接球的半径为，则直线与平面所成角的正切值为　    　．【分析】设为的外心，为三棱锥的外接球的球心，推导出，取的中点，由，推导出，外接圆的半径，由此能求出直线与平面所成角的正切值．【解答】解：如图，设为的外心，为三棱锥的外接球的球心，由平面，平面，知，取的中点，由，知为的中点，且四边形为矩形，又，，外接圆的半径，在中，由，得，，直线与平面所成角的正切值为．故答案为：．20．（2019秋•包河区校级月考）在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别边，上的点，且．求证：①点，，，四点共面；②直线，，相交于一点．【分析】①利用三角形的中位线平行于第三边和平行线分线段成比例定理，得到、都平行于，由平行线的传递性得到，根据两平行线确定一平面得出证明；②利用分别在两个平面内的点在这两个平面的交线上，即可证明．【解答】证明：①如图所示，空间四边形中，，分别是，的中点，；又．，，、、、四点共面；②设与交于点，平面在平面内，同理在平面内，且平面平面，点在直线上，直线，，相交于一点．21．（春•金安区校级期末）已知正四棱锥的全面积为2，记正四棱锥的高为．（1）试用表示底面边长，并求正四棱锥体积的最大值；（2）当取最大值时，求异面直线和所成角的正切值．【分析】（1）设正四棱锥的底面边长为，侧面三角形的高为，由题意可得关于的关系式，写出四棱锥体积，整理后利用基本不等式求最值；（2）取的中点，正方形的中心为，连接，，，由，得即为异面直线与所成角，结合（1）中求得的值，即可求得异面直线和所成角的正切值．【解答】解：（1）设正四棱锥的底面边长为，侧面三角形的概为，则，，又，．正四棱锥体积．（当且仅当，即时取等号）．，即正四棱锥体积的最大值为（当，时取最大值）；（2）取的中点，正方形的中心为，连接，，．，即为异面直线与所成角．为的中点，，．即，由（1）知，．又，．即异面直线和所成角的正切值为3．22．（•未央区校级模拟）已知圆锥的顶点为，底面圆心为，半径为2．（Ⅰ）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（Ⅱ）设，，是底面半径，且，为线段的中点，如图，求异面直线与所成的角的正切值．【分析】（1）由已知取得圆锥的高，再由圆锥体积公式求解；（2）证明平面，取中点，连接，则，且．可得为异面直线与所成的角，再证明，然后求解三角形可得异面直线与所成的角的正切值．【解答】解：（1）由圆锥母线长为4，即，底面半径，可得圆锥的高．该圆锥的体积；（2）底面，，又，即，，平面，取中点，连接，则，且．为异面直线与所成的角．由平面，，可得平面，得．在中，求得，在中，可得．23．（春•广陵区校级期中）如图，在正方体中，、、、分别是棱、、、的中点．（1）判断直线与的位置关系，并说明理由；（2）求异面直线与所成的角的大小．【分析】（1）法一：取的中点，推导出，在平面中，延长与必交于右侧一点，且，同理，在平面中，延长与必交于右侧一点，且，由与重合，得到直线与相交．法二：推导出是平行四边形，从而，再由，得，，由此能推导出直线与相交．（2）推导出是平行四边形，，，从而，与所成的角即为与所成的角，再由△为等边三角形，能求出由直线与所成的角的大小．【解答】解：（1）解法一：取的中点，、、分别是正方形中、、的中点，，在平面中，延长与必交于右侧一点，且同理，在平面中，延长与必交于右侧一点，且，与重合进而，直线与相交．解法二：在正方体中，、分别是、的中点，，是平行四边形，，又、分别是、的中点，，，，、是梯形的两腰，直线与相交．（2）解：在正方体中，，是平行四边形，，又、分别是、的中点，，，与所成的角即为与所成的角，与所成的角即为及其补角中的较小角，又在正方体中，△为等边三角形，由直线与所成的角为． [B组]—强基必备1．（•山东模拟）我国古代数学名著《九章算术》中记载，斜解立方为“堑堵”，即底面是直角三角形的直三棱柱（直三棱柱为侧棱垂直于底面的三棱柱）．如图，棱柱为一个“堑堵”，底面的三边中的最长边与最短边分别为，，且，，点在棱上，且，则当的面积取最小值时，异面直线与所成的角的余弦值为　   　．【分析】设直三棱柱的高为，，先根据，利用勾股定理，可得①；过作于点，再过点作为于点，则，即为的边上的高，结合三角函数的知识和三角形的面积公式可得②，把①代入②式消去整理后得，利用基本不等式推出当的面积取最小值时，；最后结合平移的思想，可知即为所求．【解答】解：设直三棱柱的高为，，则，为直角三角形，且，，，由勾股定理知，，，，，即，整理得，即．过作于点，再过点作为于点，则，即为的边上的高，在中，，，，，把代入上式，化简得，当且仅当，即，时，等号成立，此时的面积取得最小值，．，即为异面直线与所成的角，，，即异面直线与所成的角的余弦值为．故答案为：．