(新高考)高考数学一轮复习第45讲《两直线的位置关系》达标检测(解析版)

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第45讲 两直线的位置关系（达标检测）
[A组]—应知应会
1．（2019•西湖区校级模拟）已知l1：2x+my﹣2＝0，l2：mx+2y﹣1＝0，且l1⊥l2，则m的值为（　　）
A．2 B．1 C．0 D．不存在
【分析】由两直线ax+by+c＝0与mx+ny+d＝0垂直⇔am+bn＝0解之即可．
【解答】解：因为l1⊥l2，所以2m+2m＝0，
解得m＝0．
故选：C．
2．（•达州模拟）直线l1：ax+2y+a＝0与直线l2：2x+ay﹣a＝0互相平行，则实数a＝（　　）
A．﹣4 B．4 C．﹣2 D．2
【分析】根据两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得a的值．
【解答】解：∵直线l1：ax+2y+a＝0与直线l2：2x+ay﹣a＝0互相平行，
∴a≠0，且＝≠，
则实数a＝2，
故选：D．
3．（•安丘市模拟）已知直线l1：x•sinα+y﹣1＝0，直线l2：x﹣3y•cosα+1＝0，若l1⊥l2，则sin2α＝（　　）
A． B． C．﹣ D．
【分析】根据直线的垂直，即可求出tanα＝3，再根据二倍角公式即可求出．
【解答】解：因为l1⊥l2，所以sinα﹣3cosα＝0，
所以tanα＝3，
所以sin2α＝2sinαcosα＝＝＝．
故选：D．
4．（春•赤峰期末）若直线x﹣y﹣m＝0与直线mx+y﹣4＝0平行，则它们之间的距离为（　　）
A．2 B． C． D．
【分析】由题意利用两条直线平行的性质求得m的值，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果．
【解答】解：∵直线x﹣y﹣m＝0与直线mx+y﹣4＝0平行，则m≠0，且＝≠，
求得m＝﹣1，两直线即 直线x﹣y+1＝0与直线x﹣y+4＝0，
它们之间的距离为 ＝，
故选：C．
5．（2019春•阿克苏市期末）已知点A（1，﹣2），B（m，2），若线段AB的垂直平分线的方程是x+2y﹣2＝0，则实数m的值是（　　）
A．﹣2 B．﹣7 C．3 D．1
【分析】先利用线段的中点公式求出线段AB的终点坐标，再把中点坐标代入直线x+2y﹣2＝0求得实数m的值．
【解答】解：∵A（1，﹣2）和B（m，2）的中点在直线x+2y﹣2＝0上，
∴．
∴m＝3，
故选：C．
6．（春•宁德期末）已知直线l1过（0，0）、（1，﹣3）两点，直线l2的方程为ax+y﹣2＝0，如果l1∥l2，则a值为（　　）
A．﹣3 B． C．﹣ D．3
【分析】求出直线l1的斜率，从而求出直线l2的斜率，求出a的值即可．
【解答】解：∵直线l1过（0，0）、（1，﹣3）两点，
∴＝＝﹣3，
∵l1∥l2，∴＝﹣3＝﹣a，
解得：a＝3，
故选：D．
7．（春•昆山市期中）已知M（﹣2，3），N（6，2），点P在x轴上，且使得PM+PN取最小值，则点P的坐标为（　　）
A．（﹣2，0） B．（，0） C．（，0） D．（6，0）
【分析】根据点M、N在x轴的同侧，求出点M关于x轴的对称点M′，得出PM+PN的最小值是|M′N|，再利用直线M′N求得点P的坐标．
【解答】解：点M（﹣2，3），N（6，2）在x轴的同侧，如图所示；
则点M关于x轴的对称点M′的坐标为（﹣2，﹣3），
此时PM+PN＝|M′N|的值最小，
此时直线M′N的方程为＝，
令y＝0，解得x，
所以PM+PN取最小值时，点P（，0）．
故选：C．

8．（春•韶关期末）已知点A（1，3）和点B（5，2）到直线l的距离相等，且l过点（3，﹣1），则直线l的方程为（　　）
A．x+4y+1＝0或x＝3 B．x+4y﹣1＝0或x＝3
C．x+4y+1＝0 D．x+4y﹣1＝0
【分析】先求出直线AB的斜率，由点A（1，3）和点B（5，2）到直线l的距离相等，且l过点（3，﹣1），得到直线l与直线AB平行，且直线l过点（3，﹣1），或直线l的方程为x＝3，由此能求出直线l的方程．
【解答】解：∵点A（1，3）和点B（5，2），∴kAB＝＝﹣，
∵点A（1，3）和点B（5，2）到直线l的距离相等，且l过点（3，﹣1），
∴直线l与直线AB平行，且直线l过点（3，﹣1），或直线l的方程为x＝3，
∴直线l的方程为：y+1＝﹣（x﹣3），或x＝3，
整理得：x+4y+1＝0或x＝3．
故选：A．
9．（春•洮北区校级期末）已知A（﹣2，1），B（1，2），点C为直线x﹣3y＝0上的动点，则|AC|+|BC|的最小值为（　　）
A．2 B．2 C．2 D．2
【分析】设点A（﹣2，1）关于直线x﹣3y＝0的对称点为D（a，b），列方程组求出D（﹣1，﹣2），从而|AC|+|BC|＝|DC|+|BC|，当B，D，C共线时，|AC|+|BC|的最小值为|DB|．
【解答】解：A（﹣2，1），B（1，2），点C为直线x﹣3y＝0上的动点，
设点A（﹣2，1）关于直线x﹣3y＝0的对称点为D（a，b），
则，解得a＝﹣1，b＝﹣2，∴D（﹣1，﹣2），
∴|AC|+|BC|＝|DC|+|BC|，
当B，D，C共线时，|AC|+|BC|的最小值为：|DB|＝＝2．
故选：C．
10．（春•北碚区校级期末）已知△ABC的三个顶点A（1，2），B（2，1），C（3，3），若△ABC夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线的距离的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【分析】分别过A、B、C三个点，作斜率为1的三条直线，再利用两条平行直线间的距离公式，求得结果．
【解答】解：分别过A、B、C三个点，作斜率为1的三条直线：
l1：y﹣2＝x﹣1，即x﹣y+1＝0．
l2：y﹣1＝x﹣2，即x﹣y﹣1＝0．
l3：y﹣3＝x﹣3，即x﹣y＝0．
显然，△ABC夹在两条斜率为1的平行直线 l1 和l3之间，
且直线 l1 和l3之间的距离为d＝＝，
故选：B．
11．（2019秋•吉安期末）从点A（1，﹣2）射出的光线经直线l：x+y﹣3＝0反射后到达点B（﹣1，1），则光线所经过的路程是（　　）
A． B． C． D．
【分析】求出点A（1，﹣2）关于直线l：x+y﹣3＝0的对称的点坐标为C（5，2）；再求BC即可
【解答】解：由x+y﹣3＝0，得，
所以点A（1，﹣2）关于直线l：x+y﹣3＝0的对称的点坐标为C（5，2），
则光线所经过的路程CB＝＝．
故选：D．
12．（春•田家庵区校级期末）原点（0，0）到直线l：x﹣y+2＝0的距离是　　 ．
【分析】由题意利用点到直线的距离公式，求得结果．
【解答】解：原点（0，0）到直线l：x﹣y+2＝0的距离是 ＝，
故答案为：．
13．（2019•海淀区二模）已知直线l1：x﹣y+1＝0与l2：x+ay+3＝0平行，则a＝　 　，l1与l2之间的距离为　　
【分析】根据直线l1与l2平行求得a的值，再计算两平行直线l1与l2之间的距离．
【解答】解：直线l1：x﹣y+1＝0与l2：x+ay+3＝0平行，
则1•a﹣（﹣1）•1＝0，解得a＝﹣1，
直线l2：x﹣y+3＝0；
则l1与l2之间的距离为d＝＝．
故答案为：﹣1，．
14．（春•宁波期末）设直线l1：ax+3y+12＝0，直线l2：x+（a﹣2）y+4＝0．当a＝　 　时，l1∥l2；当a＝　　 时，l1⊥l2．
【分析】利用直线与直线平行或直线与直线垂直的性质能求出结果．
【解答】解：直线l1：ax+3y+12＝0，直线l2：x+（a﹣2）y+4＝0．
由l1∥l2得：，
解得a＝﹣1，
由l1⊥l2，得a×1+3（a﹣2）＝0，解得a＝．
故答案为：﹣1，．
15．（春•利通区校级期末）已知直线2x+y﹣2＝0与直线4x+my+6＝0平行，则它们之间的距离为　　 ．
【分析】由2m﹣4＝0，解得m．再利用平行线之间的距离公式即可得出．
【解答】解：由2m﹣4＝0，解得m＝2．
直线4x+my+6＝0化为：2x+y+3＝0．
经过验证：m＝2时，两条直线平行．
它们之间的距离d＝＝．
故答案为：．
16．（春•荔湾区校级期中）已知直线1过点P（1，4）且与点A（﹣2，2），B（4，﹣2）等距离，则直线1的方程为　 　．
【分析】直线1过点P且与点A、B等距离，则l有两种情形：①l∥AB，②l过AB中点；然后分别求解即可．
【解答】解：直线1过点P且与点A、B等距离，则l有两种情形：①l∥AB，②l过AB中点；
①当l∥AB时，，又直线l过点P（1，4），则，化简可得，2x+3y﹣14＝0；
②当l过AB中点时，设AB中点为Q，则Q（1，0），PQ方程为：x＝1．
故答案为：2x+3y﹣14＝0或x＝1．
17．（2019秋•拉萨期末）已知两条直线l1：x+（1+a）y+a﹣1＝0，l2：ax+2y+6＝0．
（1）若l1∥l2，求a的值
（2）若ll⊥l2，求a的值
【分析】（1）分类讨论，当a＝﹣1时，直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为，l1与l2既不平行，也不垂直，当a≠﹣1时，直线l1的斜率为，直线l2的斜率为，由已知可得，解得a＝1或a＝﹣2．由于当a＝﹣2时两直线重合，可求a的值．
（2）由已知可得，从而解得a的值．
【解答】
解：（1）当a＝﹣1时，直线l1的斜率不存在，直线l2的斜率为，l1与l2既不平行，也不垂直，
当a≠﹣1时，直线l1的斜率为，直线l2的斜率为，
因为l1∥l2，
所以，解得a＝1或a＝﹣2．
当a＝1时，直线l1：x+2y＝0，l2：x+2y+6＝0，l1与l2平行，
当a＝﹣2时，直线l1与l2的方程都是x﹣y﹣3＝0，此时两直线重合，
故a＝1．
（2）因为l1⊥l2，
所以，解得．
经检验符合题意，
故．
18．（春•乐山期末）已知两条直线l1：mx+4y﹣2＝0和l2：x+my+1＝0．
（1）当l1∥l2时，求m的值；
（2）在（1）的条件下，求l1、l2间的距离．
【分析】（1）根据题意，分析可得m2﹣4＝0，解可得m＝±2，分别验证m＝2和m＝﹣2时，两直线是否平行，即可得答案；
（2）由（1）的结论，结合平行线间距离公式计算可得答案．
【解答】解：（1）根据题意，直线l1：mx+4y﹣2＝0和l2：x+my+1＝0．
若l1∥l2，必有m2﹣4＝0，解可得m＝±2，
当m＝2时，直线l1：x+2y﹣1＝0，直线l2：x+2y+1＝0，两直线平行，符合题意，
当m＝﹣2时，直线l1：x﹣2y+1＝0，直线l2：x﹣2y+1＝0，两直线重合，不符合题意，
故m＝2；
（2）由（1）的结论，直线l1：x+2y﹣1＝0，直线l2：x+2y+1＝0，
直线l1、l2间的距离d＝＝．
19．（2019秋•普宁市期末）已知点A（﹣2，2），直线l1：3x﹣4y+2＝0．
（Ⅰ）求过点A且与直线l1垂直的直线方程；
（Ⅱ）直线l2为过点A且和直线l1平行的直线，求平行直线l1，l2的距离．
【分析】（I）设过点A且与直线l1垂直的直线方程为4x+3y+m＝0．把点A的坐标代入可得m．
（II）设过点A且和直线l1平行的直线l2的方程为：3x﹣4y+n＝0．把点A的坐标代入可得n．即可得出平行直线l1，l2的距离．
【解答】解：（I）设过点A且与直线l1垂直的直线方程为4x+3y+m＝0．
把点A的坐标代入可得：﹣8+6+m＝0，解得m＝2．
∴过点A且与直线l1垂直的直线方程为4x+3y+2＝0．
（II）设过点A且和直线l1平行的直线l2的方程为：3x﹣4y+n＝0．
把点A的坐标代入可得：﹣6﹣8+n＝0，解得n＝14．
∴直线l2的方程为：3x﹣4y+14＝0．
∴平行直线l1，l2的距离d＝＝．
20．（春•黄冈期末）已知直线l1：x+2y﹣4＝0与直线l2：x﹣y﹣1＝0的交点为A，直线l经过点A，点P（1，﹣1）到直线l的距离为2．直线l3与直线l1关于直线l2对称．
（Ⅰ）求直线l的方程；
（Ⅱ）求直线l3的方程．
【分析】（Ⅰ）联立l1与l2的方程，解得A坐标（2，1），分两种情况斜率存在与不存在，分析点P到直线l的距离是否能为2，进而写出直线的方程．
（Ⅱ）取直线l1上的点B（4，0），设点B关于直线l2的对称点为B0（x0，y0），由对称性可得BB0⊥l2，点B与点B0的中点为C，则C（，）∈l2，解得B0（1，3），再由两点式方程可知直线l3的方程．
【解答】解：（Ⅰ）由，解得，
所以A（2，1）∈l，
当直线l的斜率不存在时，其方程为x＝2，此时点P（1，﹣1）到直线l的距离d＝1≠2，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y﹣1＝k（x﹣2），
则点P（1，﹣1）到直线l的距离为d＝＝2，
解得k＝0或k＝﹣，
故直线l的方程为y＝1，或4x+3y﹣11＝0．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，点A（2，1），
由4+2×0﹣4＝0，得点B（4，0）∈l1，
设点B关于直线l2的对称点为B0（x0，y0），则B0（x0，y0）∈l1且BB0⊥l2，
设点B与点B0的中点为C，则C（，）∈l2，
故，解得，所以B0（1，3），
由A∈l3，B∈l3，
由两点式方程可知直线l3的方程为：，化简得2x+y﹣5＝0．

[B组]—强基必备
1．（2019春•淮安期末）在平面直角坐标系xOy中，已知点P（2﹣t，2t﹣2），点Q（﹣2，1），直线l：ax+by＝0．若对任意的t∈R，点P到直线l的距离为定值，则点Q关于直线l对称点Q′的坐标为（　　）
A．（0，2） B．（2，3） C．（，） D．（，3）
【分析】由点到直线的距离公式，以及P到直线的距离为定值，可得a＝2b，设出Q'的坐标，运用两直线垂直的条件、中点坐标公式，解方程可得所求坐标．
【解答】解：点P（2﹣t，2t﹣2），直线l：ax+by＝0．
P到l的距离为d＝＝，
若对任意的t∈R，点P到直线l的距离为定值，
即有a＝2b，则直线l的方程为2x+y＝0，
设点Q（﹣2，1）关于直线l对称点Q′的坐标为（m，n），
可得＝，•2（m﹣2）+（n+1）＝0，
解得m＝，n＝，即Q'（，），
故选：C．
2．（•宝安区校级模拟）已知0＜x＜2，0＜y＜2，且M＝+++则M的最小值为（　　）
A． B． C．2 D．
【分析】本题要根据M表达式的特点联系两点间的距离公式，然后运用数形结合法可得到M取最小的点（x，y）的情况，即可计算出M的最小值．
【解答】解：根据题意，可知
表示点（x，y）与点A（，0）的距离；
表示点（x，y）与点B（0，）的距离；
表示点（x，y）与点C（，2）的距离；
表示点（x，y）与点D（2，）的距离．
M表示点（x，y）到A、B、C、D四个点的距离的最小值．
则可画图如下：

∵+的最小值是点（x，y）在线段AC上，
同理，+的最小值是点（x，y）在线段BD上，
∴点（x，y）既在线段AC上，又在线段BD上，
∴点（x，y）即为图中点P．
∴M的最小值为|AC|+|BD|＝4．
故选：D．
3．（2019秋•皇姑区校级期中）已知点P，Q分别在直线l1：x+y+2＝0与直线l2：x+y﹣1＝0上，且PQ⊥l1，点A（﹣3，﹣3），，则|AP|+|PQ|+|QB|的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】设P点坐标，利用P点横坐标为自变量建立目标函数，然后求最值．
【解答】解：由平行线距离公式得：|PQ|＝，

设P（a，﹣a﹣2），则Q（a+，﹣a﹣），
所以|AP|+|PQ|+|QB|＝＝，
设点M（a，a），C（1，﹣3），D（﹣1，0），如下图：

则有：＝|MC|+|MD|≥|CD|＝（即当D、M、C三点共线时等号成立），
综上，|AP|+|PQ|+|QB|≥．
故选：B．