(新高考)高考数学一轮复习第51讲《抛物线》达标检测(解析版)

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《抛物线》达标检测

[A组]—应知应会
1．（春•平谷区期末）已知抛物线y2＝8x，那么其焦点到准线的距离是（　　）
A．2 B．4 C．6 D．8
【分析】直接利用抛物线的标准方程，转化求解即可．
【解答】解：抛物线y2＝8x，那么其焦点到准线的距离是：4．
故选：B．
2．（•新课标Ⅰ）已知A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p＝（　　）
A．2 B．3 C．6 D．9
【分析】直接利用抛物线的性质解题即可．
【解答】解：A为抛物线C：y2＝2px（p＞0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，
因为抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，
故有：9+＝12⇒p＝6；
故选：C．
3．（•北京）设抛物线的顶点为O，焦点为F，准线为l．P是抛物线上异于O的一点，过P作PQ⊥l于Q，则线段FQ的垂直平分线（　　）
A．经过点O B．经过点P
C．平行于直线OP D．垂直于直线OP
【分析】不妨设抛物线的方程为y2＝4x，不妨设P（1，2），可得可得四边形QAFP为正方形，根据正方形的对角线互相垂直可得答案．
【解答】解：不妨设抛物线的方程为y2＝4x，则F（1，0），准线为l为x＝﹣1，
不妨设P（1，2），
∴Q（﹣1，2），
设准线为l与x轴交点为A，则A（﹣1，0），
可得四边形QAFP为正方形，根据正方形的对角线互相垂直，
故可得线段FQ的垂直平分线，经过点P，
故选：B．
4．（•汉阳区校级模拟）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，点A为抛物线C上第一象限上的点，B为l上一点，满足，则直线AB的斜率为（　　）
A． B． C．3 D．
【分析】作出图形，根据抛物线的定义及已知条件可得直线AB的斜率，进而得解．
【解答】解：作出图形，过点A作AD⊥直线l，垂足为D，由抛物线的定义可知，|AD|＝|AF|，设|AF|＝m，
∵，
∴|FB|＝2|AF|＝2m，
∴，
设直线AB的倾斜角为θ，则，
∴直线AB的斜率为．
故选：D．

5．（•沙坪坝区校级模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点（p，0）且垂直于x轴的直线与抛物线C在第一象限内的交点为A，若|AF|＝1，则抛物线C的方程为（　　）
A． B．y2＝2x C．y2＝3x D．y2＝4x
【分析】求出抛物线的焦点坐标，求出A的坐标，利用|AF|＝1，求解p，然后推出抛物线方程．
【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（，0），过点（p，0）且垂直于x轴的直线与抛物线C在第一象限内的交点为A（p，p），
因为|AF|＝1，所以，
解得p＝．
抛物线C的方程为．
故选：A．
6．（•泸州四模）焦点为F的抛物线C：y2＝4x的对称轴与准线交于点E，点P在抛物线C上，在△EFP中，sin∠EFP＝sin∠FEP，则|EP|的值是（　　）
A． B．4 C．2 D．1
【分析】设PE的倾斜角为α，利用已知条件求出α的大小，判断PHEF的形状，然后求解即可．
【解答】解：过P（x轴上方）作准线的垂线，垂足为H，
则由抛物线的定义可得|PF|＝|PH|，由sin∠EFP＝•sin∠FEP，
则△PFE中由正弦定理可知：则|PE|＝|PF|，
∴|PE|＝|PH|，
设PE的倾斜角为α，则cosα＝＝＝，
α＝，四边形PHEF是正方形，
所以：|PE|＝2．
故选：A．

7．（•梅河口市校级模拟）已知第四象限内抛物线y2＝16x上的一点M到y轴的距离是该点到抛物线焦点距离的，则点M的坐标为（　　）
A．（1，﹣8） B．（1，﹣4） C． D．
【分析】由抛物线的性质，可知焦点的距离等于到准线的距离，求出P的横坐标，然后求出点M的坐标．
【解答】解：由抛物线的方程可得准线方程为x＝﹣4，设P的横坐标为x0，
第四象限内抛物线y2＝16x上的一点M到y轴的距离是该点到抛物线焦点距离的，
则，所以x0＝1，
所以y0＝﹣4，所以M（1，﹣4）．
故选：B．
8．（•雨花区校级模拟）抛物线y＝的焦点到圆C：x2+y2﹣6x+8＝0上点的距离的最大值为（　　）
A．6 B．2 C． D．
【分析】求出拋物线的焦点为F（0，4），圆的圆心坐标与半径，然后求出F到圆C上点的距离的最大值．
【解答】解：拋物线的焦点为F（0，4），
圆x2+y2﹣6x+8＝0的圆心为C（3，0），半径r＝1，
F到圆C上点的距离的最大值为．
故选：A．
9．（•鼓楼区校级模拟）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线C交于A，B两点，且，直线AB与抛物线C的准线l交于点D，AA1⊥l于A1，若△AA1D的面积等于，则p＝（　　）
A． B．2 C． D．4
【分析】分别求得抛物线的焦点和准线方程，设出|BF|＝t，可得|AF|＝3t，|AB|＝4t，过B作BN⊥l于N，运用抛物线的定义和三角形相似的性质，以及三角形的面积公式，计算可得所求值．
【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（，0），准线方程为x＝﹣，
设|BF|＝t，由，可得|AF|＝3t，|AB|＝4t，
过B作BN⊥l于N，可得|BN|＝|BF|＝t，
又|AA1|＝|AF|＝3t，
在△AA1D中，＝，
即为＝，可得|BD|＝2t，
在△DMF中，＝，即为＝，
解得p＝t，
又△AA1D的面积等于，可得•3t•＝8，解得t＝，
则p＝×＝2．
故选：B．

10．（•黄州区校级二模）若点A为抛物线y2＝4x上一点，F是抛物线的焦点，|AF|＝5，点P为直线x＝﹣1上的动点，则|PA|+|PF|的最小值为（　　）
A．8 B． C． D．
【分析】求出点A为（4，4），画出图形，利用对称性转化求解即可．
【解答】解：由题意可知，p＝2，F（1，0），由抛物线的定义可知，，
∴xA＝4，代入抛物线方程，得，不妨取点A为（4，4），

设点F关于x＝﹣1的对称点为E，则E（﹣3，0），
∴|PA|+|PF|＝|PA|+|PE|≥|AE|＝，
故选：D．
11．（多选）（春•怀化期末）已知抛物线x2＝y的焦点为F，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线上两点，则下列结论正确的是（　　）
A．点F的坐标为（，0）
B．若直线MN过点F，则x1x2＝﹣
C．若＝，则|MN|的最小值为
D．若|MF|+|NF|＝，则线段MN的中点P到x轴的距离为
【分析】求出抛物线的焦点坐标，判断A，利用抛物线的性质，通过x1x2＝﹣，判断B；根据抛物线的通径，判断C；通过数形结合转化求解判断D即可．
【解答】解：抛物线x2＝y的焦点为F（0，），所以A不正确；
根据抛物线的性质可得：MN过F时，则x1x2＝﹣，所以B正确；
若＝，则|MN|的最小值为抛物线的通径长，为2p＝，所以C正确；
抛物线x2＝y的焦点为F（0，），准线方程为y＝，
过点M、N、P分别作准线的垂线MM′，NN′，PP′，
则|MM′|＝|MF|，|NN′|＝|NF|，|MM′|+|NN′|＝|MF|+|NF|＝，
所以|PP′|＝＝，

所以线段MN的中的P到x轴的距离为|PP′|﹣＝＝，所以D正确；
故选：BCD．
12．（多选）（•菏泽模拟）已知直线l过抛物线C：y2＝﹣2px（p＞0）的焦点，且与该抛物线交于M，N两点，若线段MN的长是16，MN的中点到y轴的距离是6，O是坐标原点，则（　　）
A．抛物线C的方程是y2＝﹣8x
B．抛物线的准线方程是y＝2
C．直线l的方程是x﹣y+2＝0
D．△MON的面积是
【分析】设M，N的坐标，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，可得|MN|的表达式，再由MN的中点到y轴的距离是6可得M，N的横坐标之和，进而可得p的值，求出抛物线的方程，及准线方程，可判断A正确B不正确，进而求出直线l的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出三角形MON的面积，可判断所给命题的真假．
【解答】解：设M（x1，y1），N（x2，y2），由抛物线的定义可得|MN|＝﹣（x1+x2）+p＝16，
又因为MN的中点到y轴的距离是6，所以|x1+x2|＝12，所以x1+x2＝﹣12，
所以p＝4，所以抛物线的方程为：y2＝﹣8x，所以A正确，
准线方程为x＝2，所以B不正确；
设直线l的方程x＝my﹣2，
联立直线与抛物线的方程：，整理可得y2+8my﹣16＝0，y1+y2＝﹣8m，所以x1+x2＝m（y1+y2）﹣4＝﹣8m2﹣4＝﹣12，
解得m＝±1，所以l的方程为：x＝±y﹣2，所以C不正确；
S△MON＝|OF|•|y1﹣y2|＝＝＝8，所以D正确；
故选：AD．
13．（•海南）斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝　 　．
【分析】由题意求出直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，利用抛物线的性质转化求解即可．
【解答】解：由题意可得抛物线焦点F（1，0），直线l的方程为y＝（x﹣1），
代入y2＝4x并化简得3x2﹣10x+3＝0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝；
x1x2＝1，
∴由抛物线的定义可得|AB|＝x1+x2+p＝+2＝．
故答案为：．
14．（•衡水模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点M（1，1）的直线与C交于A，B两点，若M恰好为AB的中点，则|AF|+|BF|＝　 　；直线AB的斜率为　 　．
【分析】过点A，B，M分别作准线x＝﹣1的垂线，垂足分别为A1，B1，M1，通过梯形中位线定理，结合抛物线的定义，得到关系式，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用点差法求解直线AB的斜率即可．
【解答】解：过点A，B，M分别作准线x＝﹣1的垂线，垂足分别为A1，B1，M1，则|MM1|＝2；
根据梯形中位线定理，得|AA1|+|BB1|＝4．
根据抛物线的定义，得|AF|+|BF|＝|AA1|+|BB1|＝4．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝2，
由，，得（y1﹣y2）（y1+y2）＝4（x1﹣x2），
则直线AB的斜率为．
故答案为：4；2．

15．（•河南模拟）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，若斜率为2的直线l过点F，且与抛物线C交于A，B两点，则线段AB的中点到准线的距离为　 　．
【分析】求出抛物线的准线方程，然后求解准线方程，求出线段AB的中点的横坐标，然后求解即可．
【解答】解：抛物线C：y2＝8x，可得准线方程为：x＝﹣2，过点F（2，0）且斜率2的直线l：y＝2（x﹣2），
由题意可得：，可得x2﹣6x+4＝0，
直线l与抛物线C相交于A、B两点，则线段AB的中点的横坐标为：3，
则线段AB的中点到抛物线C的准线的距离为：3+2＝5．
故答案为：5．
16．（•东湖区校级模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P（3，m）是抛物线上一点，过点P向抛物线C的准线引垂线，垂足为D，若△PDF为等边三角形，则p＝　 　．
【分析】求出抛物线的焦点坐标，推出P、Q坐标，再由抛物线的定义，结合等边三角形的定义，得到的方程，可得p的值．
【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0），焦点为F（，0），准线为l：x＝﹣，
P（3，m）是抛物线上一点，则m2＝6p，
由题意可得D（﹣，m），
由于△PFD为等边三角形，则有|PF|＝|PD|＝|FD|，
即有：3+＝2p，可得p＝2．
故答案为：2．
17．（•河南模拟）已知抛物线C：x2＝﹣2py（p＞0）的焦点F与的一个焦点重合，过焦点F的直线与C交于A，B两不同点，抛物线C在A，B两点处的切线相交于点M，且M的横坐标为2，则弦长|AB|＝　 　．
【分析】由椭圆方程求得F的坐标，并求得p，设直线AB的方程为y＝kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），利用导数写出抛物线在A，B处的切线方程，结合已知求得A，B的横坐标的和，联立直线方程与抛物线方程，利用根与系数的关系求得k，进一步求出A，B的纵坐标的和，再由抛物线的弦长公式求|AB|．
【解答】解：由题意可得，F（0，﹣2），则p＝4，抛物线方程为x2＝﹣8y．
设直线AB的方程为y＝kx﹣2，A（x1，y1），B（x2，y2），
其中，，由，得y′＝﹣．
∴在点A处的切线方程为，化简得y＝，①
同理可得在点B处的切线为，②
联立①②得，由M的横坐标为2，得x1+x2＝4．
将AB的方程代入抛物线方程，可得x2+8kx﹣16＝0．
∴x1+x2＝﹣8k＝4，得k＝﹣．
∴y1+y2＝k（x1+x2）﹣4＝．
得|AB|＝p﹣（y1+y2）＝4﹣（﹣6）＝10．
故答案为：10．
18．（•合肥模拟）过抛物线y2＝4x焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，与圆（x﹣1）2+y2＝1交于C，D两点，（从下至上依次为A，C，D，B）．若|BD|＝2|CA|+1，则直线l的斜率k为　　 ．
【分析】求得抛物线的焦点和准线，设直线l的方程为y＝k（x﹣1），k＞0，与抛物线方程联立，运用韦达定理，结合抛物线的定义和已知条件，解方程可得直线的斜率k．
【解答】解：抛物线y2＝4x焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，
设直线l的方程为y＝k（x﹣1），k＞0，
设A，B的横坐标分别是x1，x2，
由可得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
即有x1+x2＝2+，x1x2＝1（x1＜x2）①，
圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心为F，半径为1，
可得|BD|＝|BF|﹣1＝x2+1﹣1＝x2，|AC|＝|AF|﹣1+1＝x1+1﹣1＝x1，
由题意可得x2＝2x1+1②，
由①②可得x1＝，x2＝2，k＝2，
故答案为：2．

19．（2019•全国二模）以抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F为圆心，p为半径作圆交y轴于A，B两点，连接FA交抛物线于点D（D在线段FA上），延长FA交抛物线的准线于点C，若|AD|＝m，且m∈[1，2]，则|FD|•|CD|的最大值为　 　．
【分析】由题意得到以F为圆心，P为半径的圆的方程，再令A为y轴正半轴上的点，从而求出A点坐标，得到直线AF的方程，分别与抛物线的准线方程、抛物线方程联立求出C、D两点坐标，即可用p表示出|FD|•|CD|，再由|AD|＝m，且m∈[1，2]，求出p的范围，即可得出结果．
【解答】解：由题意可得抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x＝﹣，
所以以F为圆心，p为半径的圆的方程为+y2＝p2，
因为A，B两点为圆+y2＝p2与y轴的两个交点，不妨令A为y轴正半轴上的点，
由x＝0得，A（0，）；
所以直线AF的斜率为kAF＝＝﹣，因此直线AF的方程为y＝﹣x+，
由得C（﹣，p）；
由得D（，），
所以|FD|＝+＝，|CD|＝＝p，
|AD|＝＝p，
又|AD|＝m，且m∈[1，2]，所以p∈[1，2]，即p∈[3，6]，
因此|FD|•|CD|＝p2≤32，当且仅当p＝6时，取等号．
故答案为：32．
20．（2019秋•滑县期末）已知抛物线y2＝x与直线y＝k（x﹣1）相交于A、B两点，O为坐标原点．
（1）求证：OA⊥OB；
（2）当S△AOB＝时，求k的值．
【分析】（1）将直线AB的方程代入抛物线的方程，运用韦达定理和向量垂直的条件：数量积为0，即可得证；
（2）求得弦长AB，以及点O到直线AB的距离，运用三角形的面积公式，解方程即可得到所求k的值．
【解答】解：（1）证明：将直线y＝k（x﹣1）代入抛物线的方程y2＝x，
消去y可得，k2x2﹣（2k2+1）x+k2＝0，
判别式为（2k2+1）2﹣4k4＝4k2+1＞0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
可得x1+x2＝2+，x1x2＝1，
y1y2＝k2（x1﹣1）（x2﹣1）＝k2（x1x2+1﹣x1﹣x2）
＝k2（1+1﹣2﹣）＝﹣1，
即有x1x2+y1y2＝0，则•＝0，
即有OA⊥OB；
（2）由（1）可得|AB|＝•
＝•，
点O到直线AB：y＝k（x﹣1）的距离为d＝，
则S△AOB＝d•|AB|＝•••
＝＝，
解得k＝±．
21．（春•武昌区校级期中）已知点A（0，1），B（1，2），C是抛物线x2＝4y上的动点．
（1）求△ABC周长的最小值；
（2）若C位于直线AB右下方，求△ABC面积的最大值．
【分析】（1）由抛物线的方程可得A为抛物线的焦点，由抛物线的性质可得C到A的距离等于到准线的距离，过C作准线的垂线，要使三角形ABC的周长最小，则过B作准线的垂线，则最小周长为AB与B到准线之和；
（2）要使三角形ABC的面积最大，则C在平行与直线AB且与抛物线相切的直线上，设切线方程，与抛物线联立由判别式为0，求出过C的切线方程，两条平行线的距离为C到直线AB 的距离，再由面积公式可得面积的最大值．
【解答】解：（1）由抛物线的方程x2＝4y可得焦点F坐标（0，1），与A重合，准线方程为：y＝﹣1
所以△ABC的周长为：AB+BC+AC，过C作CM垂直于准线于D，则AC＝CD，
所以周长为：AB+BC+CD≥AB+BD，当B，C，D在一条直线上时，周长最小，过B作准线的垂线交抛物线于M，交准线于D，这时M与C重合，
而AB＝＝，BD＝2+1＝3
所以周长的最小值为AB+BD＝3+，
（2）直线AB所在的直线方程为：y＝x+1，即y＝x+1，
设过C与直线AB平行，且与抛物线相切时C到直线AB 的距离最大，
设过C的切线方程为：y＝x+b，由题意b＜1，
联立直线与抛物线的方程：，整理可得：x2﹣4x﹣4b＝0，
则△＝16+16b＝0，解得b＝﹣1，
所以过C的切线方程为：y＝x﹣1，
所以两条平行线间的距离d＝＝，即C到直线AB的距离为，
所以S△ABC＝|AB|•d＝＝1，
所以三角形ABC的最大面积为1．

22．（•让胡路区校级三模）已知抛物线C：x2＝4y，过点D（0，2）的直线l交C于A，B两点，过点A，B分别作C的切线，两切线相交于点P．
（1）记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，证明k1，k2为定值；
（2）记△PAB的面积为S△PAB，求S△PAB的最小值．
【分析】（1）设A，B的坐标分别为，．利用抛物线方程求解函数的导数，设出直线方程与抛物线联立，利用韦达定理转化证明即可．
（2）设P点坐标为（x，y），求出切线PA的方程，切线PB的方程，求出|AB|，点P到直线AB的距表示三角形的面积，求解S△PAB的最小值．
【解答】（1）证明：因为A，B两点在曲线x2＝4y上，故设A，B的坐标分别为，．
因为，所以，则，．
设直线l的斜率为k，则其方程为y＝kx+2，由得x2﹣4kx﹣8＝0，△＝16k2+32＞0，x1+x2＝4k，x1x2＝﹣8，
所以，所以k1k2为定值．
（2）解：设P点坐标为（x，y），
由（1）知切线PA的方程为①
切线PB的方程为②，
①﹣②得；
①×x2﹣﹣②×x1得．
由（1）知x＝2k，y＝﹣2，所以P点坐标为（2k，﹣2），
所以＝．
因为点P到直线AB的距离．
所以．
因为k2+2≥2，所以当k＝0时，S△PAB的最小值为．
23．（•重庆模拟）已知A（1，2）为抛物线y2＝2px（p＞0）上的一点，E，F为抛物线上异于点A的两点，且直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数．
（1）求直线EF的斜率；
（2）设直线l过点M（m，0）并交抛物线于P，Q两点，且＝（λ＞0），直线x＝﹣m与x轴交于点N，试探究与﹣的夹角是否为定值，若是则求出定值，若不是，说明理由．
【分析】（1）由A在抛物线上，可得p的值，求出抛物线的方程，设E，F的坐标，可得直线AE，AF的斜率，由题意可得E，F坐标的关系，再由点差法可得EF的斜率；
（2）由题意设直线l的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出向量，，再由题意可得λ的值，可求得，所以与的夹角为．
【解答】解：（1）设E（x1，y1），F（x2，y2），
因为点A（1，2）为抛物线y2＝2px（p＞0）上的一点，所以y2＝4x，
同时，有，，
，，
因为直线AE的斜率与直线AF的斜率互为相反数，
即即y1+y2＝﹣4，
故；
（2）设直线l的方程为l：x＝ty+m，P（x3，y3），Q（x4，y4），N（﹣m，0），
代入y2＝4x得y2﹣4ty﹣4m＝0，
所以y3+y4＝4t，y3y4＝﹣4m，
因为，且，
所以，
由题可知，由题可知，＝（x3+m，y3）﹣λ（x4+m，y4）＝（x3+m﹣λ（x4+m），y3﹣λy4）
＝（+m﹣λ（+m），y3﹣λy4），
又因为+m﹣λ（+m）＝+m+（+m）＝+m++＝+m﹣m＝＝0，
所以，
又所以，
所以即与的夹角为．

[B组]—强基必备
1．（•长沙模拟）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，A是抛物线C上异于坐标原点的任意一点，过点A的直线l交y轴的正半轴于点B，且A，B同在一个以F为圆心的圆上，另有直线l′∥l，且l′与抛物线C相切于点D，则直线AD经过的定点的坐标是（　　）
A．（0，1） B．（0，2） C．（1，0） D．（2，0）
【分析】设A（m，m2），B（0，n），根据A，B同在一个以F为圆心的圆上，可得n＝m2+2，再根据直线的斜率公式可得直线与直线和平行，以及导数的几何意义可得a＝﹣，求出直线AD的方程，即可求出直线AD经过的定点的坐标．
【解答】解：设A（m，m2），B（0，n），
∵抛物线C：x2＝4y的焦点为F（0，1）
又A，B同在一个以F为圆心的圆上，
∴|BF|＝|AF|
∴n﹣1＝＝m2+1∴n＝m2+2
∴直线l的斜率k＝＝﹣
∵直线l′∥l，∴直线l′的斜率为k，
设点D（a，a2），
∵y＝x2，∴y′＝x，∴k＝a，∴a＝﹣，∴a＝﹣
∴直线AD的斜率为＝＝＝，
∴直线AD的方程为y﹣m2＝（x﹣m），
整理可得y＝x+1，
故直线AD经过的定点的坐标是（0，1），
故选：A．

2．（2019秋•金安区校级期末）已知椭圆的一个焦点恰为抛物线x2＝2py（p＞0）的焦点F，设抛物线的准线l与y轴的交点为M，过F的直线与抛物线交于A，B两点，若以线段BM为直径的圆过点A，则|AB|＝　　 ．
【分析】求出椭圆的一个焦点坐标，代入抛物线求出抛物线方程，设出A（x1，y1），B（x2，y2）和AB的方程，结合圆的性质求出A点坐标，结合抛物线的弦长公式进行转化求解即可．
【解答】解：如图所示，
由椭圆的方程可得a＝2，b＝，
∴c＝═1．可得上焦点F（0，1）．
又恰为抛物线x2＝2py的焦点F，
∴＝1，解得p＝2．
∴抛物线方程为：x2＝4y．抛物线的准线方程为y＝﹣1，
可得M（0，﹣1）．
由题意可知：直线AB的斜率存在且不为0．
设直线AB的方程为：y＝kx+1，（k＞0），A（x1，y1），B（x2，y2）．
将y＝kx+1代入x2＝4y得，化为x2﹣4kx﹣4＝0．
△＝16k2+16k＞0．得k＞0
则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4，
若以线段BM为直径的圆过点A，
∵AB⊥AM，∴k•＝﹣1，即k•＝﹣1
得x1＝，y1＝kx1+1＝．即A（，．），
A在抛物线x2＝4y．∴（）2＝4•．，
化为k4+k2﹣1＝0，解得k2＝，
∴|AB|＝y1+y2+2＝k（x1+x1）+4＝4+4k2＝2+2．
故答案为：2+2．

3．（2019秋•杨浦区校级期末）已知动圆P过点F2（2，0），并且与圆相外切，设动圆的圆心P的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过动点P作直线与曲线3x2﹣y2＝0交于A、B两点，当P为AB的中点时，求|OA|•|OB|的值；
（3）过点F2的直线l1与曲线C交于E、F两点，设直线，点D（﹣1，0），直线ED交l于点M，求证：直线FM经过定点，并求出该定点的坐标．
【分析】（1）两圆外切转化为，动点P和圆心距离|PF1|＝r+2，和圆上点|PF2|＝r，即有|PF1|﹣|PF2|＝2+r﹣r＝2＜|F1F2|，满足双曲线定义，即可得曲线C方程为双曲线右支；
（2）设P点坐标，代入双曲线方程，化简曲线3x2﹣y2＝0，设出A，B两点坐标，根据中点坐标公式得到m，n等式，化简即可得值；
（3）分两种情况讨论，当k不存在时，分别求出各点坐标，从而得到FM方程；当k存在时，联立方程，利用韦达定理得到关系式，证明关系式kFN＝kNM，可得直线过定点（1，0）．
【解答】解：（1）设P（x，y），动圆的半径为r，
圆的圆心F2（﹣2，0），半径为2，
由题意可得|PF1|＝r+2，|PF2|＝r，即有|PF1|﹣|PF2|＝2+r﹣r＝2＜|F1F2|，
可得P的轨迹为以F1，F2为焦点的双曲线的右支，可得a＝1，c＝2，b＝，
即曲线C的方程为（x≥1）；
（2）证明：设P（x0，y0），即有x02﹣＝1，
曲线3x2﹣y2＝0即为y＝x和y＝﹣x，
设A（m，m），B（n，﹣n），
由P为AB的中点，可得m+n＝2x0，m﹣n＝2y0，
解得m＝x0+y0，n＝x0﹣y0，
则|OA|•|OB|＝2|m|•2|n|＝4|mn|＝4|（x0+y0）（x0﹣y0）|
＝4|x02﹣y02|＝4为定值．
|OA|•|OB|＝4；
（3）①当斜率不存在时，l1：x＝2 可知E（2，3），F（2，﹣3），
∵D（﹣1，0），所以直线ED：，
M（），所以直线FM： 即 y＝﹣3（x﹣1）
所以直线恒过（1，0）；
②当斜率存在时，l1：y＝k（x﹣2），
联立双曲线方程，消去y，可得 （3﹣k2）x2+4k2x﹣4k3﹣3＝0，
设E（x1，y1），F（x2，y2）
根据韦达定理可得 ，
则直线ED的方程为，当x＝时，y＝，M（）
设点N（1，0），若FM过定点N，则两直线斜率相等．
即kFN＝kMN，
，
，
所以FM恒过定点N（1，0），
∴综上所述，直线FM恒过定点（1，0）．