(新高考)高考数学一轮复习第59讲《离散型随机变量及其分布列》达标检测(解析版)

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《离散型随机变量及其分布列》达标检测

[A组]—应知应会
1．（2019春•金凤区校级期末）下列表格可以作为ξ的分布列的是（　　）
A．
ξ
0
1
3
P
a
1﹣a

B．
ξ
1
2
3
P

﹣
1
C．
ξ
4
5
P
0
1
D．
ξ
﹣1
1
2
P

2a
a2+2
【分析】根据分布列的性质0≤P≤1以及各概率之和等于1，能求出正确结果．
【解答】解：根据分布列的性质0≤P≤1以及各概率之和等于1，
在A中，各概率之和为＞1，故A错误；
在B中，﹣，故B错误；
在C中，满足分布列的性质0≤P≤1以及各概率之和等于1，故C正确；
在D中，＝（a+1）2+＞1，故D错误．
故选：C．
2．（春•越秀区期末）若随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
0.2
a
3a
则a的值为（　　）
A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4
【分析】根据概率之和等于1计算．
【解答】解：∵0.2+a+0.3a＝1，
∴a＝0.2．
故选：B．
3．（春•宁德期末）若随机变量η的分布列如表：
η
﹣2
﹣1
0
1
2
3
P
0.1
0.2
0.2
0.3
0.1
0.1
则P（η＜1）＝（　　）
A．0.8 B．0.5 C．0.3 D．0.2
【分析】P（η＜1）＝P（η＝0）+P（η＝﹣1）+P（η＝﹣2），由随机变量η的分布列能求出结果．
【解答】解：由随机变量η的分布列知：
P（η＜1）＝P（η＝0）+P（η＝﹣1）+P（η＝﹣2）＝0.2+0.2+0.1＝0.5．
故选：B．
4．（春•桂林期末）已知随机变量X的分布列是
X
1
2
3
P

a
b
则a+b＝（　　）
A． B． C．1 D．
【分析】由随机变量X的分布列的性质直接求解．
【解答】解：由随机变量X的分布列的性质得：
＝1，
解得a+b＝．
故选：A．
5．（春•顺义区期末）已知随机变量X的分布列如表（其中a为常数）
X
0
1
2
3
4
5
P
0.1
0.1
a
0.3
0.2
0.1
则P（1≤X≤3）等于（　　）
A．0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7
【分析】根据概率之和为1计算a，再计算P（1≤X≤3）．
【解答】解：由概率之和等于1可知a＝0.2，
∴P（1≤X≤3）＝0.1+0.2+0.3＝0.6．
故选：C．
6．（春•渭滨区期末）设随机变量ξ的分布列为，则等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】随机变量ξ的分布列的性质求出a＝0.1，由此根据＝P（ξ＝）+P（ξ＝），能求出结果．
【解答】解：∵随机变量ξ的分布列为，
∴a+2a+3a+4a＝1，解得a＝0.1，
∴＝P（ξ＝）+P（ξ＝）＝2×0.1+3×0.1＝．
故选：D．
7．（春•郑州期末）随机变量X的分布列如下：
X
﹣1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，则P（|X|＝1）＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】由随机变量X的分布列的性质得a+b+c＝1，且a，b，c∈[0，1]．由a，b，c成等差数列，得2b＝a+c，从而能求出P（|x|＝1）＝P（X＝﹣1）+P（X＝1）的值．
【解答】解：∵随机变量X的分布列如下：
X
﹣1
0
1
P
a
b
c
∴a+b+c＝1，且a，b，c∈[0，1]．①
∵a，b，c成等差数列，
∴2b＝a+c，②
联立①②，得b＝，a+c＝，
∴P（|x|＝1）＝P（X＝﹣1）+P（X＝1）＝a+c＝．
故选：D．
8．（2019春•白山期末）随机变量X的分布列如表，其中a，b，c成等差数列，且，
X
2
4
6
P
a
b
c
则P（X＝2）＝（　　）
A． B． C． D．
【分析】由a，b，c成等差数列，且，利用随机变量X的分布列和性质列出方程组，能求出a，b，c，由此能求出P（X＝2）的值．
【解答】解：∵a，b，c成等差数列，且，
∴由随机变量X的分布列得：
，解得a＝，b＝，c＝，
∴P（X＝2）＝a＝．
故选：C．
9．（2019春•邹城市期中）已知随机变量X的概率分布为P（X＝n）＝（n＝0，1，2），其中a是常数，则P（0≤X＜2）的值等于（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据条件，由概率分布的性质概率之和为1，分析即可求出a的值，再由P（0≤X＜2）＝p（X＝0）+P（X＝1），即可求出结果．
【解答】解：根据题意，随机变量X的概率分布为P（X＝n）＝（n＝0，1，2），
则有P（X＝0）+P（X＝1）+P（X＝2）＝++＝1，
解可得：a＝，
则P（0≤X＜2）＝p（X＝0）+P（X＝1）＝+＝，
故选：D．
10．（2019•曲靖二模）已知随机变量ξ的分布列为：
ξ
﹣2
﹣1
0
1
2
3
P






若，则实数x的取值范围是（　　）
A．4＜x≤9 B．4≤x＜9 C．x＜4或x≥9 D．x≤4或x＞9
【分析】由随机变量ξ的分布列，知ξ2的可能取值为0，1，4，9，
分别求出相应的概率，由此利用P（ξ2＜x）＝，求出实数x的取值范围．
【解答】解：由随机变量ξ的分布列，知：
ξ2的可能取值为0，1，4，9，
且P（ξ2＝0）＝，
P（ξ2＝1）＝+＝，
P（ξ2＝4）＝+＝，
P（ξ2＝9）＝，
∵P（ξ2＜x）＝，
∴实数x的取值范围是4＜x≤9．
故选：A．
11．（春•鼓楼区校级期末）某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于的是（　　）
A．至少有1个深度贫困村 B．有1个或2个深度贫困村
C．有2个或3个深度贫困村 D．恰有2个深度贫困村
【分析】用X表示这3个村庄中深度贫困村数，则X服从超几何分布，计算对应的概率值即可得出结论．
【解答】解：用X表示这3个村庄中深度贫困村数，则X服从超几何分布，
所以，
计算，
，
，
，
所以，
即有1个或2个深度贫困村的概率为．
故选：B．
12．（春•吉林期末）已知离散型随机变量ξ的分布列如表所示，则表中p值等于　 　．
ξ
0
1
2
P
0.4
p
0.3
【分析】由离散型随机变量ξ的分布列的性质能求出p．
【解答】解：由离散型随机变量ξ的分布列得：
0.4+p+0.3＝1，
解得p＝0.3．
故答案为：0.3．
13．（春•淮安期末）已知随机变量X的概率分布为：
X
0
1
2
3
4
5
6
P
0.16
0.22
0.24
？
0.10
0.06
0.01
则P（X≥3）＝　 　．
【分析】由随机变量X的概率分布求出P（X＝3），再由P（X≥3）＝P（X＝3）+P（X＝4）+P（X＝5）+P（X＝6），能求出结果．
【解答】解：由随机变量X的概率分布知：
P（X＝3）＝1﹣0.16﹣0.22﹣0.24﹣0.10﹣0.06﹣0.01＝0.21，
P（X≥3）＝P（X＝3）+P（X＝4）+P（X＝5）+P（X＝6）
＝0.21+0.10+0.06+0.01＝0.38．
故答案为：0.38．
14．（2019春•渭滨区期末）设随机变量X的概率分布列如表，则P（|x﹣2|＝1）＝　　 ．
x
1
2
3
4
P

m


【分析】由|x﹣2|＝1，解得x．即可得出P（|x﹣2|＝1）＝P（X＝1或3）．
【解答】解：由|x﹣2|＝1，解得x＝1，3．
∴P（|x﹣2|＝1）＝P（X＝1或3）＝+＝．
故答案为：．
15．（春•顺德区期末）已知随机变量X的分布列如表，
X
1
2
3
p



其中a是常数，则的值为　　 ．
【分析】由随机变量X的分布列的性质求出a＝，再由＝P（X＝1），能求出结果．
【解答】解：由随机变量X的分布列的性质得：
＝1，
解得a＝，
∴＝P（X＝1）＝＝．
故答案为：．
16．（春•丰台区校级月考）已知随机变量X的分布列为，则P（2＜X≤4）等于　　 ．
【分析】由随机变量X的分布列为，列方程求出a＝5，从而利用P（2＜X≤4）＝P（X＝3）+P（X＝4），能求出结果．
【解答】解：∵随机变量X的分布列为，
∴＝1，
解得a＝5，
∴P（2＜X≤4）＝P（X＝3）+P（X＝4）＝＝．
故答案为：．
17．（2019春•河南期末）设随机变量ξ的概率分布列为：P（ξ＝k）＝，k＝0，1，2，3，则P（ξ＝2）＝　　 ．
【分析】由题意可得P（ξ＝0）+P（ξ＝1）+P（ξ＝2）+P（ξ＝3）＝1，所以c＝，所以P（ξ＝k）＝，进而求出答案．
【解答】解：因为所有事件发生的概率之和为1，
即P（ξ＝0）+P（ξ＝1）+P（ξ＝2）+P（ξ＝3）＝1，
所以，所以c＝．
所以P（ξ＝k）＝，所以P（ξ＝2）＝．
故答案为：．
18．（春•越秀区期末）在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为2000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：
作物产量（kg）
400
500
概率
0.6
0.4

作物市场价格（元/kg）
8
10
概率
0.5
0.5
（1）设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；
（2）若在这块地上连续4季种植此作物，求这4季中至少有2季利润不少于2000的概率．
【分析】（1）计算利润的各种可能取值及其对应的概率得出分布列；
（2）根据二项分布的概率公式计算．
【解答】解：（1）X的可能取值有1200，2000，3000，
且P（X＝1200）＝0.6×0.5＝0.3，P（X＝2000）＝0.6×0.5+0.4×0.5＝0.5，
P（X＝3000）＝0.4×0.5＝0.2．
故X的分布列为：
X
1200
2000
3000
P
0.3
0.5
0.2
（2）由（1）可知种植1季作物，利润不少于2000的概率为0.5+0.2＝0.7，
∴这4季中至少有2季利润不少于2000的概率为：•（0.7）2•（0.3）2+•（0.7）3•0.3+（0.7）4＝0.9163．
19．（春•济宁期末）在某校举办的“国学知识竞赛”决赛中，甲、乙两队各派出3名同学参加比赛．规则是：每名同学回答一个问题，答对为本队赢得1分，答错得0分．假设甲队中每名同学答对的概率均为，乙队中3名同学答对的概率分别是，，，且每名同学答题正确与否互不影响．用X表示乙队的总得分．
（1）求随机变量X的分布列；
（2）设事件A表示“甲队得2分，乙队得1分”，求P（A）．
【分析】（1）用X表示乙队的总得分，由X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列．
（2）设事件A表示“甲队得2分，乙队得1分”，事件A表示甲队3名同学中有2人答对，乙队中名同学中有1人答对，设事件B表示“甲队3名同学中有2人答对”，事件C表示“乙队3名同学中有1人答对”，P（A）＝P（BC）＝P（B）P（C），由此能求出结果．
【解答】解：（1）用X表示乙队的总得分，由X的可能取值为0，1，2，3，
P（X＝0）＝＝，
P（X＝1）＝+＝，
P（X＝2）＝+＝，
P（X＝3）＝＝，
∴随机变量X的分布列为：
X
0
1
2
3
P




（2）设事件A表示“甲队得2分，乙队得1分”，
∴事件A表示甲队3名同学中有2人答对，乙队中名同学中有1人答对，
设事件B表示“甲队3名同学中有2人答对”，事件C表示“乙队3名同学中有1人答对”，
则P（B）＝＝，
P（C）＝P（X＝1）＝+＝，
∴P（A）＝P（BC）＝P（B）P（C）＝＝．
20．（秋•仁寿县校级月考）某校组织一次冬令营活动，有8名同学参加，其中有5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X名男同学．
（1）求X的概率分布；
（2）求去执行任务的同学中有男有女的概率．
【分析】（1）确定X的可能取值，利用独立重复试验概率公式求概率，从而可得X的概率分布列；
（2）去执行任务的同学中有男有女的概率为P（X＝1）+P（X＝2），从而可得结论．
【解答】解：（1）X的可能取值为0，1，2，3，则
P（X＝0）＝＝；P（X＝1）＝＝；P（X＝2）＝＝；P（X＝3）＝＝
即X的概率分布列为
X
0
1
2
3
P




（2）去执行任务的同学中有男有女的概率为P（X＝1）+P（X＝2）＝+＝．
21．（•江苏模拟）厂家在产品出厂前，需对产品做检验，厂家将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品．
（1）若厂家库房中（视为数量足够多）的每件产品合格的概率为0.7，从中任意取出3件进行检验，求至少有2件是合格品的概率；
（2）若厂家发给商家20件产品，其中有4件不合格，按合同规定商家从这20件产品中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才接收这批产品，否则拒收．求该商家可能检验出的不合格产品的件数ξ的分布列，并求该商家拒收这批产品的概率．
【分析】（1）“从中任意取出3件进行检验，至少有2件是合格品”记为事件A，其中包含两个基本事件“恰有2件合格”和“3件都合格”，由此能求出至少有2件是合格品的概率．
（2）该商家可能检验出不合格产品数ξ，ξ可能的取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列；只有2件都合格时才接收这批产品，从而商家拒收这批产品的对立事件为商家任取2件产品检验都合格，由此能求出商家拒收这批产品的概率．
【解答】解：（1）“从中任意取出3件进行检验，至少有2件是合格品”记为事件A，
其中包含两个基本事件“恰有2件合格”和“3件都合格”，
∴．
（2）该商家可能检验出不合格产品数ξ，ξ可能的取值为0，1，2，
，
，
，
∴ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
P



因为只有2件都合格时才接收这批产品，
故商家拒收这批产品的对立事件为商家任取2件产品检验都合格，
记“商家拒收”为事件B，
则，
∴商家拒收这批产品的概率为．
22．（•芜湖模拟）学号为1，2，3的三位小学生，在课余时间一起玩“掷骰子爬楼梯”游戏，规则如下：投掷一颗骰子，将每次出现点数除以3，若学号与之同余（同除以3余数相同），则该小学生可以上2阶楼梯，另外两位只能上1阶楼梯，假定他们都是从平地（0阶楼梯）开始向上爬，且楼梯数足够多．
（Ⅰ）经过2次投掷骰子后，学号为1的同学站在第X阶楼梯上，试求X的分布列；
（Ⅱ）经过多次投掷后，学号为3的小学生能站在第n阶楼梯的概率记为Pn，试求P1，P2，P3的值，并探究数列{Pn}可能满足的一个递推关系和通项公式．
【分析】（Ⅰ）由题意得X的可能取值为2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．
（Ⅱ）P1表示学号为3的小朋友能站在第1阶楼梯的概率，推导出，，．由于学号为3的小朋友能够站在第n阶楼梯，有两种可能：从第n﹣2阶楼梯赢得比赛（投掷点数为3或6）直接蹬2个台阶上来．或从第n﹣1阶楼梯“输掉比赛”上只蹬1个台阶上来．根据骰子投掷规则，赢得比赛的概率是，输掉比赛的概率是，故Pn＝（n≥3且n∈N*），由此可探究数列{Pn}可能满足的一个递推关系和通项公式．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得X的可能取值为2，3，4．
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
P（X＝4）＝＝．
∴X的分布列为
X
2
3
4
P



（Ⅱ）P1表示学号为3的小朋友能站在第1阶楼梯的概率，
根据投掷骰子的规则，若出现点数为3或6，
则他直接站在第2阶楼梯，否则站在第1阶楼梯．
故，同理可得：，．
由于学号为3的小朋友能够站在第n阶楼梯，有两种可能：
从第n﹣2阶楼梯赢得比赛（投掷点数为3或6）直接蹬2个台阶上来．
或从第n﹣1阶楼梯“输掉比赛”上只蹬1个台阶上来．
根据骰子投掷规则，赢得比赛的概率是，输掉比赛的概率是，
故Pn＝（n≥3且n∈N*）（*）
将（*）式可变形为．
从而知：数列{Pn﹣Pn﹣1}是以P2﹣P1＝为首项，以﹣为公比的等比数列，
则有Pn﹣Pn﹣1＝＝（﹣）n．
进而可得：Pn＝（Pn﹣Pn﹣1）+（Pn﹣1﹣Pn﹣2）+…+（P2﹣P1）+P1
＝（﹣）n+（﹣）n﹣1+…+（﹣）2+
＝
＝[1﹣（﹣）n+1]．（n∈N*）．

[B组]—强基必备
(2019·郑州市第一次质量预测)2012年12月18日，作为全国首批开展空气质量新标准监测的74个城市之一，郑州市正式发布PM2.5数据．资料表明，近几年来，郑州市雾霾治理取得了很大成效，空气质量与前几年相比得到了很大改善．郑州市设有9个监测站点监测空气质量指数(AQI)，其中在轻度污染区、中度污染区、重度污染区分别设有2,5,2个监测站点，以9个站点测得的AQI的平均值为依据，播报我市的空气质量．
(1)若某日播报的AQI为118，已知轻度污染区AQI的平均值为74，中度污染区AQI的平均值为114，求重度污染区AQI的平均值；
(2)下表是2018年11月的30天中AQI的分布，11月份仅有一天AQI在[170,180)内．

组数
分组
天数
第一组
[50,80)
3
第二组
[80,110)
4
第三组
[110,140)
4
第四组
[140,170)
6
第五组
[170,200)
5
第六组
[200,230)
4
第七组
[230,260)
3
第八组
[260,290)
1

①郑州市某中学利用每周日的时间进行社会实践活动，以分布的AQI为标准，如果AQI小于180，则去进行社会实践活动，以统计数据中的频率为概率，求该校周日去进行社会实践活动的概率；
②在“创建文明城市”活动中，验收小组把郑州市的空气质量作为一个评价指标，从当月的空气质量监测数据中抽取3天的数据进行评价，设抽取到的AQI不小于180的天数为X，求X的分布列及数学期望．
【解】(1)设重度污染区AQI的平均值为x，则74×2＋114×5＋2x＝118×9，解得x＝172.
即重度污染区AQI的平均值为172.
(2)①由题意知，AQI在[170,180)内的天数为1，
由题表可知，AQI在[50,170)内的天数为17，故11月份AQI小于180的天数为1＋17＝18，
又＝，则该校周日去进行社会实践活动的概率为.
②由题意知，X的所有可能取值为0,1,2,3，且
P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝.
则X的分布列为
X
0
1
2
3
P




数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.