(新高考)高考数学一轮复习课件第10章§10.3《二项式定理》(含解析)

这是一份(新高考)高考数学一轮复习课件第10章§10.3《二项式定理》(含解析)，共60页。PPT课件主要包含了考试要求，落实主干知识，二项式定理，k＋1，探究核心题型，通项公式的应用，所以n＝10，思维升华，x－8y2，C正确等内容，欢迎下载使用。

能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
LUOSHIZHUGANZHISHI
2.二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数_____.(2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项___取得最大值；当n是奇数时，中间的两项____与_____相等，且同时取得最大值.(3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和等于__.
2.二项展开式的三个重要特征(1)字母a的指数按降幂排列由n到0.(2)字母b的指数按升幂排列由0到n.(3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n.
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1) 是(a＋b)n的展开式的第k项.(　　)(2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关.(　　)(3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项.(　　)(4)(a＋b)n的展开式中，某项的系数与该项的二项式系数不同.(　　)
2.(多选)已知(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以为A.7 B.8C.9 D.10
∴n＝7或n＝8或n＝9.
3.在(1－2x)10的展开式中，各项系数的和是__.
令x＝1可得各项系数的和为(1－2)10＝1.
TANJIUHEXINTIXING
例1　 (1)(2022·烟台模拟)(1－ )8展开式中x项的系数为A.28 B.－28C.112 D.－112
命题点1　形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式的特定项
(2)(2022·德州模拟)若n∈Z，且3≤n≤6，则 的展开式中的常数项为__.
因为3≤n≤6，令n－4k＝0，解得n＝4，k＝1，
命题点2　形如(a＋b)m(c＋d)n (m，n∈N*)的展开式问题
例2　(1)(2022·泰安模拟)(x3－2) 的展开式中x6的系数为A.6 B.10 C.13 D.15
Tk＋1＝ ，
(1－2x)4的展开式的通项公式为
所以2×(1－2x)4展开式中x3项的系数是
(1－x)n的二项展开式中第k＋1项为
2.(2022·烟台模拟)在(x2＋2x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为A.60 D.12
由(x2＋2x＋y)5＝[(x2＋2x)＋y]5，由通项公式可得Tk＋1＝ (x2＋2x)5－kyk，∵要求x5y2的系数，故k＝2，此时(x2＋2x)3＝x3·(x＋2)3，其对应x5的系数为 21＝6.∴x5y2的系数为 ×6＝60.
(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项即可.(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏.
跟踪训练1　(1)(2021·北京) 的展开式中常数项为____.
(1＋2x)5展开式的通项公式为
的展开式中，含x3的项的系数为80－32＝48.
例3　(1)(多选)(2022·十堰调研)在 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则A.二项式系数和为64 B.各项系数和为64C.常数项为－135 D.常数项为135
二项式系数与项的系数的问题
命题点1　二项式系数和与系数和
在 的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，令x＝1，得各项系数和为2n，二项式系数和为2n，则2×2n＝128，得n＝6，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A，B正确； 展开式的通项为
＝ ，
(2)已知多项式(1－2x)＋(1＋x＋x2)3＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则a1＝___，a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝___.
根据题意，令x＝1，则(1－2)＋(1＋1＋1)3＝a0＋a1＋a2＋…＋a6＝26，令x＝0，a0＝1＋1＝2，由于(1－2x)＋(1＋x＋x2)3＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，a1为展开式中x项的系数，考虑一次项系数a1＝－2＋ ×12＝1，所以a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝26－1－2＝23.
命题点2　系数与二项式系数的最值问题
例4　 的展开式中二项式系数最大的项为第__项，系数最大的项为________.
因为 的展开式中二项式系数的最大值为 ，所以二项式系数最大的项为第4项.因为 的展开式的通项为所以展开式中系数最大的项为奇数项.展开式中第1,3,5,7项的系数分别为 ，即1,60,240,64，所以展开式中系数最大的项为240x－8y2.
A正确；当x＝1时，有a0＋a1＋a2＋…＋a2 022＝1，当x＝－1时，有a0－a1＋a2－a3＋…－a2 021＋a2 022＝32 022，选项B，由上可得a1＋a3＋a5＋…＋a2 021＝ ，B错误；
选项C，由上可得a0＋a2＋a4＋…＋a2 022＝ ，C正确；选项D，令x＝ 可得又a0＝1， D正确.
2.(多选)已知(x－3)8＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a8(x－2)8，则下列结论正确的有A.a0＝1B.a6＝－＋a2＋a4＋a6＋a8＝128
对于A，取x＝2，得a0＝1，A正确；对于B，(x－3)8＝[－1＋(x－2)]8展开式中第7项为 (－1)2(x－2)6＝28(x－2)6，即a6＝28，B不正确；对于C，取x＝ ，得
对于D，取x＝3，得a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a7＋a8＝0，取x＝1，得a0－a1＋a2－a3＋…－a7＋a8＝(－2)8＝256，两式相加得2(a0＋a2＋a4＋a6＋a8)＝256，即a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝128，D正确.
赋值法的应用一般地，对于多项式(a＋bx)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，令g(x)＝(a＋bx)n，则(a＋bx)n的展开式中各项的系数和为g(1)，(a＋bx)n的展开式中奇数项的系数和为 [g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展开式中偶数项的系数和为 [g(1)－g(－1)].
跟踪训练2　(1)已知(2x－1)5＝a5x5＋a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则|a0|＋|a1|＋…＋|a5|等于A.1 D.122
令x＝1，得a5＋a4＋a3＋a2＋a1＋a0＝1， ①令x＝－1，得－a5＋a4－a3＋a2－a1＋a0＝－243， ②①＋②，得2(a4＋a2＋a0)＝－242，即a4＋a2＋a0＝－121.①－②，得2(a5＋a3＋a1)＝244，即a5＋a3＋a1＝122.所以|a0|＋|a1|＋…＋|a5|＝122＋121＝243.
(2)(多选)(2022·济南模拟)在 的展开式中，下列说法正确的是A.常数项为160B.第4项的二项式系数最大C.第3项的系数最大D.所有项的系数和为64
展开式的通项为 ，由2k－6＝0，得k＝3，所以常数项为23(－1)3 ＝－160，A错误；展开式共有7项，所以第4项二项式系数最大，B正确；第3项的系数最大，C正确；令x＝1，得 ＝1，所有项的系数和为1，D错误.
例5　(1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512 021＋a能被13整除，则a等于A.0 B.1 C.11 D.12
因为a∈Z，且0≤a≤13，所以512 021＋a＝(52－1)2 021＋a，
因为512 021＋a能被13整除，结合选项，所以－ ＋a＝－1＋a能被13整除，所以a＝1.
(2)利用二项式定理计算1.056，则其结果精确到0.01的近似值是
＝(9－1)9＋n－1
∵n≥3，∴S能被9整除的正数n的最小值是n－2＝9，∴n＝11.
只考虑k为偶数的情况，
可知系数最大的项为第7项.
二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式.(2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx.
跟踪训练3　(1)设n为奇数，那么11n＋ －1除以13的余数是A.－3 B.2C.10 D.11
＝12n－2＝(13－1)n－2
(2)0.996的计算结果精确到0.001的近似值是
＝1－0.06＋0.001 5－0.000 02＋…＋0.016≈0.941.
KESHIJINGLIAN
1.(2022·济南模拟) 的展开式中，含x4项的系数为A.4 D.15
令6－2k＝4，解得k＝1，因此，展开式中含x4项的系数为 ＝6.
展开式中，只有第7项的二项式系数最大，可得展开式有13项，所以n＝12，展开式的通项为
＝ ，若为常数项，则12－ k＝0，
所以k＝9 ，得常数项为
3.(2022·邯郸模拟)(x2－x)(1＋x)6的展开式中x3项的系数为A.－9 B.9C.－21 D.21
4.(2022·芜湖质检)已知(x－m)(x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，其中m为常数，若a4＝30，则a0等于A.－32 B.32C.64 D.－64
由多项式乘法知，第一个因式中x乘以(x＋2)5展开式中的x3项得一个x4项，第一个因式中的常数－m乘以(x＋2)5展开式中的x4项得另一个x4项，两项合并同类项得系数即为a4，所以a4＝ ×2＝30，解得m＝1，再令x＝0，得a0＝－25＝－32.
5.(2022·大连模拟)(ax－y)(x＋y)4的展开式中x3y2的系数为－2，则实数a的值为
化简得(ax－y)(x＋y)4＝ax·(x＋y)4－y·(x＋y)4，∵(x＋y)4的展开式的通项公式
6.已知在(2x－1)n的二项展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则 的值为A.28 B.28－1C.27 D.27－1
设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项的系数和为A，偶次项的系数和为B.则A＝a1＋a3＋a5＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….由已知得，B－A＝38，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，
即(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，即B－A＝(－3)n，∴(－3)n＝38＝(－3)8，∴n＝8，
7.(多选)(2022·邯郸模拟)已知 的展开式中，二项式系数之和为64，下列说法正确的是A.2，n,10成等差数列B.各项系数之和为64C.展开式中二项式系数最大的项是第3项D.展开式中第5项为常数项
得n＝6，得2,6,10成等差数列，A正确；
A错误；对于B，令x＝1，
令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a6＝(2＋ )6，∴(a0＋a2＋a4＋a6)2－(a1＋a3＋a5)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a6)(a0－a1＋a2－…＋a6)＝[(2－ )×(2＋ )]6＝1，B正确；对于C，令x＝0，得a0＝26，∴a1＋a2＋…＋a6＝(2－ )6－26，C错误；
对于D，∵a0，a2，a4，a6为正数，a1，a3，a5为负数，又a0＝26＝64，a2＝ ×24×3＝720，a4＝ ×22×32＝540，a6＝33＝27，∴展开式中系数最大的为a2，D正确.
令18－4k＝6，解得k＝3，所以x6的系数是23 ＝160.
10.(2022·济宁模拟)已知 的展开式中各项的二项式系数的和为128，则这个展开式中x3项的系数是____.
依题意，2n＝128，解得n＝7，
由7－2k＝3得k＝2，所以所求展开式中x3项的系数是(－2)2 ＝84.
所以n＋1＝7，可得n＝6，
Tk＋1＝ ＝ ，
12.(2021·浙江)已知多项式(x－1)3＋(x＋1)4＝x4＋a1x3＋a2x2＋a3x＋a4，则a1＝__，a2＋a3＋a4＝___.
所以a2＋a3＋a4＝3＋7＋0＝10.
13.已知n为正整数，若1.1510∈[n，n＋1)，则n的值为A.2 B.3 C.4 D.5
所以2<1.155<2.1，因此4<1.1510<4.41，又n为正整数，1.1510∈[n，n＋1)，所以n＝4.
14.(2022·浙江Z20名校联盟联考)设(x－1)(2＋x)3＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a1＝____，2a2＋3a3＋4a4＝___.
因为 ＝－4x，所以a1＝－4，对所给等式，两边对x求导，可得(2＋x)3＋3(x－1)(2＋x)2＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3，令x＝1，得27＝a1＋2a2＋3a3＋4a4，所以2a2＋3a3＋4a4＝31.
由an＋1＝SnSn＋1＝Sn＋1－Sn，
＝2np(q＋p)2n－1＝2np≠2npq(除非p＝0)，B错；设f(m)是f(k)中最大项，