新高考数学一轮复习精选考点专项突破题集专题8.1《排列与组合》（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习精选考点专项突破题集专题8.1《排列与组合》（含解析），共17页。试卷主要包含了6名同学到甲，“总把新桃换旧符”等内容，欢迎下载使用。

专题8.1 排列与组合
一、 单选题
1、(2020届山东省烟台市高三上期末)为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为( )
A．216 B．480 C．504 D．624
【答案】C
【解析】当课程“御”排在第一周时,则共有种；
当课程“御”“乐”均不排在第一周时,则共有种；
则,
故选：C
2、(2020·浙江温州中学3月高考模拟)本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有( )
A．72种 B．144种 C．288种 D．360种
【答案】B
【解析】第一步排语文，英语，化学，生物4种，且化学排在生物前面，有种排法；第二步将数学和物理插入前4科除最后位置外的4个空挡中的2个，有种排法，所以不同的排表方法共有种.
选.
3、(2020年新高考全国Ⅰ卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有( )
A．120种 B．90种
C．60种 D．30种
【答案】C
【解析】首先从名同学中选名去甲场馆，方法数有；
然后从其余名同学中选名去乙场馆，方法数有；
最后剩下的名同学去丙场馆.
故不同的安排方法共有种.
故选：C．
4、(2020届山东省九校高三上学期联考)汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎的五个螺栓，记为、、、、(在正五边形的顶点上)，紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，但不能连续固定相邻的两个，则不同固定螺栓顺序的种数为( )
A．20 B．15
C．10 D．5
【答案】C
【解析】此题相当于在正五边形中，对五个字母排序，要求五边形的任意相邻两个字母不能排在相邻位置，
考虑放第一个位置，第二步只能或，依次ACEBD或ADBEC两种；
同理分别让B、C、D、E放第一个位置，分别各有两种，一共十种不同的顺序.
故选：C
5、(2020届浙江省嘉兴市3月模拟)用2与0两个数字排成7位的数码，其中“20”和“02”各至少出现两次(如0020020、2020200、0220220等)，则这样的数码的个数是( )
A．54 B．44 C．32 D．22
【答案】B
【解析】两个2五个0时，显然两个2不能相邻，也不能放在首尾，先将5个0排成一排，其之间有4个空位，从这4个空位中选2个安排2，,以有种情况；
三个2四个0时，可分为三个2不相邻有，即4个0考虑首尾空位有5个，从中选3个放2，有种；和22与2不相邻，即4个0考虑首尾空位不安排有3个空位，从中选2个排成一排有种，所以有种情况；
故共有种情况．
故选：B
6、(2020·全国高三专题练习(理))已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲.乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有( )
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】D
【解析】当乙用现金结算时，此时甲和乙都用现金结算，所以丙有3种方法，丁有4种方法，
共有种方法；当乙用银联卡结算时，此时甲用现金结算，丙有2种方法，丁有4种方法，共有种方法，
综上，共有种方法.
故选：D
7、(2020·浙江省温州市新力量联盟高三上期末)若用0，1，2，3，4，5这6个数字组成无重复数字且奇数数字互不相邻的六位数，则这样的六位数共有( )个
A．120 B．132 C．144 D．156
【答案】B
【解析】先排0，2，4，再让1，3，5插空.
总的排法共，
其中0在排头，将1，3，5插在后三个空的排法共，此时构不成六位数，
故总的六位数的个数为.
8、(2020·山东省淄博实验中学高三上期末)“总把新桃换旧符”(王安石)、“灯前小草写桃符”(陆游)，春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，
有4名顾客都领取一件礼品，基本事件总数n＝34＝81，
他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同包含的基本事件个数m36，
则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是p．
故选：B．
9、(2020届山东省潍坊市高三上学期统考)本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有( )种
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】第一步：甲、乙两本书必须摆放在两端，有种排法；
第二步：丙、丁两本书必须相邻视为整体与其它两本共三本，有种排法；
∴
故选：A.
10、(2020·浙江高三)从集合{A，B，C，D，E，F}和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．则每排中字母C和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为(　　)
A．85 B．95 C．2040 D．2280
【答案】C
【解析】根据题意，分2步进行分析：
①，先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现两个，
若字母C和数字4，7都出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，有5种选法，
若字母C和数字4出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，
若字母C和数字7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，
若数字4、7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出2个字母，有C52＝10种选法，
则有5+35+35+10＝85种选法，
②，将选出的4个元素全排列，有A44＝24种情况，
则一共有85×24＝2040种不同排法；
故选：C．
11、(2020届山东省九校高三上学期联考)吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题：“口香糖吃完时还剩2支香烟”说明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香糖一次香烟，记香烟为，口香糖为，进行四次取物，
基本事件总数为：种
事件“口香糖吃完时还剩2支香烟”前四次取物顺序分为以下三种情况：
烟、糖、糖、糖：种
糖、烟、糖、糖： 种
糖、糖、烟、糖：种
包含的基本事件个数为：54，
所以，其概率为
故选：D
12、(2018年高考全国Ⅱ卷理数)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，其和等于30的有3种方法，分别是7和23，11和19，13和17，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的概率为，选C．

13、(2020·山西省大同一中高三月考)某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形(边长为2个单位)的顶点处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为，则棋子就按逆时针方向行走个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的所有不同走法共有( )

A．22种 B．24种 C．25种 D．27种
【答案】D
【解析】由题意知正方形(边长为个单位)的周长是，
抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点处的表示三次骰子的点数之和是，
列举出在点数中三个数字能够使得和为的有，
共有种组合，
前种组合，每种情况可以排列出种结果，
共有种结果；
各有种结果，共有种结果，
根据分类计数原理知共有种结果，故选D.
14、(2020·天津南开中学高三月考)定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意，中0的个数不少于1的个数.若m=4，则不同的“规范01数列”共有
A．18个 B．16个
C．14个 D．12个
【答案】C
【解析】由题意，得必有，，则具体的排法列表如下：
,01010011;010101011,共14个

二、 多选题
15、满足方程的的值可能为( )
A．1 B．3 C．5 D．
【答案】AB
【解析】因为
所以或
，或，或，或
时，，故舍去；
时，，故舍去；
时，；
时，；
故选: AB
16、名女生、4名男生排成一排，则2名女生不相邻的排法有( )种.
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】由题意，可先排男生，再插入女生，可得两名女生不相邻的排法共有，故B正确；
也可先进行全排列，则2名女生相邻情况为，则2名女生不相邻的排法有，故C正确；
故选：BC.
17、(2020·江苏省徐州一中高三月考)下列关系中，能成立的是( )
A． B．
C． D．
【答案】BCD
【解析】对A，令，可得等式不成立，故A错误；
对B，利用组合数的计算公式知正确，故B正确；
对C，利用排列数与组合数的定义，故C正确；
对D，∵，故D正确；
故选：BCD.

18、某工程队有卡车、挖掘机、吊车、混凝土搅拌车4辆工程车，将它们全部派往3个工地进行作业，每个工地至少派一辆工程车，共有多少种方式？下列结论正确的有( )
A．18 B． C． D．
【答案】CD
【解析】
根据捆绑法得到共有，
先选择一个工地有两辆工程车，再剩余的两辆车派给两个工地，共有.
.
故选：.
19、有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的有( )
A．如果四名男生必须连排在一起，那么有种不同排法
B．如果三名女生必须连排在一起，那么有种不同排法
C．如果女生不能站在两端，那么有种不同排法
D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有种不同排法
【答案】CD
【解析】A中，如果四名男生必须连排在一起，将这四名男生捆绑，形成一个“大元素”，此时，共有种不同的排法，A选项错误；
B中，如果三名女生必须连排在一起，将这三名女生捆绑，形成一个“大元素”，此时，共有种不同的排法种数，B选项错误；
C中，如果女生不能站在两端，则两端安排男生，其他位置的安排没有限制，此时，共有种不同的排法种数，C选项正确；
D中，如果三个女生中任何两个均不能排在一起，将女生插入四名男生所形成的个空中，此时，共有种不同的排法种数，D选项正确.
故选：CD.
20、，，，，五人并排站成一排，下列说法正确的是( )
A．如果，必须相邻且在的右边，那么不同的排法有24种
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C．甲乙不相邻的排法种数为72种
D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有20种
【答案】ACD
【解析】A.如果，必须相邻且在的右边，可将捆绑看成一个元素，则不同的排法有种，故正确.
B.最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有种，故不正确.
C.甲乙不相邻的排法种数为种，故正确.
D.甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种,故正确.
故选：ACD.

21、有6本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是( )
A．分给甲､乙､丙三人，每人各2本，有90种分法；
B．分给甲､乙､丙三人中，一人4本，另两人各1本，有90种分法；
C．分给甲乙每人各2本，分给丙丁每人各1本，有180种分法；
D．分给甲乙丙丁四人，有两人各2本，另两人各1本，有2160种分法；
【答案】ABC
【解析】对，先从6本书中分给甲2本，有种方法；再从其余的4本书中分给乙2本，有种方法；最后的2本书给丙，有种方法.所以不同的分配方法有种，故正确；
对，先把6本书分成3堆:4本、1本、1本，有种方法；再分给甲､乙､丙三人，所以不同的分配方法有种，故正确；
对，6本不同的书先分给甲乙每人各2本，有种方法；其余2本分给丙丁，有种方法.所以不同的分配方法有种，故正确；
对，先把6本不同的书分成4堆:2本、2本、1本、1本，有种方法；
再分给甲乙丙丁四人， 所以不同的分配方法有种，故错误.
故选：.

三、 填空题
22、(2020届浙江省嘉兴市高三5月模拟)将六个字母排成一排，若均互不相邻且在的同一侧，则不同的排法有________种．(用数字作答)
【答案】96
【解析】
先排D、E、F，有种排法；再利用插空法排A，B，C且C只能插在A、B的同侧，有种排法；
所以有96种排法．
故答案为：96.
23、(2020年高考全国II卷理数)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种．
【答案】
【解析】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，
先取2名同学看作一组，选法有：.
现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：，
根据分步乘法原理，可得不同的安排方法种，
故答案为：.
24、(2018年高考浙江卷)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成__________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)
【答案】1260
【解析】若不取0，则排列数为；若取0，则排列数为，因此一共可以组成个没有重复数字的四位数．故答案为：1260．
25、(2020届浙江省绍兴市高三4月一模)某地区有3个不同值班地点，每个值班地点需配一名医务人员和两名警察，现将3名医务人员(1男2女)和6名警察(4男2女)分配到这3个地点去值班，要求每个值班地点至少有一名女性，则共有______种不同分配方案.(用具体数字作答)
【答案】324
【解析】根据题意，分2步进行分析：
①，将9人分成3组，每组一名医务人员和两名警察，要求每一组至少有1名女性，
将9人分成3组，有种情况，其中存在某组没有女性即全部为男性的情况有种，
则有种分组方法，
②将分好的三组全排列，对应三个值班地点，有种情况，
则有种不同的分配方案；
故答案为：324.
26、(2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考)如图所示，在排成4×4方阵的16个点中，中心位置4个点在某圆内，其余12个点在圆外．从16个点中任选3点，作为三角形的顶点，其中至少有一个顶点在圆内的三角形共有_____个．

【答案】312
【解析】根据题意，分3种情况讨论：
①、取出的3个点都在圆内,有 种取法，即有4种取法，
②、在圆内取2点,圆外12点中取1点,有 种，即有60种取法，
③、在圆内取1点,圆外12点中取2点,有 种，即有248种取法，
则至少有一个顶点在圆内的三角形有4+60+248=312个，
故答案为312.
27、(2020届浙江省温州市高三4月二模)将2个相同的红球和2个相同的黑球全部放入甲、乙、丙、丁四个盒子里，其中甲、乙盒子均最多可放入2个球，丙、丁盒子均最多可放入1个球，且不同颜色的球不能放入同一个盒子里，共有________种不同的放法.
【答案】
【解析】当四个盒子有球时：种；
当三个盒子有球时：种；
当两个盒子有球时：种.
故共有种，
故答案为：.
28、(2020·浙江学军中学高三3月月考)某公司有9个连在一起的停车位，现有5辆不同型号的轿车需停放，若停放后恰有3个空车位连在一起，则不同的停放方法有____种.
【答案】3600
【解析】分两步：第一步，先将5辆不同型号的轿车停放好有种不同停法，第二步，再将3个空
车位打包和剩下的1个空车位插入5辆车产生的6个空位中有种不同的插法，根据分步
乘法原理得不同的停放方法种.
故答案为：3600.

29、(2020届浙江省杭州市高三3月模拟)从0，1，2，3，4，5这6个数中随机抽取5个数构成一个五位数，则满足条件“”的五位数的个数有____.
【答案】
【解析】由题意可知最大，不能为零，
当时，则从剩下个不为零的数中选个，放在的左边，再从剩下的个数中取两个，放在右边，故方法数有.
当时，不能选取，则从身下个不为零的数中选两个，，放在的左边，再从剩下的个数中取两个，放在右边，故方法数有.
所以总的方法数有.
故答案为：
四、 解答题
30、(2020·湖北省江夏一中高二月考)江夏一中高二年级计划假期开展历史类班级研学活动，共有6个名额，分配到历史类5个班级(每个班至少0个名额，所有名额全部分完).
(1)共有多少种分配方案？
(2)6名学生确定后，分成A、B、C、D四个小组，每小组至少一人，共有多少种方法？
(3)6名学生来到武汉火车站.火车站共设有3个“安检”入口，每个入口每次只能进1个旅客，求6人进站的不同方案种数.
【解析】(1)由题意得：问题转化为不定方程的非负整数解的个数，
∴方程又等价于不定方程的正整数解的个数，
利用隔板原理得：方程正整数解的个数为，
∴共有多少种分配方案.
(2)将问题转化为不定方程的正整数解个数，分组后再进行排列，
∵不定方程的正整数解个数为，
∴共有种方法.
(3)设6名学生在3个安检的人数分别为，
∵方程非负整数解的个数等价于方程的正整数解的个数，
∴6人进站的不同方案种数为.

31、用0,1,2,3,4五个数字组成无重复数字的四位数.
(1)有多少个四位偶数?
(2)若按从小到大排列,3 204是第几个数?
【解析】(1)方法一:先排个位数字,分两类:①0在个位时有种;②2或4在个位时按个位、千位、十位和百位的顺序排,有种,故共有=60个四位偶数.
方法二:间接法.若无限制条件,总排列数为,其中不符合条件的有两类:①0在千位,有种;②1或3在个位,有种,则四位偶数有=60个.
(2)方法一:(分类法)由高位到低位逐级分为:①千位是1或2时,有个;②千位是3时,百位可排0,1或2.(i)当百位排0,1时,有个,(ii)当百位排2时,比3 204小的仅有3 201一个,故比3 204小的四位数共有+1=61个,3 204是第62个数.
方法二:(间接法)-()=62个.
32、由A,B,C,…等7人担任班级的7个班委.
(1)若正、副班长两职只能由A,B,C这三人中选两人担任,则有多少种分工方案?
(2)若正、副班长两职至少要选A,B,C这三人中的1人担任,有多少种分工方案?
【解析】(1)先安排正、副班长有种方法,再安排其余职务有种方法,依分步乘法计数原理,共有=720种分工方案.
(2)7人的任意分工方案有种，A,B,C三人中无一人任正、副班长的分工方案有种,因此A,B,C三人中至少有1人任正、副班长的方案有=3600种.
33、(徐州高三月考)6个人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法?[来源:学科网]
(1)甲不站两端;
(2)甲、乙必须相邻;
(3)甲、乙不相邻;
(4)甲、乙之间间隔两人;
(5)甲、乙站在两端;
(6)甲不站左端,乙不站右端.
【解析】(1)方法一:要使甲不站在两端,可先让甲在中间4个位置上任选1个,有种站法,然后其余5人在另外5个位置上作全排列,有种站法.根据分步乘法计数原理,共有站法×=480(种).
方法二:要使甲不站两端,那么这两个位置只能从其余5个人中选2个人站,有种站法,然后中间4人有种站法.根据分步乘法计数原理,共有站法×=480(种).
方法三:若对甲没有限制条件,共有种站法,甲在两端共有2种站法,从总数中减去这两种情况的排列数,即得所求的站法种数,即为-2=480.
(2)方法一:先把甲、乙作为一个整体,有种站法,再把甲、乙进行全排列,有种站法.根据分步乘法计数原理,共有×=240(种)站法.
方法二:先把甲、乙以外的4个人作全排列,有种站法,再在5个空当中选出1个供甲、乙站,有种方法,最后让甲、乙全排列,有种方法,共有××=240(种)站法.
(3)方法一:第一步,先让甲、乙以外的4个人站队,有种站法;第二步,再将甲、乙排在4人形成的5个空当(含两端)中,有种站法.故站法共有×=480(种).
方法二:6个人全排列有种站法,由(2)知甲、乙相邻有240种站法,所以不相邻的站法有-240=480(种).
(4)先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上,有种站法,然后把甲、乙及中间2人看作一个整体与余下2人作全排列,有种站法,最后对甲、乙进行排列,有种站法.故共有××=144(种)站法.
(5)首先考虑特殊元素,甲、乙先站两端,有种站法,再让其他4人在中间位置作全排列,有种站法.根据分步乘法计数原理,共有×=48(种)站法.
(6)方法一:6个人全排列有种站法,甲在左端的站法有种,乙在右端的站法有种,且甲在左端而乙在右端的站法有种,故共有-2+=504(种)站法.
方法二:以甲分类,可分为两类:①甲站右端有种站法;②甲在中间4个位置之一,而乙不在右端,有××种.故共有+××=504(种)站法.