新高考数学一轮复习精选考点专项突破题集专题7.2《基本不等式》（含解析）

这是一份新高考数学一轮复习精选考点专项突破题集专题7.2《基本不等式》（含解析），共17页。
专题7.2 基本不等式一、多选题 1、(2020·浙江温州中学高三3月月考)若，下列等式不可能成立有(    )个.(1)(2)(3)A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】对于：当a，b异号时，，当a，b同号时，，故不可能成立．对于：若，，则，当时，；化为：，看作是点到直线的距离为1，可能成立；对于：，，令，，所以，不可能成立．故选：C．2、(2019年高考浙江卷)若，则“”是 “”的(   )A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当时，当且仅当时取等号，则当时，有，解得，充分性成立；当时，满足，但此时，必要性不成立，综上所述，“”是“”的充分不必要条件.3、(2020·浙江镇海中学高三3月模拟)设，则“”是“”的(   )A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由得，，所以是充分条件；由可得，所以是必要条件，故“”是“”的充要条件．答案选C．4、(2020届山东省泰安市高三上期末)若，则的最小值为(    )A．6 B． C．3 D．【答案】C【解析】∵，∴，∴，且，，∴，∴，当且仅当且即时，等号成立；故选：C．5、(2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟)若正实数，满足，则取最小值时，(    )A．5 B．3 C．2 D．1【答案】B【解析】∵；∴，且，；∴；∴，当且仅当，即时取等号.故选：B. 6、(2020届山东省济宁市高三上期末)已知奇函数在R上单调,若正实数满足则的最小值是(   )A．1 B． C．9 D．18【答案】A【解析】奇函数在R上单调，则故即 当即时等号成立故选： 7、(2020届浙江省高中发展共同体高三上期末)设实数、满足，且.则的最小值是(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意可知，.当时，，当且仅当且，即，时取等号，当时，，当且仅当且时取等号，综上可得，的最小值.故选：C. 8、(2020届山东省枣庄市高三上学期统考)如图，在△中，点是线段上两个动点，且 ，则的最小值为(   )A． B． C． D．【答案】D【解析】如图可知x，y均为正，设，共线， ，，则，，则的最小值为，故选D. 9、(2020届山东省滨州市三校高三上学期联考)已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为(    )A．10 B．12 C．16 D．9【答案】D【解析】由已知，，若不等式恒成立，所以恒成立，转化成求的最小值，
，所以．
故选：D．二、多选题10、(2010南京金陵中学期末)下列说法中正确的有(　　)A．.不等式恒成立 B．存在a，使得不等式成立 C．.若a，b∈(0，+∞)，则 D．若正实数x，y满足x+2y＝1，则【答案】BCD．【解析】：不等式恒成立的条件是a≥0，b≥0，故A不正确；当a为负数时，不等式成立．故B正确；由基本不等式可知C正确；对于，当且仅当，即，时取等号，故D正确．故选：BCD．11、(2019秋•莱州市校级月考)若正实数a，b满足a+b＝1，则下列选项中正确的是(　　)A．ab有最大值 B．有最小值 C．有最小值4 D．a2+b2有最小值【答案】．AC【解析】：∵a＞0，b＞0，且a+b＝1；∴；∴；∴ab有最大值，∴选项A正确；，，∴的最小值不是，∴B错误；，∴有最小值4，∴C正确；a2+b2≥2ab，，∴a2+b2的最小值不是，∴D错误．故选：AC．12、(2010薛城区校级期中)设a＞1，b＞1，且ab﹣(a+b)＝1，那么(　　)A．a+b有最小值2(1) B．a+b有最大值(1)2 C．ab有最大值3+2． D．ab有最小值3+2．【答案】．AD【解析】：∵a＞1，b＞1，∴，当a＝b时取等号，∴，解得，∴，∴ab有最小值；∵，当a＝b时取等号，∴，∴(a+b)2﹣4(a+b)≥4，∴[(a+b)﹣2]2≥8，解得，即，∴a+b有最小值．故选：AD． 13、(2019秋•崂山区校级期末)《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b，O为AB的中点，以AB为直径作半圆．过点C作AB的垂线交半圆于D，连结OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E．则该图形可以完成的所有的无字证明为(　　)A．(a＞0，b＞0) B．a2+b2≥2ab(a＞0，b＞0) C．(a＞0，b＞0) D．(a≥0，b＞0)【答案】．AC【解析】：根据图形，利用射影定理得：CD2＝DE•OD，由于：OD≥CD，所以：(a＞0，b＞0)．由于CD2＝AC•CB＝ab，所以所以由于CD≥DE，整理得：(a＞0，b＞0)．故选：AC． 三 、填空题14、(2018年高考天津卷理数)已知，且，则的最小值为             . 【答案】【解析】由可知，且，因为对于任意x，恒成立，结合基本不等式的结论可得：.当且仅当，即时等号成立.综上可得的最小值为.15、(江苏省南通市通州区2019-2020学年高三第一次调研抽测)设x＞0，y＞0，x＋2y＝4，则的最小值为_________.【答案】9【解析】又x＋2y＝4即，当且仅当等号成立，故原式 故填916、(2020届山东省枣庄市高三上学期统考)函数的最小值是__________.【答案】【解析】由于，故，故，当且仅当，即时，函数取得最小值为.故填：.17、(2020年高考江苏)已知，则的最小值是        ．【答案】【解析】∵∴且∴，当且仅当，即时取等号.∴的最小值为.故答案为：.18、(2020·全国高三专题练习(理))已知圆关于直线对称，则的最小值为__________．【答案】【解析】由题意可知直线过圆心，即 当且仅当时，又 即时等号成立，故的最小值为9.故答案为：919、(2018年高考江苏卷)在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为___________．【答案】9【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为. 20、(2020年高考天津)已知，且，则的最小值为_________．【答案】4【解析】，,，当且仅当=4时取等号，结合,解得，或时，等号成立.故答案为： 21、(江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初)已知a，b，c均为正数，且abc＝4(a＋b)，则a＋b＋c的最小值为_______．【答案】8【解析】，22、(2020届江苏省南通市四校联盟高三数学模拟)已知，则的最小值________.【答案】【解析】，，，由基本不等式得.当且仅当时，即当时，等号成立，因此，函数的最小值为.故答案为：. 23、(江苏省南通市西亭高级中学2019-2020学年高三下学期学情调研)已知，，且，则的最大值为______.【答案】【解析】∵，，且∴∵∴，当且仅当时取等号.令，原不等式转化为，解得.∴故答案为：.四、解答题 24、(1) 已知x＞1，求f(x)＝x＋的最小值；(2) 已知0＜x＜，求y＝2x－5x2的最大值．【解析】. (1)因为x＞1，所以x－1＞0，所以f(x)＝x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当x－1＝，即x＝2时，等号成立．所以f(x)的最小值为3.(2) y＝2x－5x2＝x(2－5x)＝·5x·(2－5x)，因为0＜x＜，所以5x＜2，2－5x＞0，所以5x(2－5x)≤＝1，所以y≤，当且仅当5x＝2－5x，即x＝时，y＝2x－5x2取得最大值.25、(2020·深圳实验学校高中部高一期末)已知正实数，满足等式.(1)求的最大值；(2)若不等式恒成立，求实数的取值范围.【解析】(1)因为，，由基本不等式，得.又因为，所以，，当且仅当，即时，等号成立，此时的最大值为10.所以.所以当，时，的最大值为1；(2)因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.不等式恒成立，只要，解得.所以的取值范围是. 26、(2019年11月北京市清华大学中学生标准学术能力诊断性测试测试数学)已知a，b，c为正实数，且满足a＋b＋c＝3.证明：(1)ab＋bc＋ac≤3；(2).【解析】(1)证明：正实数，，满足，，，当且仅当时等号成立(2)，，当且仅当时等号成立27、(2020年1月中学生标准学术能力诊断性测试诊断性测试理科数学试卷)已知正数，，满足.(1)求证：；(2)求的最小值.【解析】(1)因为，，，所以由柯西不等式得.又因为.所以(2)由均值不等式，当且仅当时“=”成立∵.∴当且仅当时取“=”∴，当且仅当，时等号成立，所以的最小值为6.28、(2020届山东省潍坊市高三上期中)在经济学中，函数的边际函数定义为．某医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产台的收益函数为 (单位：万元)，成本函数(单位：万元)，该公司每月最多生产台该医疗器材．(利润函数=收益函数－成本函数)(1)求利润函数及边际利润函数；(2)此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大，最大值为多少?(精确到)(3)求为何值时利润函数取得最大值，并解释边际利润函数的实际意义．【答案】(1)；；(2)台，万元；(3)或；反映了产量与利润增量的关系，从第二台开始，每多生产一台医疗器材利润增量在减少.【解析】(1)由题意知：且，，.(2)每台医疗器材的平均利润，当且仅当时等号成立.因为，当每月生产台机器时，每台平均约为万元，每月生产台时，每台平均约为万元，故每月生产台时，每台医疗器材的平均利润最大为万元.(3)，由，得，此时随增大而增大，由得，此时随增大而减小，或时，取得最大值.反映了产量与利润增量的关系，从第二台开始，每多生产一台医疗器材利润增量在减少.