(新高考)高考数学一轮考点复习4.2《同角三角函数的基本关系与诱导公式》课时跟踪检测(含详解)

课时跟踪检测（十九）  同角三角函数的基本关系与诱导公式

一、基础练——练手感熟练度

1．已知x∈，cos x＝，则tan x的值为(　　)

A.　　　　　　　　　 B．－

C.  D．－

解析：选B　因为x∈，所以sin x＝－＝－，所以tan x＝＝－.故选B.

2．若＝，则tan θ＝(　　)

A．1  B．－1

C．3  D．－3

解析：选D　因为

＝＝，

所以2(sin θ＋cos θ)＝sin θ－cos θ，

所以sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝－3.

3．若tan α＝，则sin4α－cos4α的值为(　　)

A．－   B.

C.  D．－

解析：选D　∵tan α＝，∴sin4α－cos4α＝(sin2α＋cos2α)·(sin2α－cos2α)＝＝＝－.故选D.

4．(多选)在△ABC中，下列关系恒成立的是(　　)

A．tan(A＋B)＝tan C  B．cos(2A＋2B)＝cos 2C

C．sin＝sin  D．sin＝cos

解析：选BD　tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，A不正确；cos(2A＋2B)＝cos[2(π－C)]＝cos(－2C)＝cos 2C，B正确；sin＝sin＝cos，C不正确，D正确．

5．已知sin＝，则cos的值是(　　)

A．－   B.

C.  D．－

解析：选A　∵sin＝，∴cos＝cos＝－sin＝－.故选A.

6．若θ是三角形的一个内角，且tan θ＝－，则sin＋cos＝(　　)

A.  B．－

C.  D．－

解析：选C　由题意得，tan θ＝＝－，θ∈(0，π)，

故sin θ>0，cos θ<0.

又sin2θ＋cos2θ＝1，所以sin θ＝，cos θ＝－.

因此，sin＋cos＝－cos θ＋sin θ＝.

二、综合练——练思维敏锐度

1．已知sin＝，则cos等于(　　)

A.   B.

C．－  D．－

解析：选A　cos＝cos＝sin＝.故选A.

2．若θ∈，则 等于(　　)

A．sin θ－cos θ  B．cos θ－sin θ

C．±(sin θ－cos θ)  D．sin θ＋cos θ

解析：选A　因为

＝＝

＝|sin θ－cos θ|，

又θ∈，所以sin θ－cos θ>0，

所以原式＝sin θ－cos θ.故选A.

3．已知α∈(0，π)，且cos α＝－，则sin·tan(π＋α)＝(　　)

A.   B.

C．－   D.

解析：选D　sin·tan(π＋α)＝cos α·tan α＝sin α，

因为α∈(0，π)，且cos α＝－，所以sin α＝＝＝，

即sin·tan(π＋α)＝.故选D.

4．已知2sin α－cos α＝0，则sin2α－2sin αcos α的值为(　　)

A．－  B．－

C.   D.

解析：选A　由已知2sin α－cos α＝0得tan α＝，所以sin2α－2sin αcos α＝＝＝－.故选A.

5．(2021·潍坊一模)在平面坐标系xOy中，点P(，1)，将向量绕点O按逆时针方向旋转后得到向量，则点Q的坐标是(　　)

A．(－，1)  B．(－1，)

C．(－，1)  D．(－1，)

解析：选D　设以射线OP为终边的角为α，以射线OQ为终边的角为β，且β＝α＋，

由题意可得sin α＝，cos α＝，结合三角函数的定义与诱导公式可得xQ＝2cos β＝2cos＝－2sin α＝－1，yQ＝2sin β＝2sin＝2cos α＝，即点Q的坐标为(－1，)．故选D.

6．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点A(1，a)，B(2，b)，且cos 2α＝，则|a－b|＝(　　)

A.   B.

C.  D．1

解析：选B　由cos 2α＝，得cos2α－sin2α＝，

∴＝，即＝，∴tan α＝±，

即＝±，∴|a－b|＝.故选B.

7．若sin θ，cos θ是方程4x2＋2mx＋m＝0的两根，则m的值为(　　 )

A．1＋  B．1－

C．1±  D．－1－

解析：选B　由题意知sin θ＋cos θ＝－，sin θcos θ＝.

∵(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ，∴＝1＋，解得m＝1±，又Δ＝4m2－16m≥0，

∴m≤0或m≥4，∴m＝1－.

8．(多选)定义：角θ与φ都是任意角，若满足θ＋φ＝，则称θ与φ“广义互余”．已知sin(π＋α)＝－，下列角β中，可能与角α“广义互余”的是(　　)

A．sin β＝  B．cos(π＋β)＝

C．tan β＝  D．tan β＝

解析：选AC　∵sin(π＋α)＝－sin α＝－，∴sin α＝，cos α＝±，∴若α＋β＝，则β＝－α.sin β＝sin＝cos α可能成立，角β可能与角α“广义互余”，故A符合条件；若B符合，则cos(π＋β)＝－cos＝－sin α＝－ ，与cos(π＋β)＝矛盾，故B不符合条件；对于C，tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sin β＝±，即C符合条件；tan β＝，即sin β＝cos β，又sin2β＋cos2β＝1，故sin β＝±，故D不符合条件．

9．在△ABC中，若tan A＝，则sin A＝________.

解析：因为tan A＝>0，所以A为锐角，

由tan A＝＝以及sin2A＋cos2A＝1，

可求得sin A＝.

答案：

10．已知α为第二象限角，则cos α＋sin α ＝________.

解析：原式＝cos α ＋sin α

＝cos α＋sin α，

因为α是第二象限角，

所以sin α>0，cos α<0，

所以cos α＋sin α＝－1＋1＝0，

即原式等于0.

答案：0

11．已知sin·cos＝，且0<α<，则sin α＝________，cos α＝________.

解析：sincos＝(－cos α)·(－sin α)

＝sin αcos α＝.

∵0<α<，∴0<sin α<cos α.

联立解得sin α＝，cos α＝.

答案：　

12．已知cos α－sin α＝，α∈.

(1)求sin αcos α的值；

(2)求的值．

解：(1)∵cos α－sin α＝，α∈，

平方可得1－2sin αcos α＝，∴sin αcos α＝.

(2)sin α＋cos α＝＝＝，

∴＝

＝

＝(cos α＋sin α)＝.