(新高考)高考数学一轮考点复习7.2《空间点、直线、平面之间的位置关系》课时跟踪检测(含详解)

课时跟踪检测（三十五）  空间点、直线、平面之间的位置关系

一、基础练——练手感熟练度

1．(多选)下列推断中，正确的是(　　)

A．A∈l，A∈α，B∈l，B∈α⇒l⊂α

B．A∈α，A∈β，B∈α，B∈β⇒α∩β＝AB

C．l⊄α，A∈l⇒A∉α

D．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合

解析：选ABD　直线不在平面内时，直线上可能有一个点在平面内，即直线与平面相交，所以C错，根据点、线、面的关系可知其余都对，故选A、B、D.

2．已知直线a和平面α，β，α∩β＝l，a⊄α，a⊄β，且a在α，β内的射影分别为直线b和c，则直线b和c的位置关系是(　　)

A．相交或平行　　　　　 B．相交或异面

C．平行或异面  D．相交、平行或异面

解析：选D　依题意，直线b和c的位置关系可能是相交、平行或异面，选D.

3．下列命题中，错误命题的个数为(　　)

①直线a与平面α不平行，则直线a与平面α内的所有直线都不平行；

②直线a与平面α不垂直，则直线a与平面α内的所有直线都不垂直；

③异面直线a，b不垂直，则过直线a的任何平面与直线b都不垂直；

④若直线a和b共面，直线b和c共面，则直线a和c共面．

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选C　对于①，若直线a在平面α内，这时直线a和平面α不平行，但是平面内存在直线和a是平行的，故①错误；对于②，若直线a在平面α内，这时直线a和平面α不垂直，但是平面内存在直线和直线a是垂直的，故②错误；对于③，根据线面垂直的定义可知，③是正确的；对于④，直线a，c有可能是异面直线，故④错误．综上所述，有3个命题是错误命题，故选C.

4．如果两条异面直线称为“一对”，那么在正方体的十二条棱中共有异面直线(　　)

A．12对  B．24对

C．36对  D．48对

解析：选B　如图所示，与AB异面的直线有B1C1，CC1，A1D1，DD1四条，因为各棱具有相同的位置且正方体共有12条棱，排除两棱的重复计算，共有异面直线＝24(对)．

5．已知A，B，C，D是空间四点，命题甲：A，B，C，D四点不共面，命题乙：直线AC和BD不相交，则甲是乙成立的(　　)

A．充分不必要条件  B．必要不充分条件

C．充要条件  D．既不充分也不必要条件

解析：选A　若A，B，C，D四点不共面，则直线AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直线AC和BD不相交，当直线AC和BD平行时，A，B，C，D四点共面，所以甲是乙成立的充分不必要条件．

6.(2021·临沂模拟)如图，四边形ABCD和四边形ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．

解析：

如图，将原图补成正方体ABCD­QGHP，连接GP，则GP∥BD，所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角，在△AGP中，AG＝GP＝AP，

所以∠APG＝.

答案：

二、综合练——练思维敏锐度

1．(2021·威海一中月考)设α，β为不重合的两个平面，m，n为不重合的两条直线，则下列命题正确的是(　　)

A．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α

B．若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α∥β

C．若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β

D．若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α

解析：选D　对于A，若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m与α有可能相交，也有可能m⊂α，故A错误；对于B，若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α与β有可能相交，也有可能平行，故B错误；对于C，若m∥α，n∥β，m⊥n，则α与β有可能平行，也有可能相交，故C错误；对于D，由于m⊥β，n⊥β，所以m∥n，又知n⊥α，所以m⊥α，故D正确．故选D.

2．若m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列说法中正确的是(　　)

A．α∥β，m⊂α，n⊂β ⇒m∥n

B．α⊥γ，β⊥γ ⇒α∥β

C．α∥β，m∥n，m⊥α⇒n⊥β

D．α∩β＝m，β∩γ＝n，m∥n⇒α∥γ

解析：选C　对于A，由α∥β，m⊂α，n⊂β，可知m，n无公共点，则m与n平行或异面，故A错误；对于B，由α⊥γ，β⊥γ，可知α与β可能平行，也可能相交，故B错误；对于C，由于m∥n，m⊥α，所以n⊥α，又知α∥β，所以n⊥β，故C正确；对于D，如图所示，α∩β＝m，β∩γ＝n，m∥n，但α与γ相交，故D错误．故选C.

3.如图，在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选D　连接BC1，易证BC1∥AD1，则∠A1BC1(或其补角)即为异面直线A1B与AD1所成的角．

连接A1C1，由AB＝1，AA1＝2，则A1C1＝，A1B＝BC1＝，

在△A1BC1中，由余弦定理得cos∠A1BC1＝＝.

4．若平面α，β的公共点多于两个，则

①α，β平行；②α，β至少有三个公共点；③α，β至少有一条公共直线；④α，β至多有一条公共直线．

以上四个判断中不成立的个数为(　　)

A．0　　　 B．1 

C．2　　　　                         D．3

解析：选C　由条件知，当平面α，β的公共点多于两个时，若所有公共点共线，则α，β相交；若公共点不共线，则α，β重合．故①一定不成立；②成立；③成立；④不成立．

5．(2021·沈阳模拟)如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　)

A．CC1与B1E是异面直线

B．AC⊥平面ABB1A1

C．AE，B1C1为异面直线且AE⊥B1C1

D．A1C1∥平面AB1E

解析：选C　CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线，所以A错误；由题意知，上底面是一个正三角形，故AC不可能垂直于平面ABB1A1，所以B错误；因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线，且因为△ABC为正三角形，点E为BC中点，所以AE⊥BC，又因为BC∥B1C1，所以AE⊥B1C1，所以C正确；因为A1C1所在的平面A1B1C1与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E不正确，所以D错误．故选C.

6．(多选)(2021·日照模拟)如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝4，BC＝2，M，N分别为棱C1D1，CC1的中点，则(　　)

A．A，M，N，B四点共面

B．平面ADM⊥平面CDD1C1

C．直线BN与B1M所成的角为60°

D．BN∥平面ADM

解析：选BC　如图所示，对于A，直线AM，BN是异面直线，故A，M，N，B四点不共面，故A错误；对于B，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，可得AD⊥平面CDD1C1，所以平面ADM⊥平面CDD1C1，故B正确；对于C，取CD的中点O，连接BO，ON，可知三角形BON为等边三角形，故C正确；对于D，因为BN∥平面AA1D1D，显然BN与平面ADM不平行，故D错误．故选B、C.

7.如图，已知圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，C是圆柱下底面弧AB的中点，C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，那么异面直线AC1与BC所成角的正切值为________．

解析：如图，取圆柱下底面弧AB的另一中点D，连接C1D，AD，

∵C是圆柱下底面弧AB的中点，

∴AD∥BC，

∴直线AC1与AD所成的角即为异面直线AC1与BC所成的角．

∵C1是圆柱上底面弧A1B1的中点，

∴C1D⊥圆柱下底面，∴C1D⊥AD.

∵圆柱的轴截面ABB1A1是正方形，

∴C1D＝AB＝AD，

∴直线AC1与AD所成角的正切值为，

∴异面直线AC1与BC所成角的正切值为.

答案：

8.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，有以下四个结论：

①直线AM与CC1是相交直线；

②直线AM与BN是平行直线；

③直线BN与MB1是异面直线；

④直线AM与DD1是异面直线．

其中正确的结论为________(填序号)．

解析：直线AM与CC1是异面直线，直线AM与BN也是异面直线，故①②错误．

答案：③④

9．(2021·洛阳模拟)如图，在三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成角的余弦值是________．

解析：如图所示，连接DN，

取线段DN的中点K，连接MK，CK.

∵M为AD的中点，∴MK∥AN，

∴∠KMC(或其补角)为异面直线AN，CM所成的角．

∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，N为BC的中点，

由勾股定理易求得AN＝DN＝CM＝2，∴MK＝.

在Rt△CKN中，CK＝ ＝.

在△CKM中，由余弦定理，

得cos∠KMC＝＝，

∴异面直线AN，CM所成角的余弦值是.

答案：

10．已知在直三棱柱ABC­A1B1C1中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则A1P＋PC的最小值为________．

解析：如图①，连接A1B，由已知数据可得BC1＝2，A1B＝2，则A1C＋BC＝A1B2，∴∠A1C1B＝90°.将△BCC1沿BC1展平在平面A1BC1内，连接A1C，如图②，则A1P＋PC的最小值为线段A1C的长．在△A1C1C中，A1C1＝2，CC1＝，易知∠A1C1C＝135°，由余弦定理得，A1C2＝A1C＋CC－2A1C1·CC1·cos∠A1C1C＝22＋()2－2×2××cos 135°＝4＋2＋4＝10，∴A1C＝，即A1P＋PC的最小值为.

答案：

11.如图，在四棱锥O­ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．

(1)求四棱锥O­ABCD的体积；

(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值．

解：(1)由已知可求得正方形ABCD的面积S＝4，

∴四棱锥O­ABCD的体积V＝×4×2＝.

(2)如图，连接AC，设线段AC的中点为E，连接ME，DE，又M为OA的中点，

∴ME∥OC，

则∠EMD(或其补角)为异面直线OC与MD所成的角，由已知可得DE＝，EM＝，MD＝，

∵()2＋()2＝()2，即DE2＋EM2＝MD2，

∴△DEM为直角三角形，且∠DEM＝90°，

∴tan∠EMD＝＝＝.

∴异面直线OC与MD所成角的正切值为.

12.如图所示，A是△BCD所在平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．

(1)求证：直线EF与BD是异面直线；

(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角的大小．

解：(1)证明：假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，

所以A，B，C，D在同一平面内，这与A是△BCD所在平面外的一点相矛盾，故直线EF与BD是异面直线．

(2)如图，取CD的中点G，连接EG，FG，

则AC∥FG，EG∥BD.

所以相交直线EF与EG所成的角即为异面直线EF与BD所成的角．

又因为AC⊥BD，则FG⊥EG，

在Rt△EGF中，由EG＝FG＝AC，求得∠FEG＝45°，即异面直线EF与BD所成的角为45°.