第一章 特殊的平行四边形测试卷　2022—2023学年北师大版数学九年级上册(含答案)

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第一章  特殊的平行四边形测试卷 一．选择题1．在菱形ABCD中，如果∠B＝110°，那么∠D的度数是（　　）A．35° B．70° C．110° D．130°2．某班同学在“做环保护航者”的主题班会课上制作象征“健康快乐”的绿丝带（丝带的对边平行且宽度相同），如图，丝带重叠的部分一定是（　　）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．都有可能3．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积是3，则矩形ABCD的面积是（　　）A．6 B．9 C．12 D．154．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，添加下列条件不能判定四边形ABCD为菱形的是（　　）A．BD⊥AC B．BC＝CD C．AC＝BD D．∠ABD＝∠CBD5．已知四边形ABCD是矩形，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（　　）A．∠D＝90° B．BC＝CD C．AD＝BC D．AB＝CD6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，且AC＝12，BD＝16，则菱形的高AE为（　　）A．9.6 B．4.8 C．10 D．57．如图，在菱形ABCD中，∠ADC＝120°，AB＝4，连结AC，在AC上取一点F，使CF＝CD，连结DF，则AF的长是（　　）A． B． C． D．8．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一点，且BP＝OB，则∠COP的度数为（　　）A．15° B．22.5° C．25° D．17.5°9．如图，在△ABC中，DE∥CA，DF∥BA，下列四个判断不正确的是（　　）A．四边形AEDF是平行四边形 B．如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形 C．如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是矩形 D．如果AD⊥BC，且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形10．如图．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点P为斜边AB上一动点．过点P作PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，连接EF．则线段EF的最小值为（　　）A．1.2 B．2.4 C．2.5 D．4.8二．填空题11．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，若∠AOD＝60°，AD＝2，则CD的长为 　   　．12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝8，AC＝6，OE∥AB，交BC于点E，则OE的长为 　   　．13．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，过点O作OG⊥AC，交AB于点G，连接CG，若∠BOG＝15°，则∠BCG的度数是 　   　．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A，C的坐标分别是（4，﹣2），（1，2），点B在x轴上，则点B的坐标是 　   　．15．如图，四边形ABCD是个活动框架，对角线AC、BD是两根皮筋．如果扭动这个框架（BC位置不变），当扭动到∠A'BC＝90°时四边形A'BCD'是个矩形，A'C和BD'相交于点O．如果四边形OD'DC为菱形，则∠A'CB＝　   　°．16．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足分别为E、F．求PE+PF＝　   　．三．解答题17．如图，矩形ABCD中，E是BC边上的点，AE＝BC，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：AB＝DF．（2）若CE＝1，AF＝3，求DF的长．18．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°点D是边AB上的一个动点，连接CD．作AE∥DC，CE∥AB，连接ED．（1）如图1，当CD⊥AB时，求证：AC＝ED；（2）如图2，当D是AB的中点时，①四边形ADCE的形状是 　   　；请说明理由．②若AB＝5，ED＝4，则四边形ADCE的面积为 　   　． 19．阅读下列材料，完成相应任务．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半如图1，△ABC中，∠ABC＝90°，BD是斜边AC上的中线．求证：BD＝AC．分析：要证明BD等于AC的一半．可以用“倍长法”将BD延长一倍，如图2，延长BD到E，使得DE＝BD．连接AE，CE．可证四边形ABCE是矩形，由矩形的对角线相等得BE＝AC，这样将直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系转化为矩形对角线的数量关系，进而得到BD＝AC．（1）请你按材料中的分析写出证明过程；（2）上述证明方法中主要体现的数学思想是 　   　；A．转化思想B．类比思想C．数形结合思想D．从一般到特殊思想（3）如图3，点C是线段AB上一点，CD⊥AB，点E是线段CD上一点，分别连接AD，BE，点F，G分别是AD和BE的中点，连接FG．若AB＝12，CD＝8，CE＝3，则FG＝　   　．20．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6．动点P、Q分别从点D、A同时出发向右运动，点P的运动速度为2个单位/秒，点Q的运动速度为1个单位/秒，当一个点到达终点时两个点都停止运动．设运动的时间为t（s）（1）当t＝2时，PQ的长为　   　；（2）若PQ＝PB，求运动时间t的值；（3）若BQ＝PQ，求运动时间t的值．21．如图，正方形ABCD边长为8，E，F分别是BC，CD上的点，且AE⊥BF．（1）求证：AE＝BF．（2）若AF＝10，求AE的长．               第一章   特殊的平行四边形测试卷参考答案1．C   2．B    3．C   4．C    5．B    6．A   7．B    8．B    9．C   10．B 11．2    12．     13．15°  14．（5，0）    15．30    16． 17．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAF＝∠AEB，∵AE＝BC，∴AE＝AD，∵DF⊥AE，∴∠AFD＝90°，在△ABE和△DFA中，，∴△ABE≌△DFA（AAS），∴AB＝DF；（2）解：∵△ABE≌△DFA，∴BE＝AF＝3，∵CE＝1，∴BC＝BE+CE＝3+1＝4，∴AD＝BC＝4，在Rt△ADF中，由勾股定理得：DF＝＝＝＝．18（1）证明：∵AE∥DC，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形，∴AC＝ED．（2）①解：∵AE∥DC，CE∥AB，∴四边形ADCE是平行四边形，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴AD＝CD＝BD，∴四边形ADCE是菱形，故答案为菱形；②∵四边形ADCE是菱形，∴AC⊥DE，又∵AC⊥BC，∴DE∥BC，∵CE∥AB，∴四边形ECBD是平行四边形，∴DE＝BC＝4，∵AB＝5，∴AC＝＝3，∴四边形ADCE的面积为．故答案为6．19．（1）证明：延长BD到E，使得DE＝BD，连接AE、CE，如图2所示：∵BD是斜边AC上的中线，∴AD＝CD，又∵DE＝BD，∴四边形ABCE是平行四边形，又∵∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCE是矩形，∴BE＝AC，∵DE＝BD＝BE，∴BD＝AC；（2）解：由上述证明方法中主要体现的数学思想是转化思想，故答案为：A；（3）解：过点A在AB上方作AH⊥AB，过点D作DH⊥AH于H，过点B在AB上方作BR⊥AB，过点E作ER⊥BR于R，连接CH、CR、HR，延长RE交AH于Q，如图3所示：则四边形ACDH、四边形CBRE、四边形ABRQ都为矩形，∴四边形HQED、四边形QACE均为矩形，∴HQ＝DE＝CD﹣CE＝8﹣3＝5，QR＝AB＝12，在Rt△HQR中，由勾股定理得：HR＝＝＝13，∵点F，G分别是AD和BE的中点，四边形ACDH、四边形CBRE都是矩形，∴点F，G分别是CH和CR的中点，∴FG是△CHR的中位线，∴FG＝HR＝，故答案为：．20．解：（1）如图所示：作PH⊥AB于H，由题意得，DP＝4，AQ＝2，则QH＝2，又PH＝AD＝6，由勾股定理得，PQ＝＝＝2，故答案为：2；（2）当PQ＝PB时，如图，QH＝BH，则t+2t＝8，解得，t＝；（3）当PQ＝BQ时，（2t﹣t）2+62＝（8﹣t）2，解得，t＝．21．证明；（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC＝90°＝∠C，AB＝BC，∴∠ABF+∠CBF＝90°，∵AE⊥BF，∴∠ABF+∠BAE＝90°，∴∠BAE＝∠CBF，∴△ABE≌△BCF（ASA），∴AE＝BF；（2）∵AF＝10，AD＝8，∴DF＝＝＝6，∴CF＝8﹣6＝2，∴BF＝＝＝2，∴AE＝2．