2021-2022学年湖南省长沙市天心区明德教育集团九年级（上）期中数学试卷

这是一份2021-2022学年湖南省长沙市天心区明德教育集团九年级（上）期中数学试卷，共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）已知半径为10cm的⊙O，圆心O到直线l的距离为10cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．相切或相交
3．（3分）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y＝x+3B．y＝ax2+bx+cC．y＝t2﹣2t+2D．y＝x2+
4．（3分）如图，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
5．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知方程ax2+bx+c＝0的根是（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝5B．x1＝﹣2，x2＝4C．x1＝﹣1，x2＝2D．x1＝﹣5，x2＝5
6．（3分）如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC＝（ ）
A．130°B．100°C．50°D．65°
7．（3分）关于函数y＝﹣（x+2）2﹣1的图象叙述正确的是（ ）
A．开口向上B．顶点（2，﹣1）
C．与y轴交点为（0，﹣1）D．对称轴为直线x＝﹣2
8．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的弦所对的弧相等
B．圆心角相等，其所对的弦相等
C．在同圆或等圆中，圆心角不等，所对的弦不相等
D．弦相等，它所对的圆心角相等
9．（3分）在⊙O中，弦AB＝8cm，直径为16cm，则弦AB所对的圆周角为（ ）
A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°
10．（3分）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′＝n﹣4；m＜0时，n′＝﹣n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（﹣2，3）的限变点是P2′（﹣2，﹣3）．若点P（m，n）在二次函数y＝﹣x2+4x+2的图象上，则当﹣2≤m≤4时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）
A．﹣2≤n′≤2B．1≤n′≤10C．﹣2≤n′≤1D．﹣2≤n′≤10
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是 ．
12．（3分）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为 ．
13．（3分）已知点P1（a﹣1，1）和P2（2，b﹣1）关于原点对称，则a+b＝ ．
14．（3分）将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为 ．
15．（3分）函数y＝x2+bx﹣c的图象经过点（2，4），则2b﹣c的值为 ．
16．（3分）如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF边长为cm，则该正六边形的面积为 cm2．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）解下列一元二次方程：
（1）4x2＝1；
（2）x2﹣5x﹣3＝0．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（3，4），C（2，6）．
（1）画出△ABC，作它关于y轴对称的图形△A1B1C1．
（2）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°的图形△AB2C2．
（3）连接BC2，得到四边形AB2C2B，求四边形AB2C2B的面积．
20．（8分）二次函数y＝x2+bx+c经过点C（0，5），D（2，﹣3），与x轴交于A，B两点，且A点在B点左侧．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若该二次函数的顶点为点P，连接AP，BP，求△ABP的面积．
21．（8分）已知如图，扇形AOB的圆心角为120°，半径OA为9cm．
（1）求扇形AOB的弧长和扇形面积；
（2）若把扇形纸片AOB卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高OH．
22．（9分）2021年10月18日，博鳌亚洲论坛全球经济发展与安全论坛首届大会在长沙开幕．活动当天，作为国有大型综合性粮油企业，湖南粮食集团携旗下“金健”“裕湘”“金霞”“银光”“新中意”“帅牌”“木本堂”“军粮放心粮油”等最新优质粮油产品亮相经安会．某超市选择其中一种大米进行经销，每千克大米的成本为5元，经试销发现，该大米每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如表所示：
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式（不要求写出自变量取值范围）．
（2）为保证某天获得1600元的销售利润，且要惠及客户，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
23．（9分）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是边BC上一点，且BE＝6，以点A为圆心，6为半径的圆交AB于点F，DF与AE交于点H，并与⊙A交于点K．
（1）求证：H是FK的中点；
（2）求DK的长．
24．（10分）我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如在二次函数y＝x2的图象上，存在一点P（﹣1，1），则点P为二次函数y＝x2图象上的“互反点”．
（1）求一次函数y＝﹣2x﹣3的“互反点”．
（2）若二次函数y＝x2﹣（2a+1）x+a只有一个“互反点”，且与y轴交于正半轴，求当1≤x≤3时，y的取值范围．
（3）若对于任意的实数n，在二次函数y＝（m+1）x2+nx+n﹣1的图象上，恒有两个相异的“互反点”，求m的取值范围．
25．（10分）如图，点M（4，0），以点M为圆心，2为半径的圆与x轴交于A、B两点，已知抛物线过点A、点B．
（1）求出抛物线解析式．
（2）点Q（m，2）在抛物线上（其中m≥6），点P为直线x＝1上一个动点，求PQ+PB的最小值．
（3）在第（2）问PQ+PB取得最小值的情况下，若过点P作PE，使得PE为⊙M的切线，点E为切点，求直线PE的解析式．
2021-2022学年湖南省长沙市天心区明德教育集团九年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一个是符合题意得.请在答题卡中填涂符合题意的选项.本大题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：C．
2．（3分）已知半径为10cm的⊙O，圆心O到直线l的距离为10cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）
A．相切B．相交C．相离D．相切或相交
【解答】解：∵⊙O的半径为10cm，
∵点O到直线l的距离为10cm，
∴直线l与⊙O的位置关系是相切．
故选：A．
3．（3分）下列函数解析式中，一定为二次函数的是（ ）
A．y＝x+3B．y＝ax2+bx+cC．y＝t2﹣2t+2D．y＝x2+
【解答】解：A、y＝x+3是一次函数，故此选项错误；
B、y＝ax2+bx+c（a≠0），故此选项错误；
C、y＝t2﹣2t+2，一定为二次函数，故此选项正确；
D、y＝x2+，不是整式，故此选项错误．
故选：C．
4．（3分）如图，△ABC中，∠CAB＝70°，在同一平面内，将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，使得DC∥AB，则∠BAE等于（ ）
A．30°B．40°C．50°D．60°
【解答】解：如图，
∵DC∥AB，
∴∠DCA＝∠CAB＝70°，
∵将△ABC绕点A旋转到△AED的位置，
∴AD＝AC，∠DAC＝∠EAB，
∴∠ADC＝∠DCA＝70°
∴∠DAC＝∠EAB＝40°
故选：B．
5．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，由图象可知方程ax2+bx+c＝0的根是（ ）
A．x1＝﹣1，x2＝5B．x1＝﹣2，x2＝4C．x1＝﹣1，x2＝2D．x1＝﹣5，x2＝5
【解答】解：由图象可知对称轴x＝2，与x轴的一个交点横坐标是5，它到直线x＝2的距离是3个单位长度，所以另外一个交点横坐标是﹣1．
所以x1＝﹣1，x2＝5．
故选：A．
6．（3分）如图，点O是△ABC的内切圆的圆心，若∠BAC＝80°，则∠BOC＝（ ）
A．130°B．100°C．50°D．65°
【解答】解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣80°）＝50°，
∴∠BOC＝180°﹣50°＝130°．
故选：A．
7．（3分）关于函数y＝﹣（x+2）2﹣1的图象叙述正确的是（ ）
A．开口向上B．顶点（2，﹣1）
C．与y轴交点为（0，﹣1）D．对称轴为直线x＝﹣2
【解答】解：∵函数y＝﹣（x+2）2﹣1，
∴该函数图象开口向下，故选项A错误，
顶点坐标为（﹣2，﹣1），故选项B错误，
当x＝0时，y＝﹣5，即该函数与y轴的交点坐标为（0，﹣5），故选项C错误，
对称轴是直线x＝﹣2，故选项D正确，
故选：D．
8．（3分）下列命题是真命题的是（ ）
A．相等的弦所对的弧相等
B．圆心角相等，其所对的弦相等
C．在同圆或等圆中，圆心角不等，所对的弦不相等
D．弦相等，它所对的圆心角相等
【解答】解：A、B、D结论若成立，都必须以“在同圆或等圆中”为前提条件，所以A、B、D错误；
故选：C．
9．（3分）在⊙O中，弦AB＝8cm，直径为16cm，则弦AB所对的圆周角为（ ）
A．60°B．120°C．60°或120°D．30°或150°
【解答】解：如图，直径为16cm，
∴AO＝OB＝AB＝8cm；
∴△AOB是等边三角形；
则∠AOB＝60°；
∴∠F＝∠AOB＝30°；
∵四边形AEBF内接于⊙O，
∴∠E＝180°﹣∠F＝150°．
因此弦AB所对的圆周角为30°或150°；故选D．
10．（3分）新定义：在平面直角坐标系中，对于点P（m，n）和点P′（m，n′），若满足m≥0时，n′＝n﹣4；m＜0时，n′＝﹣n，则称点P′（m，n′）是点P（m，n）的限变点．例如：点P1（2，5）的限变点是P1′（2，1），点P2（﹣2，3）的限变点是P2′（﹣2，﹣3）．若点P（m，n）在二次函数y＝﹣x2+4x+2的图象上，则当﹣2≤m≤4时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是（ ）
A．﹣2≤n′≤2B．1≤n′≤10C．﹣2≤n′≤1D．﹣2≤n′≤10
【解答】解：由题意可知，
当m≥0时，n′＝﹣m2+4m+2﹣4＝﹣（m﹣2）2+2，
∴当0≤m≤4时，﹣2≤n′≤2，
当m＜0时，n′＝m2﹣4m﹣2＝（m﹣2）2﹣6，
∴当﹣2≤m＜0时，﹣2＜n′≤10，
综上，当﹣2≤m≤4时，其限变点P′的纵坐标n'的取值范围是﹣2≤n′≤10，
故选：D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．（3分）抛物线y＝（x﹣1）2+2的顶点坐标是 （1，2） ．
【解答】解：因为y＝（x﹣1）2+2是抛物线的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，2）．
12．（3分）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为 3π ．
【解答】解：该扇形的弧长＝＝3π．
故答案为：3π．
13．（3分）已知点P1（a﹣1，1）和P2（2，b﹣1）关于原点对称，则a+b＝ ﹣1 ．
【解答】解：根据题意得：a﹣1＝﹣2，b﹣1＝﹣1，
解得：a＝﹣1，b＝0．
则a+b＝﹣1．
故答案为：﹣1．
14．（3分）将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线解析式为 y＝2（x﹣2）2+3 ．
【解答】解：将抛物线y＝2x2向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为y＝2（x﹣2）2+3，
故答案为：y＝2（x﹣2）2+3．
15．（3分）函数y＝x2+bx﹣c的图象经过点（2，4），则2b﹣c的值为 0 ．
【解答】解：把点（2，4）代入函数y＝x2+bx﹣c得：
4+2b﹣c＝4，
则2b﹣c＝4﹣4＝0，
故答案为：0．
16．（3分）如图，⊙O的内接正六边形ABCDEF边长为cm，则该正六边形的面积为 18 cm2．
【解答】解：过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，
∵⊙O的内接正六边形ABCDEF边长为cm，
∴OA＝OB＝AB＝2cm，
∴OH＝OA•cs30°＝2×＝3（cm），
∴S正六边形ABCDEF＝6S△OAB＝6××＝18（cm）2．
故答案为：18．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题6分，第24、25题每小题6分，共72分）
17．（6分）计算：．
【解答】解：原式＝4+1﹣+﹣1
＝4+1﹣4+﹣1
＝．
18．（6分）解下列一元二次方程：
（1）4x2＝1；
（2）x2﹣5x﹣3＝0．
【解答】解：（1）4x2＝1，
，
∴；
（2）∵a＝1，b＝﹣5，c＝﹣3，
∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×（﹣3）＝37＞0，
∴x＝＝，
∴，．
19．（6分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，2），B（3，4），C（2，6）．
（1）画出△ABC，作它关于y轴对称的图形△A1B1C1．
（2）画出△ABC绕点A顺时针旋转90°的图形△AB2C2．
（3）连接BC2，得到四边形AB2C2B，求四边形AB2C2B的面积．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△AB2C2为所作．
（3）四边形AB2C2B的面积＝4×4﹣×2×1﹣×3×2﹣×2×2﹣×2×2＝8．
20．（8分）二次函数y＝x2+bx+c经过点C（0，5），D（2，﹣3），与x轴交于A，B两点，且A点在B点左侧．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若该二次函数的顶点为点P，连接AP，BP，求△ABP的面积．
【解答】解：（1）将C（0，5），D（2，﹣3）代入y＝x2+bx+c中，
得：，
∴．
∴二次函数解析式为：y＝x2﹣6x+5．
令y＝0，则x2﹣6x+5＝0，
解得：x1＝1，x2＝5．
∵A点在B点左侧，
∴A（1，0），B（5，0）；
（2）∵A（1，0），B（5，0），
∴OA＝1，OB＝5．
∴AB＝OB﹣OA＝4．
∵y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴P（3，﹣4）．
∴△ABP中AB边上的高为4，
∴△ABP的面积为：×4×4＝8．
21．（8分）已知如图，扇形AOB的圆心角为120°，半径OA为9cm．
（1）求扇形AOB的弧长和扇形面积；
（2）若把扇形纸片AOB卷成一个圆锥形无底纸帽，求这个纸帽的高OH．
【解答】解：（1）扇形AOB的弧长＝＝6π（cm），
S扇形AOB＝＝27π（cm2）；
（2）∵扇形AOB的弧长为6πcm，
∴圆锥的底面周长为6πcm，
∴圆锥的底面半径为3cm，
∴OH＝＝6（cm）．
22．（9分）2021年10月18日，博鳌亚洲论坛全球经济发展与安全论坛首届大会在长沙开幕．活动当天，作为国有大型综合性粮油企业，湖南粮食集团携旗下“金健”“裕湘”“金霞”“银光”“新中意”“帅牌”“木本堂”“军粮放心粮油”等最新优质粮油产品亮相经安会．某超市选择其中一种大米进行经销，每千克大米的成本为5元，经试销发现，该大米每天的销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如表所示：
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式（不要求写出自变量取值范围）．
（2）为保证某天获得1600元的销售利润，且要惠及客户，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设一次函数为：y＝kx+b，依题意得：
解得：
函数表达式为：y＝﹣200x+2200；
（2）依题意得：（x﹣5）（﹣200x+2200）＝1600，
整理得：x2﹣16x+63＝0，
解得：x1＝7，x2＝9（舍去），
答该天的销售单价应定为7元．
（3）设利润为w，依题意得：w＝﹣200x2+3200x﹣11000＝﹣200（x﹣8）2+1800
故，当定价为8元时，有最大利润1800元．
23．（9分）如图，正方形ABCD的边长为8，点E是边BC上一点，且BE＝6，以点A为圆心，6为半径的圆交AB于点F，DF与AE交于点H，并与⊙A交于点K．
（1）求证：H是FK的中点；
（2）求DK的长．
【解答】（1）证明：在△ABE与△DAF中，
，
∴△DAF≌△ABE（SAS），
∴∠AFD＝∠BEA，
∴∠AFD+∠BAE＝∠BEA+∠BAE＝90°，
∴AH⊥FK，
由垂径定理，得：FH＝HK，即H是FK的中点；
（2）解：在Rt△DAF中，，
且，
∴，
在Rt△AHF中，，
∴，
∴．
24．（10分）我们把函数图象上横坐标与纵坐标互为相反数的点定义为这个函数图象上的“互反点”．例如在二次函数y＝x2的图象上，存在一点P（﹣1，1），则点P为二次函数y＝x2图象上的“互反点”．
（1）求一次函数y＝﹣2x﹣3的“互反点”．
（2）若二次函数y＝x2﹣（2a+1）x+a只有一个“互反点”，且与y轴交于正半轴，求当1≤x≤3时，y的取值范围．
（3）若对于任意的实数n，在二次函数y＝（m+1）x2+nx+n﹣1的图象上，恒有两个相异的“互反点”，求m的取值范围．
【解答】解：（1）设一次函数y＝﹣2x﹣3的“互反点”为（x，﹣2x﹣3），
则：﹣2x﹣3+x＝0，
解得：x＝﹣3，
∴﹣2x﹣3＝3．
∴一次函数y＝﹣2x﹣3的“互反点”为（﹣3，3）；
（2）设二次函数y＝x2﹣（2a+1）x+a的“互反点”为（x，x2﹣（2a+1）x+a），
则：x2﹣（2a+1）x+a+x＝0．
∴x2﹣2ax+a＝0．
∵二次函数y＝x2﹣（2a+1）x+a只有一个“互反点”，
∴Δ＝（﹣2a）2﹣4a＝0．
即：4a2﹣4a＝0．
解得：a1＝0，a2＝1．
令x＝0，则y＝a，
∴抛物线y＝x2﹣（2a+1）x+a与y轴交于点（0，a）．
∵二次函数y＝x2﹣（2a+1）x+a与y轴交于正半轴，
∴a＞0．
∴a＝1．
∴y＝x2﹣3x+1＝．
∴当x＝时，y有最小值﹣．
当x＝1时，y＝﹣1，
当x＝3时，y＝1．
∴1≤x≤3时，y的取值范围为：﹣≤y≤1．
（3）二次函数y＝（m+1）x2+nx+n﹣1的图象上的“互反点”为（x，（m+1）x2+nx+n﹣1），
则：（m+1）x2+nx+n﹣1+x＝0．
即：（m+1）x2+（n+1）x+n﹣1＝0．
∵二次函数y＝（m+1）x2+nx+n﹣1的图象上，恒有两个相异的“互反点”，
∴Δ1＝（n+1）2﹣4（m+1）（n﹣1）＞0．
∴n2﹣（4m+2）n+4m+5＞0．
∵对于任意的实数n，此不等式恒成立，
∴Δ2＝[﹣（4m+2）]2﹣4×1×（4m+5）＜0．
∴16m2+16m+4﹣16m﹣20＜0，
即：m2﹣1＜0．
解得：﹣1＜m＜1．
∴m的取值范围为：﹣1＜m＜1．
25．（10分）如图，点M（4，0），以点M为圆心，2为半径的圆与x轴交于A、B两点，已知抛物线过点A、点B．
（1）求出抛物线解析式．
（2）点Q（m，2）在抛物线上（其中m≥6），点P为直线x＝1上一个动点，求PQ+PB的最小值．
（3）在第（2）问PQ+PB取得最小值的情况下，若过点P作PE，使得PE为⊙M的切线，点E为切点，求直线PE的解析式．
【解答】解：（1）∵点M（4，0），以点M为圆心，2为半径的圆与x轴交于A、B两点，
∴A（2，0）、B（6，0），
∵抛物线过点A、点B，
∴，解得，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣x+2；
（2）作B关于直线x＝1的对称点B'，连接QB'交直线x＝1于P，如图：
∵B、B'关于直线x＝1对称，
∴PB＝PB'，
∵Q、P、B'共线，
∴B'Q的长度即为PB+PQ的最小值，
∵Q（m，2）在抛物线y＝x2﹣x+2上，
∴2＝m2﹣m+2，解得m＝0（舍去）或m＝8，
∴Q（8，2），
而B（6，0）关于直线x＝1的对称点B'（﹣4，0），
∴B'Q＝＝2，即PB+PQ的最小值为2；
（3）设PE交x轴于K，过M作MT⊥x轴交PE于T，连接EM，如图：
由B'（﹣4，0），Q（8，2）可得直线B'Q为y＝x+，
令x＝1得y＝，
∴P（1，），
设直线PE解析式为y＝kx+b，
则＝k+b，即得b＝﹣k，
∴直线PE解析式为y＝kx+﹣k，
令y＝0得x＝1﹣＝，
∴K（，0），
令x＝4得y＝3k+＝，
∴T（4，），
∴KT＝＝||，
∵PE与⊙M相切，
∴EM⊥PE，
∴2S△KTM＝KM•TM＝KT•EM，
∴||×2＝（4﹣）•||，
整理化简得：180k2+180k﹣119＝0，
解得k＝﹣+或﹣﹣，
∴直线PE解析式为：y＝（﹣+）x+﹣或y＝（﹣﹣）x++．
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