(新高考)高考数学一轮复习题型归纳学案专题05函数5.4《对数函数》（解析版）

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专题四 《函数》学案
5.4对数函数
知识梳理.对数函数
1．对数
概念
如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底数N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数，logaN叫做对数式
性质
对数式与指数式的互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)
loga1＝0，logaa＝1，alogaN＝N(a>0，且a≠1)
运算法则
loga(M·N)＝logaM＋logaN
a>0，且a≠1，M>0，N>0
loga＝logaM－logaN
logaMn＝nlogaM(n∈R)
换底公式
logab＝(a>0，且a≠1，c>0，且c≠1，b>0)

2．对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象与性质
底数
a>1
0 图
象


性
质
定义域：(0，＋∞)
值域：R
图象过定点(1，0)，即恒有loga1＝0
当x>1时，恒有y>0；
当0 当x>1时，恒有y<0；
当00
在(0，＋∞)上是增函数
在(0，＋∞)上是减函数



题型一. 指、对运算
1．已知函数f（x），则f（）＝　﹣1　
【解答】解：函数f（x），
则f（）＝f（）＝f（）＝…＝f（）＝log21．
故答案为：﹣1．
2．已知函数f（x）满足：x≥4，则f（x）＝2x；当x＜4时f（x）＝f（x+1），则f（23）＝　　．
【解答】解：∵函数f（x）满足：x≥4，则f（x）＝2x；
当x＜4时f（x）＝f（x+1），
又∵23∈（0，1），
∴f（23）＝f[4+（23）]＝f（23）＝f（），
故答案为：
3．已知a＞b＞1，若logab+logba，则a，b的值分别为（　　）
A．a＝5，b＝2 B．a＝4，b＝2 C．a＝8，b＝4 D．
【解答】解：由，得，
从而b2b＝ba⇒a＝2b，则b＝2，a＝4．
故选：B．
4．设a＝log0.20.3，b＝log20.3，则（　　）
A．a+b＜ab＜0 B．ab＜a+b＜0 C．a+b＜0＜ab D．ab＜0＜a+b
【解答】解：∵a＝log0.20.3，b＝log20.3，
∴，
，
∵，，
∴ab＜a+b＜0．
故选：B．

题型二. 比较大小
1．（2017秋•信丰县校级月考）设a＝log32，b＝ln2，c，则a、b、c三个数的大小关系是（　　）
A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a
【解答】解：∵0＜ln2＜lne＝1，ln3＞1，
∴log32ln2，
∴a＜b＜1，
∵c50＝1，
∴c＞b＞a，
故选：D．
2．已知a＝log36，b＝log510，c＝log714，则a，b，c的大小关系是（　　）
A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．a＜b＜c D．b＜a＜c
【解答】解：a＝log36＝1+log32，b＝log510＝1+log52，c＝log714＝1+log72，
而log32＞log52＞log72，
∴c＜b＜a．
故选：B．
3．（2016•新课标Ⅰ）若a＞b＞1，0＜c＜1，则（　　）
A．ac＜bc B．abc＜bac
C．alogbc＜blogac D．logac＜logbc
【解答】解：∵a＞b＞1，0＜c＜1，
∴函数f（x）＝xc在（0，+∞）上为增函数，故ac＞bc，故A错误；
函数f（x）＝xc﹣1在（0，+∞）上为减函数，故ac﹣1＜bc﹣1，故bac＜abc，即abc＞bac；故B错误；
logac＜0，且logbc＜0，logab＜1，即1，即logac＞logbc．故D错误；
0＜﹣logac＜﹣logbc，故﹣blogac＜﹣alogbc，即blogac＞alogbc，即alogbc＜blogac，故C正确；
故选：C．
4．（2020•新课标Ⅲ）已知55＜84，134＜85．设a＝log53，b＝log85，c＝log138，则（　　）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b
【解答】解：由，
∵，而
∴log53＜log85，
即a＜b；
∵55＜84，∴5＜4log58，∴log58＞1.25，∴b＝log85＜0.8；
∵134＜85，∴4＜5log138，∴c＝log138＞0.8，∴c＞b，
综上，c＞b＞a．
故选：A．
5．若，，，则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞a＞c
【解答】解：令，，
∴x＞e时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（e，+∞）上单调递减，
又f（4），，
∴f（3）＞f（4）＞f（5），
∴b＞a＞c．
故选：D．
6．（2017•新课标Ⅰ）设x、y、z为正数，且2x＝3y＝5z，则（　　）
A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z
【解答】解：x、y、z为正数，
令2x＝3y＝5z＝k＞1．lgk＞0．
则x，y，z．
∴3y，2x，5z．
∵，．
∴lg0．
∴3y＜2x＜5z．
另解：x、y、z为正数，
令2x＝3y＝5z＝k＞1．lgk＞0．
则x，y，z．
∴1，可得2x＞3y，
1．可得5z＞2x．
综上可得：5z＞2x＞3y．
解法三：对k取特殊值，也可以比较出大小关系．
故选：D．

题型三. 对数函数的图像与性质
1．已知函数f（x）＝lg（ax2+3x+2）的定义域为R，则实数a的取值范围是　（，+∞）　．
【解答】解：根据条件可知ax2+3x+2＞0恒成立，
则a＞0，且△＝9﹣8a＜0，解得a，
故a的取值范围是（，+∞）．
故答案为：（，+∞）．
2．（2014•西城区模拟）已知函数f（x）＝logm（2﹣x）+1（m＞0，且m≠1）的图象恒过点P，且点P在直线ax+by＝1（a＞0，b＞0）上，那么ab的（　　）
A．最大值为 B．最小值为 C．最大值为 D．最小值为
【解答】解：当2﹣x＝1，即x＝1时，y＝f（1）＝logm（2﹣1）+1＝1，
∴函数f（x）的图象恒过点P（1，1）；
又点P在直线ax+by＝1（a＞0，b＞0）上，
∴a+b＝1，
∴ab，
当且仅当a＝b时，“＝”成立．
故选：A．
3．（2020春•吉林期末）函数y＝|lg（x+1）|的图象是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由于函数y＝lg（x+1）的图象可由函数y＝lgx的图象左移一个单位而得到，函数y＝lgx的图象与X轴的交点是（1，0），
故函数y＝lg（x+1）的图象与X轴的交点是（0，0），即函数y＝|lg（x+1）|的图象与X轴的公共点是（0，0），
考察四个选项中的图象只有A选项符合题意
故选：A．
4．（2008•山东）已知函数f（x）＝loga（2x+b﹣1）（a＞0，a≠1）的图象如图所示，则a，b满足的关系是（　　）

A．0＜a﹣1＜b＜1 B．0＜b＜a﹣1＜1
C．0＜b﹣1＜a＜1 D．0＜a﹣1＜b﹣1＜1
【解答】解：∵函数f（x）＝loga（2x+b﹣1）是增函数，
令t＝2x+b﹣1，必有t＝2x+b﹣1＞0，
t＝2x+b﹣1为增函数．
∴a＞1，∴01，
∵当x＝0时，f（0）＝logab＜0，
∴0＜b＜1．
又∵f（0）＝logab＞﹣1＝loga，
∴b，
∴0＜a﹣1＜b＜1．
故选：A．
5．（2020秋•西安月考）已知函数f（x）＝lg，则f（x）是（　　）
A．非奇非偶函数，且在（0，+∞）上单调递增
B．奇函数，且在R上单调递增
C．非奇非偶函数，且在（0，+∞）上单调递减
D．偶函数，且在R上单调递减
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝lg，有0，即ex﹣e﹣x＞0，解可得x＞0，
即函数的定义域为（0，+∞），不关于原点对称，是非奇非偶函数，
设t，其导数t′0，则t在区间（0，+∞）上为增函数，
则y＝lgt，在（0，+∞）上为增函数，
故f（x）在（0，+∞）上单调递增，
故选：A．

题型四. 复合函数的单调性与值域
1．（2019秋•泸州月考）已知函数y＝loga（1﹣ax）在（1，2）上是增函数，则a的取值范围是（　　）
A．（1，2） B．[1，2] C． D．
【解答】解：∵a＞0且a≠1，
∴内层函数t＝1﹣ax为减函数，
要使函数y＝loga（1﹣ax）在（1，2）上是增函数，
则，解得0＜a．
∴a的取值范围是（0，]．
故选：D．
2．（2018秋•和平区校级期中）若函数y＝loga（x2﹣ax+2）在区间（﹣∞，1]上为减函数，则a的取值范围是　[2，3）　．
【解答】解：令g（x）＝x2﹣ax+2（a＞0，且a≠1），
①当a＞1时，g（x）在（﹣∞，1]上为减函数，
∴∴2≤a＜3；
②当0＜a＜1时，g（x）在（﹣∞，1]上为减函数，此时不成立．
综上所述：2≤a＜3．
故答案为：[2，3）．
3．（2017秋•寻乌县校级期中）已知函数f（x）＝log4（ax2﹣4x+a）（a∈R），若f（x）的值域为R，则实数a的取值范围是（　　）
A．[0，2] B．（2，+∞） C．（0，2] D．（﹣2，2）
【解答】解：函数f（x）＝log4（ax2﹣4x+a）（a∈R），
f（x）的值域为R，
只需保证函数y＝ax2﹣4x+a的值域能取到大于等于0的数．
当a＝0时，函数y值域能取到大于等于0的数，
当a≠0时，要使函数y值域能取到大于等于0的数，
则需满足，解得：0＜a≤2．
综上所得：实数a的取值范围是[0，2]．
故选：A．
4．（2016春•大庆校级月考）设a＞0，a≠1，函数f（x）＝loga（x2﹣2x+3）有最小值，则不等式loga（x﹣1）＜0的解集（　　）
A．（﹣∞，2） B．（1，2）
C．（2，+∞） D．（1，2）∪（2，+∞）
【解答】解：当a＞0，a≠1时，函数f（x）＝loga（x2﹣2x+3）有最小值，
∴a＞1，
∵不等式loga（x﹣1）＜0，
∴0＜x﹣1＜1，
解得1＜x＜2．
∴不等式loga（x﹣1）＜0的解集为（1，2）．
故选：B．
5．（2019•陆良县一模）已知函数f（x）＝ln（|x|+1），则使得f（x）＞f（2x﹣1）的x的取值范围是（　　）
A． B．
C．（1，+∞） D．
【解答】解：∵函数f（x）＝ln（|x|+1）为定义域R上的偶函数，
且在x≥0时，函数单调递增，
∴f（x）＞f（2x﹣1）等价为f（|x|）＞f（|2x﹣1|），
即|x|＞|2x﹣1|，
两边平方得x2＞（2x﹣1）2，
即3x2﹣4x+1＜0，
解得x＜1；
∴使得f（x）＞f（2x﹣1）的x的取值范围是（，1）．
故选：A．

题型五.等高线
1．已知函数f（x），若a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围是（　　）
A．（1，10） B．（5，6） C．（10，12） D．（20，24）
【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，
不妨设a＜b＜c，则﹣lga＝lgbc+6∈（0，1），
ab＝1，0c+6＜1，则abc＝c∈（10，12），
故选：C．

2．已知函数，若关于x的方程f（x）＝a有四个根x1，x2，x3，x4，则这四个根之和x1+x2+x3+x4的取值范围是　　．
【解答】解：作函数的图象如下，，
结合图象可知，
当0＜a＜1时，方程有四个不同的解，
如图中的四个交点，
故x1+x2＝﹣2，x3x4＝1且1＜x4＜10；
故2＜x3+x4＜10，
故0＜x1+x2+x3+x4＜8，
即x1+x2+x3+x4的取值范围是，
故答案为：．

题型六.反函数
1．设常数a＞0且a≠1，函数f（x）＝logax，若f（x）的反函数图象经过点（1，2），则a＝　2　．
【解答】解：∵常数a＞0且a≠1，函数f（x）＝logax，f（x）的反函数的图象经过点（1，2），
∴函数f（x）＝logax的图象经过点（2，1），
∴loga2＝1，
解得a＝2．
故答案为：2．
2．设是奇函数，若函数g（x）图象与函数f（x）图象关于直线y＝x对称，则g（x）的值域为（　　）
A． B．
C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D．（﹣2，2）
【解答】解：因为，
所以f（x）的定义域为{x|x＜﹣a﹣1或x＞﹣a}，
因为f（x）是奇函数，
所以﹣a﹣1＝a，解得，
因为函数g（x）图象与函数f（x）图象关于直线y＝x对称，
所以g（x）与f（x）互为反函数，
故g（x）的值域为．
故选：A．
3．若x1满足2x＝5﹣x，x2满足x+log2x＝5，则x1+x2等于（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：由题意 x1+2x1＝5①，x2+log2x2＝5 ②，所以 5﹣x1＝2x1，故有 5﹣x2＝log2x2．
故 x1和 x2是直线y＝5﹣x和曲线y＝2x、曲线y＝log2x交点的横坐标．
再根据函数y＝2x 和函数y＝log2x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称，
故曲线y＝2x 和曲线y＝log2x的图象交点关于直线y＝x对称．
即点（ x1，5﹣x1）和点（ x2，5﹣x2）构成的线段的中点在直线y＝x上，
即，求得x1+x2＝5，
故选：D．

课后作业.基本初等函数
1．已知x＝lnπ，yπ，z＝e﹣2，则（　　）
A．x＜y＜z B．y＜x＜z C．y＜z＜x D．z＜y＜x
【解答】解：∵x＝lnπ＞1，yπ＜0，0＜z＝e﹣2＜e0＝1，
∴y＜z＜x．
故选：C．
2．若函数f（x）＝ax（a＞0且a≠1）在R上为减函数，则函数y＝loga（|x|﹣1）的图象可以是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由函数f（x）＝ax﹣a﹣x（a＞0且a≠1）在R上为减函数，
故0＜a＜1．函数y＝loga（|x|﹣1）是偶函数，定义域为{x|x＞1或x＜﹣1}，
函数y＝loga（|x|﹣1）的图象，x＞1时是把函数y＝logax的图象向右平移1个单位得到的，
故选：D．
3．若函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）在[﹣1，2]上的最大值为4，最小值为m，且函数在[0，+∞）上是增函数，则a＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：①若a＞1，则函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）在[﹣1，2]上单调递增，
则由f（2）＝4，得a2＝4，解得a＝2．此时最小值m＝f（﹣1）．
②若0＜a＜1，则函数f（x）＝ax（a＞0，a≠1）在[﹣1，2]上单调递减，
则由f（﹣1）＝4，得a﹣1＝4，解得a．此时最小值m＝f（2）＝（）．
∴m或．
∵函数在[0，+∞）上是增函数，
∴1﹣4m＞0，解得m．
综上：m，此时a．
故选：A．
4．已知定义在R上的函数f（x）＝2|x﹣m|﹣1（m为实数）为偶函数，记a＝f（log0.53），b＝f（log25），c＝f（2+m），则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，
∴f（x）＝f（﹣x）在R上恒成立，∴m＝0，
∴当x≥0时，易得f（x）＝2|x|﹣1为增函数，
∴a＝f（log0.53）＝f（log23）
∵log23＜2＜log25，∴a＜c＜b，
故选：B．
5．已知函数f（x）＝|lgx|，若0＜a＜b且f（a）＝f（b），则a+2b的取值范围为　（3，+∞）　．
【解答】解：画出y＝|lgx|的图象如图：
∵0＜a＜b，且f（a）＝f（b），
∴|lga|＝|lgb|且0＜a＜1，b＞1
∴﹣lga＝lgb
即ab＝1
∴y＝a+2b＝a，a∈（0，1）
∵y＝a在（0，1）上为减函数，
∴y＞1+2＝3
∴a+2b的取值范围是（3，+∞）
故答案为：（3，+∞）

6．已知函数f（x）＝loga（x+1），g（x）＝loga（1﹣x）（a＞0，a≠1），则（　　）
A．函数f（x）+g（x）的定义域为（﹣1，1）
B．函数f（x）+g（x）的图象关于y轴对称
C．函数f（x）+g（x）在定义域上有最小值0
D．函数f（x）﹣g（x）在区间（0，1）上是减函数
【解答】解：f（x）+g（x）＝loga（x+1）+loga（1﹣x）
所以，解得﹣1＜x＜1，
函数f（x）+g（x）的定义域为（﹣1，1），故A正确，
f（﹣x）+g（﹣x）＝loga（﹣x+1）+loga（1+x），
所以f（x）+g（x）＝f（﹣x）+g（﹣x），
所以函数f（x）+g（x） 是偶函数，图象关于y轴对称，故B正确，
f（x）+g（x）＝loga（x+1）+loga（1﹣x）＝loga（x+1）（1﹣x）＝loga（﹣x2+1）
令t＝﹣x2+1，则y＝logat，
在x∈（﹣1，0）上，t＝﹣x2+1单调递增，
在x∈（0，1）上，t＝﹣x2+1单调递减，
当a＞1时，y＝logat单调递增，
所以在x∈（﹣1，0）上，f（x）+g（x）单调递增，
在x∈（0，1）上，f（x）+g（x）单调递减，
所以函数f（x）+g（x）没有最小值，
当0＜a＜1时，y＝logat单调递减，
所以在x∈（﹣1，0）上，f（x）+g（x）单调递减，
在x∈（0，1）上，f（x）+g（x）单调递增，
所以函数f（x）+g（x）有最小值为f（0）+g（0）＝0，故C错．
f（x）﹣g（x）＝loga（x+1）﹣loga（1﹣x）＝logaloga（﹣1）
令t＝﹣1，y＝logat
在x∈（﹣1，1）上，t＝﹣1单调递增，
当a＞1时，f（x）+g（x）在（﹣1，1）单调递增，
当0＜a＜1时，f（x）+g（x）在（﹣1，1）单调递减，故D错．
故选：AB．