(新高考)高考数学一轮复习小题多维练考点02《常用逻辑用语》（解析版）

这是一份(新高考)高考数学一轮复习小题多维练考点02《常用逻辑用语》（解析版），共22页。试卷主要包含了四种命题的真假关系，充分条件，复合命题及其真假，全称量词和存在量词等内容，欢迎下载使用。
考点02 常用逻辑用语

知识点1、四种命题的真假关系
例1.命题“△ABC中，若AB2+BC2＜AC2，则△ABC是钝角三角形”与它的逆命题、否命题、逆否命题这四个命题中，真命题的个数是（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【分析】根据题意，由余弦定理分析可得原命题为真而其逆命题为假，结合四种命题的关系分析可得答案．
【解答】解：根据题意，原命题为“△ABC中，若AB2+BC2＜AC2，则△ABC是钝角三角形”，
若AB2+BC2＜AC2，则cosB＝＜0，则B为钝角，则△ABC是钝角三角形，
则原命题是真命题，
其逆命题为“若△ABC是钝角三角形，则AB2+BC2＜AC2”，
△ABC是钝角三角形，而B不一定是钝角，即AB2+BC2＜AC2不一定成立，
则其逆命题是假命题，
则原命题的逆否命题为真，否命题为假，
故有2个是真命题；
故选：C．
【知识点】四种命题的真假关系、命题的真假判断与应用

练习：
1.已知原命题：已知ab＞0，若a＞b，则＜，则其逆命题、否命题、逆否命题和原命题这四个命题中真命题的个数为（　　）
A．0 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据四种命题之间的关系，写出原命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断真假性．
【解答】解：原命题：已知ab＞0，若a＞b，则＜，
∵ab＞0，∴＞0，
又a＞b，∴＞，
即＞，即＜，原命题是真命题；
逆命题：已知ab＞0，若＜，则a＞b，
∵ab＞0，＜，
∴＜，
即b＜a，即a＞b，逆命题是真命题；
否命题：已知ab＞0，若a≤b，则≥，
由逆否命题真假性相同，判断否命题是真命题；
逆否命题：已知ab＞0，若≥，则a≤b，
由逆否命题真假性相同，判断它是真命题；
综上，这四个命题中真命题有4个．
故选：D．
【知识点】四种命题、四种命题的真假关系
2.下列说法中正确的是（　　）
A．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
B．“a＞b”是“a+c＞b+c”的充分不必要条件
C．“若a2+b2＝0，则a，b全为0．”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2+b2≠0
D．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
【答案】A
【分析】根据一个命题的否命题与它的逆命题互为逆否命题，真假性相同，判断A正确；
根据题意判断充分性与必要性是否成立，得出B错误；
根据“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，判断C错误；
根据一个命题的逆命题与它的逆否命题真假性不同，判断D错误．
【解答】解：对于A，一个命题的否命题与它的逆命题互为逆否命题，它们的真假性相同，∴A正确；
对于B，“a＞b”时“a+c＞b+c”成立，
“a+c＞b+c”时“a＞b”也成立，是充要条件，∴B错误；
对于C，“若a2+b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是
“若a，b不全为0，则a2+b2≠0”，∴C错误；
对于D，一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题不一定为真，∴D错误．
故选：A．
【知识点】四种命题的真假关系

3.有下列命题：
①终边相同的角的同名三角函数的值相等；
②终边不同的角的同名三角函数的值不等；
③若sinα＞0，则α是第一，二象限的角；
④若sinα＝sinβ，则α＝2kπ+β，k∈Z；
⑤已知α为第二象限的角，则为第一象限的角．其中正确命题的序号有　　　．
【答案】①
【分析】根据三角函数的定义，终边相同的角所有的三角函数的值均相等；终边不同的角如果终边关于X轴对称，则余弦值相等，终边关于Y轴对称，则正弦值相等，终边关于原点对称，则正切值相等；若sinα＞0，则α的终边落在第I、II象限或Y轴的非负半轴上；若sinα＝sinβ，则α、β的终边重合或关于Y轴对称；若α为第二象限的角，则为第I、III象限的解，据此逐一对5个结论进行分析即可得到正确的答案．
【解答】解：三角函数的定义得，①正确；
与﹣的终边不同，但cos＝cos（﹣），故②错误；
若α＝，则sinα＞0，但α不是第一，二象限的角，故③错误；
令α＝，β＝，则sinα＝sinβ，但α≠2kπ+β，k∈Z，故④错误；
α＝为第二象限的角，但＝为第三象限的角，故⑤错误．
故答案为：①
【知识点】终边相同的角、象限角、轴线角、四种命题的真假关系
4.已知：命题“若函数f（x）＝ex﹣mx在（0，+∞）上是增函数，则m≤1，则
①否命题是“若函数f（x）＝ex﹣mx在（0，+∞）上是减函数，则m＞1，”，是真命题；
②逆命题是“若m≤1，则函数f（x）＝ex﹣mx在（0，+∞）上是增函数”，是假命题；
③逆否命题是“若m＞1，则函数在f（x）＝ex﹣mx（0，+∞）上是减函数”，是真命题；
④逆否命题是“若m＞1，则函数f（x）＝ex﹣mx在（0，+∞）上不是增函数”，是真命题．
其中正确结论的序号是　　　．（填上所有正确结论的序号）
【答案】④
【分析】先分别判断原命题的真假，再结合四种命题的关系和各命题的形式进行判断．
【解答】解：“若函数f（x）＝ex﹣mx在（0，+∞）上是增函数，则f'（x）＝ex﹣m≥0在（0，+∞）上恒成立，
即m≤ex在（0，+∞）上恒成立，故m≤1．则原命题正确．
①原命题的否命题是“若函数f（x）＝ex﹣mx在（0，+∞）上不是减函数，则m＞1”，因为“增函数”的否定不是“减函数”，所以①错误．
②逆命题是“若m≤1，则函数f（x）＝ex﹣mx在（0，+∞）上是增函数”．当m≤1，则f'（x）＝ex﹣m＞0在（0，+∞）恒成立，故逆命题正确．所以②错误．
③逆否命题是“若m＞1，则函数在f（x）＝ex﹣mx（0，+∞）上不是减函数”，所以③错误．
④逆否命题是“若m＞1，则函数f（x）＝ex﹣mx在（0，+∞）上不是增函数”，因为原命题和逆否命题为等价命题，所以④为真命题，所以④正确．
故只有有④正确．
故答案为：④．
【知识点】四种命题的真假关系

知识点2、充分条件、必要条件和充要条件
例1.设x∈R，则“2x＞4”是“x2+2x﹣3＞0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】解不等式，根据取值范围即可判断逻辑关系．
【解答】解：由2x＞4⇒x＞2，
由x2+2x﹣3＞0⇒（x﹣1）（x+3）＞0，解得：x＜﹣3或x＞1，
由x＞2，能够推出x2+2x﹣3＞0，
故“2x＞4”是“x2+2x﹣3＞0”的充分条件，
由x＜﹣3或x＞1，不能够推出2x＞4，
故“2x＞4”是“x2+2x﹣3＞0”的不必要条件．
故选：A．
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件

练习：
1.已知||＝3，||＝4，则“|+|＝7”是“向量与共线”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据|+|＝7，得到两个向量的夹角为0，又向量与共线，可得两个向量的夹角为0或π，结合充分条件和必要条件的定义，分析即可．
【解答】解：因为|+|＝7，则有，
又||＝3，||＝4，
则有cosθ＝1，所以θ＝0，
又向量与共线，则有θ＝0或π，
所以“|+|＝7”是“向量与共线”的充分而不必要条件．
故选：A．
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件
2.下列叙述正确的是（　　）
A．已知命题p：∃x∈R，使得x2+x+1＜0，则￢p：∀x∈R，均有x2+x+1＞0
B．命题“已知x，y∈R，若x+y≠3，则x≠2或y≠1”是真命题
C．“x＞2”是“x2＞4”的必要不充分条件
D．已知命题p：∀x∈R，x+≥2；命题q：∃x0∈[0，]，使sinx0+cosx0＝，则p∧q为真命题
【答案】B
【分析】由四个命题之间的关系，充分不必要条件，必要不充分条件即可判断．
【解答】解：选项A，￢p：∀x∈R，均有x2+x+1≥0，故A错误；
选项B，逆否命题为：已知x，y∈R，x＝2且y＝1，则x+y＝3；该命题为真命题，故选项B正确；
选项C“x＞2”是“x2＞4”的充分不必要条件，故选项C错误；
选项D，当x＜0时，命题p错误，故选项D错误；
故选：B．
【知识点】命题的真假判断与应用、命题的否定、充分条件、必要条件、充要条件

3.下列不等式：①x＜1；②0＜x＜1；③﹣1＜x＜0；④﹣1＜x＜1；⑤x＞﹣1．其中可以作为x2＜1的一个充分不必要条件的所有序号为　　．
【答案】②③
【分析】根据充分必要条件的定义以及集合的包含关系判断即可．
【解答】解：由x2＜1，解得﹣1＜x＜1，
故①x＜1是必要不充分条件，
②0＜x＜1是充分不必要条件，
③﹣1＜x＜0是充分不必要条件，
④﹣1＜x＜1是充要条件，
⑤x＞﹣1是必要不充分条件，
故选：②③．
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件
4.已知集合A＝{x|（）≤1}，B＝{x|log3（x+a）≥1，a∈R}，若x∈A是x∈B的必要不充分条件，则实数a的取值范围是　　．
【答案】（-∞，0]
【分析】先根据指数函数和对数函数的单调性求出集合A，B，再根据必要不充分条件与集合包含关系之间的联系即可求解．
【解答】解：由（≤1得，x2﹣x﹣6≥0，解得x≤﹣2或x≥3，
由log3（x+a）≥1得，x+a≥3，解得x≥3﹣a，
因为x∈A是x∈B的必要不充分条件，所以B⫋A，
即3﹣a≥3，解得a≤0．
故答案为：（﹣∞，0]
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件

知识点3、复合命题及其真假
例1.已知命题p：∃x∈R，使sinx＝；命题q：∀x∈R，都有x2+x+1＞0，给出下列结论：
①命题“p∧q”是真命题；
②命题“p∧（￢q）”是假命题；
③命题“（￢p）∨q”是真命题；
④命题“（￢p）∨（￢q）”是假命题．
其中正确的是（　　）
A．②④ B．②③ C．③④ D．①②③
【答案】B
【分析】先判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．
【解答】解：∵|sinx|≤1，∴：∃x∈R，使sinx＝错误，即命题p是假命题，
∵判别式△＝1﹣4＝﹣3＜0，∴∀x∈R，都有x2+x+1＞0恒成立，即命题q是真命题，
则①命题“p∧q”是假命题；故①错误，
②命题“p∧（￢q）”是假命题；故②正确，
③命题“（￢p）∨q”是真命题；故③正确，
④命题“（￢p）∨（￢q）”是真命题．故④错误，
故选：B．
【知识点】复合命题及其真假

练习：
1.已知命题p：∀x∈R，x2﹣x+1＜0；命题q：∃x∈R，x2＞x3，则下列命题中为真命题的是（　　）
A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q
【答案】B
【分析】根据条件判断命题p，q的真假，结合复合命题真假关系进行判断即可．
【解答】解：x2﹣x+1＝（x﹣）2+＞0恒成立，故命题p：∀x∈R，x2﹣x+1＜0为假命题，
当x＝﹣1时，x2＞x3，成立，即命题q：∃x∈R，x2＞x3，为真命题，
则￢p∧q为真，其余为假命题，
故选：B．
【知识点】复合命题及其真假
2.命题p：“关于x的方程x2+ax+2＝0的一个根大于1，另一个根小于1”
命题q：“函数的定义域内为减函数”．
若p∨q为真命题，则实数a的取值范围是（　　）
A．（﹣3，+∞） B．（﹣∞，﹣3） C．（﹣∞，3] D．R
【答案】B
【分析】求出命题p为真命题的a的范围，再由导数研究函数h（x）的单调性，可得命题q为假命题，由p∨q为真命题，得p为真命题，由此可得a的范围．
【解答】解：由关于x的方程x2+ax+2＝0的一个根大于1，另一个根小于1，
得12+a+2＜0，则a＜﹣3，
即p：a＜﹣3；
由，得h′（x）＝＝（x≠0）．
当x＞0时，h′（x）＜0，
当x＜0时，令g（x）＝﹣xex﹣1，g′（x）＝﹣ex（x+1），
若x＜﹣1时，g′（x）＞0，若﹣1＜x＜0时，g′（x）＜0，
∴g（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，在（﹣1，0）上单调递减．
∴＜0，即h′（x）＜0．
∴h（x）在（﹣∞，0）上为单调减函数，在（0，+∞）上为单调减函数．
∴命题q为假命题．
要使p∨q为真命题，则命题p为真命题，即a＜﹣3．
∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣3）．
故选：B．
【知识点】复合命题及其真假

3.已知m＞0，命题p：函数f（x）＝logm（2﹣mx）在[0，1]上单调递减，命题q：函数g（x）＝的定义域为R，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求m的取值范围　　．
【答案】[2，+∞）
【分析】直接利用函数的单调性，函数的定义域的应用和真值表的应用求出结果．
【解答】解：命题p：函数f（x）＝logm（2﹣mx）在[0，1]上单调递减，
由于m＞0，设u（x）＝2﹣mx，在x∈[0，1]上单调递减，
所以，解得1＜m＜2．
命题q：函数g（x）＝的定义域为R，
所以k（x）＝x2+2x+m满足△＝4﹣4m＜0，解得m＞1．
由于p∧q为假命题，p∨q为真命题，
故①p真q假，，故m＝∅．
②p假q真，，解得m≥2．
综上所述：参数m的取值范围为[2，+∞）．
【知识点】复合命题及其真假
4.已知命题p：∃x∈R，（m+1）（x2+1）≤0，命题q：∀x∈R，x2+mx+1＞0恒成立．p∧q为假命题，则实数m的取值范围为　　　　　　　．
【答案】[2，+∞）
【分析】因为且命题为假，所以p与q都假，根据p与q都假求出m的范围再相交．
【解答】解：因为p∧q为假命题，所以p与q都是假命题，
由p是假命题得：m+1＞0，解得m＞﹣1；
由q是假命题得：△=m2﹣4≥0，解得m≤﹣2或m≥2，
∴，∴m≥2，
故答案为：[2，+∞）．
【知识点】复合命题及其真假


知识点4、全称量词和存在量词
例1.下列命题中是全称量词命题，并且又是真命题的是（　　）
A．π是无理数
B．∃x0∈N，使2x0为偶数
C．对任意x∈R，都有x2+2x+1＞0
D．所有菱形的四条边都相等
【答案】D
【分析】根据题意，依次分析选项，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，π是无理数，是真命题，但不是全称量词命题，不符合题意，
对于B，∃x0∈N，使2x0为偶数，不是全称量词命题，不符合题意，
对于C，对任意x∈R，都有x2+2x+1＞0，是全称量词命题，
但当x＝﹣1时，x2+2x+1＝0，为假命题，不符合题意，
对于D，所有菱形的四条边都相等，是全称量词命题并且是真命题，符合题意，
故选：D．
【知识点】命题的真假判断与应用、全称量词和全称命题

练习
1.已知命题“∃x∈R，使4x2+x+”是假命题，则实数a的取值范围是（　　）
A．a＜0 B．0≤a≤4 C．a≥4 D．
【答案】D
【分析】根据特称命题的真假关系即可得到结论．
【解答】解：∵命题“∃x∈R，使4x2+x+（a﹣2）≤0”是假命题，
∴命题“∀x∈R，使4x2+x+（a﹣2）＞0”是真命题，
即判别式△＝12﹣4×4×（a﹣2）＜0，
即a＞，
故选：D．
【知识点】存在量词和特称命题
2.函数f（x）满足f'（x）＝f（x）+，x∈[，+∞），f（1）＝﹣e，若存在a∈[﹣2，1]，使得f（2﹣）≤a3﹣3a﹣2﹣e成立，则m的取值范围是（　　）
A．[，1] B．[，+∞） C．[1，+∞） D．[，]
【答案】A
【分析】由已知可设函数f（x）＝exlnx﹣ex，结合函数的导数以及单调性求出m的范围即可．
【解答】解：∵f′（x）＝f（x）+，x∈[，+∞），
∴令f（x）＝exlnx﹣ex，
则f′（x）＝＝，
由f′（x）＝＝，
令t（x）＝，则，
当x＝1时，t（x）取得最小值为0，
∴f′（x）＞0，则f（x）在（0，+∞）上是增函数．
若存在a∈[﹣2，1]，使得f（2﹣）≤a3﹣3a﹣2﹣e成立，
只需求出a∈[﹣2，1]时，a3﹣3a﹣2﹣e的最大值且使f（2﹣）小于等于这个最大值．
设g（a）＝a3﹣3a﹣2﹣e，a∈[﹣2，1]，
g′（a）＝3a2﹣3＝3（a+1）（a﹣1），
当a∈（﹣2，﹣1）时，g′（a）＞0，g（a）为增函数，
当a∈（﹣1，1）时，g′（a）＜0，g（a）为减函数，
∴当a＝﹣1时，g（a）max＝﹣e，即当a＝﹣1时，g（a）＝﹣e．
又∵f（x）＝exlnx﹣ex是增函数且f（1）＝﹣e．
∴，
∴m∈[，1]．
故选：A．
【知识点】存在量词和特称命题
3.已知函数．f（x）＝ax2+2x﹣ex，若对∀m，n∈（0，+∞），m＞n，都有成立，则a的取值范围是（　　）
A． B．（﹣∞，1] C． D．（﹣∞，e]
【答案】C
【分析】根据条件将问题转化为y＝f（x）﹣2x在（0，+∞）单调递增，进一步转化为a≤在（0，+∞）上恒成立问题，求出函数y＝的最小值即可．
【解答】解：∵f（x）对∀m，n∈（0，+∞），m＞n，都有成立，
∴f（x）对∀m，n∈（0，+∞），m＞n，都有f（m）﹣2m＜f（n）﹣2n，
令g（x）＝f（x）﹣2x＝ax2﹣ex，则g（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴g'（x）＝2ax﹣ex≤0，在（0，+∞）上恒成立，
∴a≤在（0，+∞）上恒成立，
令h（x）＝（x＞0），则
h'（x）＝，
令h'（x）＝0，则x＝1，
∴当x＞1时，h'（x）＞0，此时h（x）递减；当0＜x＜1时，h'（x）＜0，此时h（x）递增，
∴，
∴要使∴a≤在（0，+∞）上恒成立，
只需a≤，
∴a的取值范围为：（﹣∞，]．
故选：C．
【知识点】利用导数研究函数的单调性、全称量词和全称命题

4.写出一个使得命题“∀x∈R，ax2﹣2ax+3＞0恒成立”是假命题的实数a的值：　　．
【答案】-1
【分析】将条件转化为“∃x∈R，ax2﹣2ax+3≤0成立，检验a＝0是否满足条件，当a≠0 时，必须a＜0或，从而解出实数a的取值范围，进而得解．
【解答】解：命题“ax2﹣2ax+3＞0恒成立”是假命题，即“∃x∈R，ax2﹣2ax+3≤0成立”是真命题 ①．
当a＝0时，①不成立，
当a≠0 时，要使①成立，必须a＜0，或，
∴a＜0或a≥3
故答案为：﹣1．
【知识点】全称量词和全称命题
5.已知f（x）＝xex，g（x）＝﹣（x+1）2+a，若∃x1，x2∈[﹣2，0]，使得f（x2）≤g（x1）成立，则实数a的取值范围是　　．

【分析】∃x1，x2∈[﹣2，0]，使得f（x2）≤g（x1）成立，等价于f（x）min≤g（x）max，利用导数可求得f（x）的最小值，根据二次函数的性质可求得g（x）的最大值，代入上述不等式即可求得答案．
【解答】解：∃x1，x2∈[﹣2，0]，使得f（x2）≤g（x1）成立，等价于f（x）min≤g（x）max，
f′（x）＝ex+xex＝（1+x）ex，
当x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）递减，当x＞﹣1时，f′（x）＞0，f（x）递增，
所以当x＝﹣1时，f（x）取得最小值f（x）min＝f（﹣1）＝﹣；
当x＝﹣1时g（x）取得最大值为g（x）max＝g（﹣1）＝a，
所以﹣≤a，即实数a的取值范围是a≥﹣．
故答案为：[﹣，+∞）．
【知识点】存在量词和特称命题


1.“a＝2”是“函数f（x）＝|x﹣a|在区间[2，+∞）上为增函数”的（　　）
A．充分条件不必要 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】结合函数的单调性，利用充分条件和必要条件的定义进行判断．
【解答】解：∵函数f（x）＝|x﹣a|在区间[a，+∞）上为增函数，
∴要使函数f（x）＝|x﹣a|在区间[2，+∞）上为增函数，则a≤2，
∴“a＝2”是“函数f（x）＝|x﹣a|在区间[2，+∞）上为增函数”充分不必要条件．
故选：A．
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件
2.若m，n都是正整数，则m+n＞mn成立的充要条件是（　　）
A．m＝n＝2 B．m＝n＝1
C．m＞1且n＞1 D．m，n至少有一个为1
【答案】B
【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的解法，进行判断即可．
【解答】解：因为m+n＞mn，
所以（m﹣1）（n﹣1）＜1．
而m，n∈N*，所以（m﹣1）（n﹣1）∈Z，所以（m﹣1）（n﹣1）＝0．
所以m＝n＝1．
故选：B．
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件
3.以下说法中正确的是（　　）
①∀x∈R，x2﹣x+1＞0；
②若p∨q为真命题，则p∧q为真命题；
③∀x∈R，x2＞0的否定是∃x0∈R，使x02≤0；
④“若x＞y，则x2＞y2”的逆否命题为真命题．
A．①② B．①③ C．②③ D．③④
【答案】B
【分析】利用二次函数的图象判断选项①，利用复合命题的真假法判断选项②，利用含有量词的命题的否定判断选项③，利用原命题的真假可判断选项④．
【解答】解：函数y＝x2﹣x+1的图象开口向上，且△＝（﹣1）2﹣4＜0，
所以∀x∈R，x2﹣x+1＞0，故选项①正确；
因为p∨q为真命题，则其中一个为假命题或者都是真命题，
因此p∧q不一定为真命题，故选项②错误；
含有量词的命题的否定是：先改变对应的量词，再否定结论，
所以∀x∈R，x2＞0的否定是∃x0∈R，使x02≤0，故选项③正确；
取x＝﹣1，y＝﹣3，则x＞y，但x2＜y2，
所以原命题为假命题，则它的逆否命题为假命题，故选项④错误．
故选：B．
【知识点】命题的真假判断与应用
4.设命题p：∃x0∈（0，+∞），x02≤x0﹣2，则￢p为（　　）
A．∃x0∈（0，+∞），x02＞x0﹣2 B．∀x∈（0，+∞），x2≤x﹣2
C．∃x0∈（0，+∞），x02≥x0﹣2 D．∀x∈（0，+∞），x2＞x﹣2
【答案】D
【分析】根据特称命题的否定是全称命题，写出即可．
【解答】解：命题p：∃x0∈（0，+∞），x02≤x0﹣2，
则￢p为∀x∈（0，+∞），x2＞x﹣2．
故选：D．
【知识点】命题的否定
5.下列命题正确的是（　　）
A．命题“∃x∈R，使得2x＜x2”的否定是“∃x∈R，使得2x≥x2”
B．若a＞b，c＜0，则
C．若函数f（x）＝x2﹣kx﹣8（k∈R）在[1，4]上具有单调性，则k≤2
D．“x＞3”是“x2﹣5x+6＞0”的充分不必要条件
【答案】D
【分析】A由命题的否命题，既要对条件否定，也要对结论否定，注意否定形式，可判断；
B由条件，注意举反例，即可判断；
C由二次函数的图象，即可判断；
D先求出不等式x2﹣5x+6＞0的解集，再由充分必要条件的定义，即可判断．
【解答】解：对于A，命题“∃x∈R，使得2x＜x2”的否定是“∀x∈R，使得2x≥x2”，故A错误；
对于B，由条件知，比如a＝2，b＝﹣3，c＝﹣1，则＝﹣＜＝，故B错误；
对于C，若函数f（x）＝x2﹣kx﹣8（k∈R）在[1，4]上具有单调性，则≤1或≥4，故k≤2或k≥8，故C错误；
对于D，x2﹣5x+6＞0的解集为{x|x＜2或x＞3}，故“x＞3”是“x2﹣5x+6＞0”的充分不必要条件，正确．
故选：D．
【知识点】命题的真假判断与应用
6.设命题p：∃x∈R，2x＞2012，则￢p为（　　）
A．∀x∈R，2x≤2012 B．∀x∈R，2x＞2012
C．∃x∈R，2x≤2012 D．∃x∈R，2x＜2012
【答案】A
【分析】根据已知中命题p为：∃x∈R，2x＞2012，结合存在性命题的否定方法，我们易写出命题￢p，得到答案．
【解答】解：∵命题p为：∃x∈R，2x＞2012，
∴命题￢p为：∀x∈R，2x≤2012，
故选：A．
【知识点】命题的否定、存在量词和特称命题
7.下列选项错误的是（　　）
A．“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”的充分不必要条件．
B．命题“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”．
C．若命题“p：∀x∈R，x2+x+1≠0”，则“”．
D．若“p∨q”为真命题，则p，q均为真命题．
【答案】D
【分析】由二次不等式的解法和充分必要条件的定义，可判断A；由命题的逆否命题的形式可判断B；
由全称命题的否定为特称命题，可判断C；由复合命题的真值表可判断D．
【解答】解：对于A，x2﹣3x+2＞0化为x＞2或x＜1，由x＞2可得x2﹣3x+2＞0，反之不成立，故A正确；
对于B，“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”的逆否命题是“若x2﹣3x+2＝0，则x＝1”，故B正确；
对于C，命题“p：∀x∈R，x2+x+1≠0”，则“”，故C正确；
对于D，“p∨q”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题，故D错误．
故选：D．
【知识点】命题的真假判断与应用
8.已知定义在R上的两个函数y＝f（x）、y＝g（x）的最大值，最小值分别为Mf，mf与Mg，mg．给出如下两个命题：①若Mf＜mg，则不等式f（x）≤a≤g（x）对一切x∈R恒成立的充要条件是Mf≤a≤mg；②若mf＜Mg，则不等式f（x）≤a≤g（x）在x∈R上有解的充要条件是mf≤a≤Mg．关于两个命题的真假，下面判断正确的是（　　）
A．命题①、②均为真命题
B．命题①为真命题，命题②为假命题
C．命题①、②均为假命题
D．命题①为假命题，命题②为真命题
【答案】A
【分析】根据充要条件的定义即可判断．
【解答】解：对于命题①，当不等式f（x）≤a≤g（x）对一切x∈R恒成立，则Mf≤a≤mg，
当Mf≤a≤mg时，不等式f（x）≤a≤g（x）对一切x∈R恒成立，①为真命题；
对于命题②，当不等式f（x）≤a≤g（x）在x∈R上有解，则mf≤a≤Mg，②为真命题．
故选：A．
【知识点】命题的真假判断与应用

9.已知函数f（x）＝ex﹣lnx﹣2，下列说法正确的是　　　　．
①f（x）有且仅有一个极值点；
②f（x）有零点；
③若f（x）极小值点为x0，则0＜f（x0）＜；
④若f（x）极小值点为x0，则＜f（x0）＜1．
【答案】①③
【分析】先求出导函数f'（x），∴，设g（x）＝xex﹣1，x∈（0，+∞），利用导数得到函数g（x）＝xex﹣1在（0，+∞）上单调递增，又∵，g（1）＝e﹣1＞0，故存在唯一x0，使得g（x0）＝0，所以f（x）有且仅有一个极值点，再利用x0，分析f（x0）的范围即可．
【解答】解：f（x）＝ex﹣lnx﹣2，x∈（0，+∞），
∴，
设g（x）＝xex﹣1，x∈（0，+∞），
∴g'（x）＝ex+xex＞0恒成立，
∴函数g（x）＝xex﹣1，在（0，+∞）上单调递增，
又∵，g（1）＝e﹣1＞0，
∴存在唯一x0，使得g（x0）＝0，∴f（x）有且仅有一个极值点，
∵当x时，g（x）＜0，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x∈（x0，1）时，g（x）＞0，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，
∴x0是f（x）的极小值点，且满足x0，
∵，∴，
∴＝，
∵对勾函数y＝x+在（，1）上单调递减，∴，
∴，
∴函数f（x）恒大于0，无零点，
综上所述：正确的是①③，
故答案为：①③．
【知识点】命题的真假判断与应用、利用导数研究函数的极值
10.已知“﹣mx+1≤0”是假命题，则实数m的取值范围为　　　．
【答案】m＜2
【分析】根据特称命题的性质进行求解即可．
【解答】解：∵“﹣mx+1≤0”是假命题，∴对任意的x∈[，2]，x2﹣mx+1＞0恒成立，
∴m＜x+，对任意的x∈[，2]恒成立，
∵x+＝2，当且仅当x＝即x＝1时等号成立，
∴m＜2，
故答案为：m＜2．
【知识点】存在量词和特称命题
11.函数f（x）＝x3﹣12x+3，g（x）＝3x﹣m，若对∀x1∈[﹣1，5]，∃x2∈[0，2]，f（x1）≥g（x2），则实数m的最小值是　　
【答案】14
【分析】根据导数数以及指数函数的性质，分别求出函数f（x），g（x）的最值，问题转化为求只需f（x）min≥g（x）min即可．
【解答】解：f′（x）＝3x2﹣12，
可得f（x）在区间[﹣1，2]递减，在区间[2，5]递增，
∴f（x）min＝f（2）＝﹣13，
g（x）＝3x﹣m，是增函数，∴g（x）min＝1﹣m，
∴只需f（x）min＞g（x）min即可，解得：m＞14，
故答案为：14．
【知识点】全称量词和全称命题
12.下列四个命题中正确的是　　　　．
①已知定义在R上是偶函数y＝f（1+x），则f（1+x）＝f（1﹣x）；
②若函数y＝f（x），x∈D，值域为A（A≠D），且存在反函数，则函数y＝f（x），x∈D与函数x＝f﹣1（y），y∈A是两个不同的函数；
③已知函数，x∈N*，既无最大值，也无最小值；
④函数f（x）＝（2|x|﹣1）2﹣5（2|x|﹣1）+6的所有零点构成的集合共有4个子集．
【答案】①②
【分析】由偶函数的定义可判断①；由互为反函数的定义可判断②；由f（x）的单调性可判断③；由f（x）＝0的解的个数和集合的子集个数，可判断④．
【解答】解：①已知定义在R上是偶函数y＝f（1+x），设F（x）＝f（1+x），可得F（﹣x）＝F（x），
则f（1+x）＝f（1﹣x），故①正确；
②若函数y＝f（x），x∈D，值域为A（A≠D），且存在反函数，
则函数y＝f（x），x∈D与函数x＝f﹣1（y），y∈A，即y＝f﹣1（x），x∈A，由于A≠D
是两个不同的函数，故②正确；
③已知函数，x∈N*，由f（x）在1≤x＜3递减，x＞3递减，可得x＝2时，f（2）取得最小值﹣1，
故③错误；
④函数f（x）＝（2|x|﹣1）2﹣5（2|x|﹣1）+6，由f（x）＝0，可得2|x|﹣1＝2或3，解得x＝±log23或x＝±2，
f（x）的所有零点构成的集合中共有四个元素，共有16个子集，故④错误．
故答案为：①②．
【知识点】命题的真假判断与应用


1.（2020•浙江）已知空间中不过同一点的三条直线l，m，n．则“l，m，n共面”是“l，m，n两两相交”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】由m，n，l在同一平面，则m，n，l相交或m，n，l有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行，根据充分条件，必要条件的定义即可判断．
【解答】解：空间中不过同一点的三条直线m，n，l，若m，n，l在同一平面，则m，n，l相交或m，n，l有两个平行，另一直线与之相交，或三条直线两两平行．
而若“m，n，l两两相交”，则“m，n，l在同一平面”成立．
故m，n，l在同一平面”是“m，n，l两两相交”的必要不充分条件，
故选：B．
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件
2.（2020•上海）“α＝β”是“sin2α+cos2β＝1”的（　　）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
【答案】A
【分析】容易看出，由α＝β可得出sin2α+cos2β＝1，而反之显然不成立，从而可得出“α＝β”是“sin2α+cos2β＝1”的充分不必要条件．
【解答】解：（1）若α＝β，则sin2α+cos2β＝sin2α+cos2α＝1，
∴“α＝β“是“sin2α+cos2β＝1“的充分条件；
（2）若sin2α+cos2β＝1，则sin2α＝sin2β，得不出α＝β，
∴“α＝β”不是“sin2α+cos2β＝1”的必要条件，
∴“α＝β”是“sin2α+cos2β＝1”的充分非必要条件．
故选：A．
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件
3.（2019•新课标Ⅲ）记不等式组表示的平面区域为D．命题p：∃（x，y）∈D，2x+y≥9；命题q：∀（x，y）∈D，2x+y≤12．下面给出了四个命题
①p∨q
②￢p∨q
③p∧￢q
④￢p∧￢q
这四个命题中，所有真命题的编号是（　　）
A．①③ B．①② C．②③ D．③④
【答案】A
【分析】由不等式组画出平面区域为D．在由或且非逻辑连词连接的命题判断真假即可．
【解答】解：作出等式组的平面区域为D．在图形可行域范围内可知：
命题p：∃（x，y）∈D，2x+y≥9；是真命题，则￢p假命题；
命题q：∀（x，y）∈D，2x+y≤12．是假命题，则￢q真命题；
所以：由或且非逻辑连词连接的命题判断真假有：
①p∨q真；②￢p∨q假；③p∧￢q真；④￢p∧￢q假；
故答案①③真，正确．
故选：A．
【知识点】复合命题及其真假
4.（2019•新课标Ⅰ）关于函数f（x）＝sin|x|+|sinx|有下述四个结论：
①f（x）是偶函数
②f（x）在区间（，π）单调递增
③f（x）在[﹣π，π]有4个零点
④f（x）的最大值为2
其中所有正确结论的编号是（　　）
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
【答案】C
【分析】根据绝对值的应用，结合三角函数的图象和性质分别进行判断即可．
【解答】解：f（﹣x）＝sin|﹣x|+|sin（﹣x）|＝sin|x|+|sinx|＝f（x）则函数f（x）是偶函数，故①正确，
当x∈（，π）时，sin|x|＝sinx，|sinx|＝sinx，
则f（x）＝sinx+sinx＝2sinx为减函数，故②错误，
当0≤x≤π时，f（x）＝sin|x|+|sinx|＝sinx+sinx＝2sinx，
由f（x）＝0得2sinx＝0得x＝0或x＝π，
由f（x）是偶函数，得在[﹣π，）上还有一个零点x＝﹣π，即函数f（x）在[﹣π，π]有3个零点，故③错误，
当sin|x|＝1，|sinx|＝1时，f（x）取得最大值2，故④正确，
故正确是①④，
故选：C．

【知识点】命题的真假判断与应用
5.（2019•浙江）若a＞0，b＞0，则“a+b≤4”是“ab≤4”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】充分条件和必要条件的定义结合均值不等式、特值法可得结果
【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴4≥a+b≥2，
∴2≥，∴ab≤4，即a+b≤4⇒ab≤4，
若a＝4，b＝，则ab＝1≤4，
但a+b＝4+＞4，
即ab≤4推不出a+b≤4，
∴a+b≤4是ab≤4的充分不必要条件
故选：A．
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件
6.（2019•北京）设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|+|＞||”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】“与的夹角为锐角”⇒“|+|＞||”，“|+|＞||”⇒“与的夹角为锐角”，由此能求出结果．
【解答】解：点A，B，C不共线，
“与的夹角为锐角”⇒“|+|＞||”，
“|+|＞||”⇒“与的夹角为锐角”，
∴设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|+|＞||”的充分必要条件．
故选：C．
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件
7.（2019•海南）设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是（　　）
A．α内有无数条直线与β平行
B．α内有两条相交直线与β平行
C．α，β平行于同一条直线
D．α，β垂直于同一平面
【答案】B
【分析】充要条件的定义结合面面平行的判定定理可得结论
【解答】解：对于A，α内有无数条直线与β平行，α∩β或α∥β；
对于B，α内有两条相交直线与β平行，α∥β；
对于C，α，β平行于同一条直线，α∩β或α∥β；
对于D，α，β垂直于同一平面，α∩β或α∥β．
故选：B．
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件
8.（2019•天津）设x∈R，则“x2﹣5x＜0”是“|x﹣1|＜1”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】充分、必要条件的定义结合不等式的解法可推结果
【解答】解：∵x2﹣5x＜0，∴0＜x＜5，
∵|x﹣1|＜1，∴0＜x＜2，
∵0＜x＜5推不出0＜x＜2，
0＜x＜2⇒0＜x＜5，
∴0＜x＜5是0＜x＜2的必要不充分条件，
即x2﹣5x＜0是|x﹣1|＜1的必要不充分条件．
故选：B．
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件
9.（2018•北京）设，均为单位向量，则“|﹣3|＝|3+|”是“⊥”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的对应进行判断即可．
【解答】解：∵“|﹣3|＝|3+|”
∴平方得||2+9||2﹣6•＝9||2+||2+6•，
即1+9﹣6•＝9+1+6•，
即12•＝0，
则•＝0，即⊥，
则“|﹣3|＝|3+|”是“⊥”的充要条件，
故选：C．
【知识点】充分条件、必要条件、充要条件

10.（2018•北京）能说明“若a＞b，则＜”为假命题的一组a，b的值依次为　　　　﹣　．
【答案】a=1，b=-1
【分析】根据不等式的性质，利用特殊值法进行求解即可．
【解答】解：当a＞0，b＜0时，满足a＞b，但＜为假命题，
故答案可以是a＝1，b＝﹣1，
故答案为：a＝1，b＝﹣1．
【知识点】命题的真假判断与应用
11.（2018•北京）能说明“若f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f（x）在[0，2]上是增函数”为假命题的一个函数是　　　　　　．
【答案】f（x）=sinx
【分析】本题答案不唯一，符合要求即可．
【解答】解：例如f（x）＝sinx，
尽管f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，
当x∈[0，）上为增函数，在（，2]为减函数，
故答案为：f（x）＝sinx．
【知识点】命题的否定
12.（2020•新课标Ⅲ）关于函数f（x）＝sinx+有如下四个命题：
①f（x）的图象关于y轴对称．
②f（x）的图象关于原点对称．
③f（x）的图象关于直线x＝对称．
④f（x）的最小值为2．
其中所有真命题的序号是　　．
【答案】②③
【分析】根据函数奇偶性的定义，对称性的判定，对称轴的求法，逐一判断即可．
【解答】解：对于①，由sinx≠0可得函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，故定义域关于原点对称，由f（﹣x）＝sin（﹣x）+＝﹣sinx﹣＝﹣f（x）；
所以该函数为奇函数，关于原点对称，所以①错②对；
对于③，由f（π﹣x）＝sin（π﹣x）+＝sinx+＝f（x），所以该函数f（x）关于x＝对称，③对；
对于④，令t＝sinx，则t∈[﹣1，0）∪（0，1]，由双勾函数g（t）＝t+的性质，可知，g（t）＝t+∈（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞），所以f（x）无最小值，④错；
故答案为：②③．
【知识点】命题的真假判断与应用