(新高考)高考数学一轮复习小题多维练考点04《函数的基本性质》（解析版）

这是一份(新高考)高考数学一轮复习小题多维练考点04《函数的基本性质》（解析版），共36页。试卷主要包含了已知定义在R上的函数y＝f，下列四个函数在，若函数f＝　　．，5）上递减，在＝﹣，，已知函数f，对∀x∈R，不等式等内容，欢迎下载使用。
考点04 函数的基本性质

知识点1:函数的单调性
例1.已知定义在R上的函数y＝f（x）满足条件，且函数为奇函数，下列有关命题的说法错误的是（　　）
A．函数f（x）是周期函数
B．函数f（x）为R上的偶函数
C．f（x）的图象关于点对称函数
D．f（x）为R上的单调函数
【答案】D
【分析】由题意利用函数的周期性、奇偶性、单调性、图象的对称性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：定义在R上的函数y＝f（x）满足条件，∴f（x+3）＝f（x），
故函数f（x）是周期等于3的周期函数，故A正确；
由 ，∴f（x﹣+）＝﹣f（x﹣），即 f（x﹣）＝﹣f（x﹣）．
再根据f（x）周期为3，可得 f（x﹣）＝f（x﹣+3）＝f（x+），
∴f（x﹣）＝﹣f（x+）．
由函数为奇函数，∴f（x﹣）＝﹣f（﹣x﹣），
∴f（x+）＝f（﹣x﹣）．
令x+＝t，则f（t）＝f（﹣t），故f（t）为偶函数，故f（x）为偶函数，故B正确；
∵函数为奇函数，故它的图象关于原点对称，
故把f（x﹣） 向左平移个单位，得到f（x）的图象，
∴f（x）的图象关于点对称，故C正确；
由于f（x）为偶函数，故函数f（x）在（0，+∞）和（﹣∞，0）上单调性相反，
故f（x）在R上不单调，故D错误，
故选：D．
【知识点】函数奇偶性的性质与判断、函数单调性的性质与判断、函数的周期性

练习：
1.已知定义在[0，+∞）上的单调减函数f（x），若f（2a﹣1）＞f（），则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由函数的定义域和单调性，分析可得0≤2a﹣1＜，解可得a的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，f（x）是定义在[0，+∞）上的单调减函数，
若f（2a﹣1）＞f（），则有0≤2a﹣1＜，解可得≤a＜，
即a的取值范围为[，），
故选：D．
【知识点】函数的单调性及单调区间、函数单调性的性质与判断
2.下列四个函数在（﹣∞，0）上为增函数的是（　　）
①y＝|x|+1；②；③；④．
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】C
【分析】根据x∈（﹣∞，0），然后对每个函数去绝对值号，判断每个函数的单调性即可．
【解答】解：①y＝|x|+1在（﹣∞，0）上是减函数；②x∈（﹣∞，0）时，是常数函数，不是增函数；
③x∈（﹣∞，0）时，是增函数；④x∈（﹣∞，0）时，是增函数．
故选：C．
【知识点】函数单调性的性质与判断

3.若函数f（x）为R上的单调递增函数，且对任意实数x∈R，都有f[f（x）﹣ex]＝e+1（e是自然对数的底数），则f（ln2）＝　　．
【答案】3
【分析】设t＝f（x）﹣ex，则f（x）＝ex+t，则条件等价为f（t）＝e+1，结合已知及函数的单调性可求t，进而可求．
【解答】解：设t＝f（x）﹣ex，则f（x）＝ex+t，则条件等价为f（t）＝e+1，
令x＝t，则f（t）＝et+t＝e+1，
∵函数f（x）为单调递增函数，
∴函数为一对一函数，解得t＝1，
∴f（x）＝ex+1，即f（ln2）＝eln2+1＝2+1＝3．
故答案为：3
【知识点】函数单调性的性质与判断
4.已知函数，则不等式f（3﹣x2）+f（2x）＞0的解集为　　　﹣　　　　．
【答案】{x|-1＜x＜3}
【分析】先判断f（x）是奇函数且是R上的增函数，不等式可化为f（3﹣x2）＞f（﹣2x），可得 3﹣x2＞﹣2x，从而求得它的解集．
【解答】解：由题意得f（x）为R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝＝1﹣，
故f（x）在（0，+∞）上是增函数，故它在（﹣∞，0）上也是增函数．
又f（0）＝0，故f（x）是R上的增函数．
由不等式f（3﹣x2）+f（2x）＞0，可得f（3﹣x2）＞f（﹣2x），∴3﹣x2＞﹣2x，解得﹣1＜x＜3，
故原不等式的解集为{x|﹣1＜x＜3}，
故答案为：{x|﹣1＜x＜3}．
【知识点】函数单调性的性质与判断
5.已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），且满足，如果对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y），则不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2的解集为　　﹣　　　　．
【答案】[-1，0）
【分析】令x＝y＝1易得f（1）＝0；再令x＝2，y＝，可得f（2）值，求出f（4）＝﹣2，由f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2，得到f[x（x﹣3）]≥f（4），再由函数f（x）在定义域（0，+∞）上为减函数，能求出原不等式的解集．
【解答】解（1）∵f（xy）＝f（x）+f（y）
∴令x＝y＝1得f（1）＝f（1）+f（1），
∴f（1）＝0
再令x＝2，y＝，
∴f（1）＝f（2）+f（）＝0，
∴f（2）＝﹣1
令x＝y＝2，
∴令x＝y＝2得f（4）＝f（2）+f（2）＝﹣2，
∵对于0＜x＜y，都有f（x）＞f（y）．
∴函数在（0，+∞）减函数，
∵f（﹣x）+f（3﹣x）≥﹣2．
∴f（x）+f（x﹣3）≥f（4），
∴f[x（x﹣3）]≥f（4），
∴，
解得﹣1≤x＜0
∴原不等式的解集为[﹣1，0），
故答案为：[﹣1，0）．
【知识点】函数单调性的性质与判断、抽象函数及其应用

知识点2:函数的最值与几何意义
例1.定义在R上函数f（x）满足，且当x∈[0，1）时，f（x）＝1﹣|2x﹣1|．若当x∈[m，+∞）时，，则m的最小值等于　　．

【分析】由已知可得，当x∈[n，n+1）（n∈Z）时，，作出图象，数形结合可得f（）＝，由此可得满足条件的实数m的最小值．
【解答】解：根据题设可知，当x∈[1，2）时，x﹣1∈[0，1），故，
当x∈[2，3）时，x﹣1∈[1，2），故f（x）＝f（x﹣1）＝（1﹣|2x﹣5|），
同理可得：当x∈[n，n+1）（n∈Z）时，，
∴当n≥4时，．
作函数y＝f（x）的图象，如图所示．
在上，由，得，
由图象可知当时，，
故m的最小值为．
故答案为：．

【知识点】函数的最值及其几何意义

练习：
1.若实数x、y满足3x2﹣2xy﹣y2＝1，则的最大值为　　．
【分析】由3x2﹣2xy﹣y2＝（3x+y）（x﹣y）＝1得5x2+2xy+y2＝[（3x+y）2+（x﹣y）2]＝1+[3x+y﹣（x﹣y）]2＝1+2（x+y）2，然后代入后结合基本不等式可求．
【解答】解：实数x、y满足3x2﹣2xy﹣y2＝（3x+y）（x﹣y）＝1，
∴5x2+2xy+y2＝[（3x+y）2+（x﹣y）2]＝[3x+y﹣（x﹣y）]2+1＝2（x+y）2+1，
若存在最大值，则x+y＞0，
∴＝＝＝，
当且仅当2（x+y）＝时取等号，此时的最大值．
故答案为：．
【知识点】基本不等式及其应用、函数的最值及其几何意义
2.已知函数f（x）＝，若f（x）在区间（a，a+3）上既有最大值又有最小值，则实数a的取值范围为　　．
【答案】（-2，-1]
【分析】画出函数f（x）的图象，若f（x）在（a，a+3）上既有最大值又有最小值，结合图象得到不等式求解即可．
【解答】解：f（x）的图象如图所示

∵f（x）在（a，a+3）上既有最大值又有最小值，
∴，解得﹣2＜a≤﹣1，
故a的取值范围为（﹣2，﹣1]．
故答案为：（﹣2，﹣1]．
【知识点】函数的最值及其几何意义、分段函数的应用

3.函数f（x）＝在（﹣∞，2）上的最小值是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．0
【答案】B
【分析】用分母表示出分子，使用基本不等式得出最小值．
【解答】解：f（x）＝＝＝2﹣x+，
∵x＜2，∴2﹣x＞0，
∴2﹣x+≥2，当且仅当2﹣x＝即x＝1时取等号．
∴f（x）的最小值为2．
故选：B．
【知识点】函数的最值及其几何意义
4.已知函数的最大值为M，最小值为m，则M+m等于（　　）
A．0 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【分析】令，判断函数g（x）为定义域上的奇函数，再由奇函数的对称性即可求得答案．
【解答】解：令，
∵，∴函数g（x）为奇函数．
∴g（x）max+g（x）min＝0，故f（x）max﹣2+f（x）min﹣2＝0，
∴f（x）max+f（x）min＝4．
故选：C．
【知识点】函数的最值及其几何意义
5.已知函数f（x）＝|x2﹣2x﹣3|在[﹣1，m]上的最大值为f（m），则m的取值范围是（　　）
A．（﹣1，1] B．（﹣1，1+2]
C．[1+2，+∞） D．（﹣1，1]∪[1+2，+∞）
【答案】D
【分析】本题先画出函数f（x）大致图象，然后根据图象对m进行分类谈论，即可得到m的取值范围．
【解答】解：由题意，函数f（x）大致图象如下：

根据题意及图，可知
当﹣1＜m≤1时，f（x）max＝f（m）．
令x2﹣2x﹣3＝4，解得x＝1±2，
则当1＜m＜1+2时，f（x）max＝f（1）≠f（m）．
．当m≥1+2时，f（x）max＝f（m）．
∴满足题意的m的取值范围为：（﹣1，1]∪[1+2，+∞）．
故选：D．
【知识点】函数的最值及其几何意义

知识点3:函数的奇偶性
例1.已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，函数f（x）满足f（x）＝﹣f（x+2），且x∈（0，1]时，f（x）＝log2（x+1），则f（2019）+f（2020）＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1
【答案】D
【分析】根据f（x+2）＝﹣f（x）即可得出f（x）的周期为4，根据f（x）是R上的奇函数及f（1）＝1即可求出f（0）＝0，f（3）＝﹣1，从而可得出f（2019）+f（2020）的值．
【解答】解：因为f（x+2）＝﹣f（x）所以f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
可得f（x）的最小正周期为4，
由x∈（0，1]时f（x）＝log2（x+1），可得f（1）＝1，
∴f（0）＝0，f（3）＝f（﹣1）＝﹣1．
∴f（2019）+f（2020）＝f（3）+f（0）＝﹣1+0＝﹣1
故选：D．
【知识点】函数的值、函数奇偶性的性质与判断、抽象函数及其应用

练习：
1.定义在R上的偶函数f（x）满足，则f（2021）＝（　　）
A．﹣3或4 B．﹣4或3 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据题意，利用特殊值分析可得f（1）＝，解可得f（1）的值，结合函数的奇偶性可得＝，则有f（x+2）＝f（2﹣x），变形可得f（x+4）＝f（x），即可得函数的周期性，则有f（2021）＝f（1+2020）＝f（1），即可得答案．
【解答】解：根据题意，偶函数f（x）满足，则f（x）≥0，
若x＝﹣1，则f（1）＝＝，解可得f（1）＝4或﹣3，
又由f（x）≥0，则f（x）＝4，
f（x）为偶函数，则＝，则有f（x+2）＝f（2﹣x），变形可得f（x+4）＝f（x），
则函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（2021）＝f（1+2020）＝f（1）＝4，
故选：D．
【知识点】函数奇偶性的性质与判断、抽象函数及其应用、函数的值
2.已知函数f（x）是定义在R上的周期为2的奇函数，且当0≤x＜1时，f（x）＝2x+a，f（1）＝0，则f（﹣3）+f（4﹣log27）＝（　　）
A．1 B．﹣1 C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（0）＝20+a＝0，解可得a的值，即可得函数的解析式，结合函数的奇偶性与周期性求出f（﹣3）与f（4﹣log27）的值，计算即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的奇函数且当0≤x＜1时，f（x）＝2x+a，
则f（0）＝20+a＝0，解可得a＝﹣1，
则f（x）＝2x﹣1，
函数f（x）是定义在R上周期为2的奇函数且f（1）＝0，
则f（﹣3）＝f（1）＝0，
f（4﹣log27）＝f（2﹣log27），
又由2＜log27＜3，则﹣1＜2﹣log27＜0，则有0＜log27﹣2＜1，
则f（log27﹣2）＝f（log2）＝﹣1＝，
则f（4﹣log27）＝﹣f（log27﹣2）＝﹣；
则f（﹣3）+f（4﹣log27）＝0﹣＝﹣；
即答案为：﹣．
故选：D．
【知识点】函数奇偶性的性质与判断、函数的周期性
3.已知定义在R上的函数y＝f（x）满足条件，且函数为奇函数，下列有关命题的说法错误的是（　　）
A．函数f（x）是周期函数
B．函数f（x）为R上的偶函数
C．f（x）的图象关于点对称函数
D．f（x）为R上的单调函数
【答案】D
【分析】由题意利用函数的周期性、奇偶性、单调性、图象的对称性，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【解答】解：定义在R上的函数y＝f（x）满足条件，∴f（x+3）＝f（x），
故函数f（x）是周期等于3的周期函数，故A正确；
由 ，∴f（x﹣+）＝﹣f（x﹣），即 f（x﹣）＝﹣f（x﹣）．
再根据f（x）周期为3，可得 f（x﹣）＝f（x﹣+3）＝f（x+），
∴f（x﹣）＝﹣f（x+）．
由函数为奇函数，∴f（x﹣）＝﹣f（﹣x﹣），
∴f（x+）＝f（﹣x﹣）．
令x+＝t，则f（t）＝f（﹣t），故f（t）为偶函数，故f（x）为偶函数，故B正确；
∵函数为奇函数，故它的图象关于原点对称，
故把f（x﹣） 向左平移个单位，得到f（x）的图象，
∴f（x）的图象关于点对称，故C正确；
由于f（x）为偶函数，故函数f（x）在（0，+∞）和（﹣∞，0）上单调性相反，
故f（x）在R上不单调，故D错误，
故选：D．
【知识点】函数奇偶性的性质与判断、函数单调性的性质与判断、函数的周期性

4.已知函数f（x）是定义在R上的偶函数，当x∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，且f（﹣2）＝0，则不等式f（x﹣2）＜0的解集为　　．
【答案】（0，4）
【分析】根据题意，由函数的奇偶性与单调性分析可得f（x﹣2）＜0⇒f（|x﹣2|）＜f（2）⇒|x﹣2|＜2，解可得x的取值范围，即可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）是定义在R上的偶函数，则f（x﹣2）＝f（|x﹣2|），f（﹣2）＝f（2），
又由当x∈[0，+∞）时，f（x）是增函数，且f（﹣2）＝0，
则f（x﹣2）＜0⇒f（|x﹣2|）＜f（2）⇒|x﹣2|＜2，
解可得：0＜x＜4，即不等式f（x﹣2）＜0的解集为（0，4），
故答案为：（0，4）
【知识点】函数奇偶性的性质与判断
5.已知函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x+2）＝﹣f（x），当x∈[﹣2，0]时，f（x）＝﹣x2﹣2x，则当x∈[4，6]时，y＝f（x）的最小值为　﹣　．
【答案】-1
【分析】可根据f（x+2）＝﹣f（x）得出f（x+4）＝f（x），即得出f（x）的周期为4，再根据f（x）是奇函数，且x∈[﹣2，0]时，f（x）＝﹣x2﹣2x，即可求出x∈[0，2]时，f（x）＝x2﹣2x．然后设x∈[4，6]，从而得出x﹣4∈[0，2]，从而可以得出x∈[4，6]时f（x）＝x2﹣10x+24，这样配方即可求出f（x）在[4，6]上的最小值．
【解答】解：∵f（x+2）＝﹣f（x），
∴f（x+4）＝f（x），即f（x）的周期为4，
∵f（x）是奇函数，且x∈[﹣2，0]时，f（x）＝﹣x2﹣2x，设x∈[0，2]，﹣x∈[﹣2，0]，则f（﹣x）＝﹣x2+2x＝﹣f（x），
∴x∈[0，2]时，f（x）＝x2﹣2x，
设x∈[4，6]，则x﹣4∈[0，2]，
∴f（x）＝f（x﹣4）＝（x﹣4）2﹣2（x﹣4）＝x2﹣10x+24＝（x﹣5）2﹣1，
∴x＝5时，f（x）取最小值﹣1．
故答案为：﹣1．
【知识点】函数奇偶性的性质与判断



知识点4:函数的周期性
例1.已知函数f（x）是奇函数，且f（x+2）＝﹣f（x），若f（x）在[﹣1，0]上是增函数，的大小关系是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】由f（x+2）＝﹣f（x），得f（x+4）＝f（x），利用函数奇偶性单调性之间的关系，即可比较大小．
【解答】解：∵f（x+2）＝﹣f（x），函数f（x）是奇函数，
∴f（x+2）＝﹣f（x）＝f（﹣x），
∴函数f（x）关于x＝1对称，
且f（x+4）＝f（x），
∴函数是周期为4的周期数列．
∵f（x）在[﹣1，0]上是增函数，
∴f（x）在[﹣1，1]上是增函数，f（x）在[1，2]上是减函数，
f（）＝f（4+）＝f（）＝f（），
∵f（x）在[1，2]上是减函数，且1＜＜，
∴f（1）＞f（）＞f（），
即f（）＜f（）＜f（1），
故选：D．
【知识点】函数的周期性、奇偶性与单调性的综合

练习：
1.已知f（x）是定义在R上周期为2的函数，当x∈[﹣1，1]时，f（x）＝|x|，那么当x∈[﹣7，﹣5]时，f（x）＝（　　）
A．|x+3| B．|x﹣3| C．|x+6| D．|x﹣6|
【答案】C
【分析】当x∈[﹣7，﹣5]时，x+6∈[﹣1，1]．再利用周期性即可得出．
【解答】解：当x∈[﹣7，﹣5]时，x+6∈[﹣1，1]．
∴f（x）＝f（x+6）＝|x+6|，
故选：C．
【知识点】函数的周期性
2.已知定义在R上的函数 f （x）满足①f（2﹣x）＝f（x）②f（x+2）＝f（x﹣2）③x1，x2∈[1，3]时，＜0则 f（2014），f（2015），f（2016）的大小关系为（　　）
A．f （2014）＞f （2015）＞f （2016）
B．f （2016）＞f （2014）＞f （2015）
C．f （2016）＝f （2014）＞f （2015）
D．f （2014）＞f （2015）＝f （2016）
【答案】C
【分析】根据已知可得函数 f （x）的图象关于直线x＝1对称，周期为4，且在[1，3]上为减函数，进而可比较f（2014），f（2015），f（2016）的大小．
【解答】解：∵函数 f （x）满足：
①f（2﹣x）＝f（x），故函数的图象关于直线x＝1对称；
②f（x+2）＝f（x﹣2），故函数的周期为4；
③x1，x2∈[1，3]时，＜0，故函数在[1，3]上为减函数；
故f（2014）＝f（2），
f（2015）＝f（3），
f（2016）＝f（0）＝f（2），
故f （2016）＝f （2014）＞f （2015），
故选：C．
【知识点】函数的周期性

3.设f（x）是定义域在R上且周期为2的函数，在区间[﹣1，1]上，其中a，b∈R，若，则a+3b的值为　﹣　　．
【答案】-10
【分析】利用周期可得f（﹣1）＝f（1），f（）＝f（﹣），列出方程组即可解出a，b的值．
【解答】解：∵f（x）是周期为2的函数，
∴f（）＝f（﹣）＝﹣+1，
又f（）＝＝，
∴﹣+1＝，①
又f（﹣1）＝f（1），
∴﹣a+1＝，②，
联立①②可得a＝2，b＝﹣4．
∴a+3b＝﹣10．
故答案为：﹣10．
【知识点】函数的周期性
4.已知f（x）是定义在R上的函数，且满足，当2≤x≤3时，f（x）＝2x，则＝　　　　　　

【分析】通过关系式可以算出函数的周期为4，再利用周期为4把化成满足2≤x≤3的定义域内，得到，代入到解析式中求得相应的值．
【解答】解：∵，
∴，
∴f（x）的周期为4，
∵，
∴∈[2，3]，
∴，
故答案为：．
【知识点】函数的周期性
5.设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝x（x﹣1），若对任意x∈（﹣∞，m]，都有，则m的最大值是　　　　　　．
【分析】先判断f（x+1）＝2f（x）对于函数f（x）图象的变换，确定x所在的区间，求出解析式，得到m的最大值．
【解答】解：当x∈（0，1]时，函数f（x）在（0，0.5）上递减，在（0.5，1]上递增，所以fmin＝f（0.5）＝﹣，
因为f（x+1）＝2f（x），当图象向右平移2个单位时，最小值变为原来的2倍，最小值不断变小，
当图象向左平移2个单位时，最小值变为原来的 ，最小值不断变大．
当x∈（1，2]时，fmin＝f（1.5）＝﹣，
x﹣1∈（0，1]，所以f（x）＝f（x﹣1+1）＝2f（x﹣1）＝2（x﹣1）（x﹣2），
当x∈（2，3]时，fmin＝f（1.5）＝﹣1，
当x∈（1，2]，x﹣1∈（0，1]，f（x）＝f（x﹣1+1）＝2f（x﹣1）＝4（x﹣2）（x﹣3），
令4（x﹣2）（x﹣3）＝﹣，则x＝，
根据题意，故m最大值为．
故答案为：．
【知识点】函数的周期性

知识点5:函数恒成立问题
例1.已知f（x）＝x|x|，对任意的x∈R，f（ax2）+4f（3﹣x）≥0恒成立，则实数a的最小值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先判断函数的奇偶性与单调性，将不等式转化为ax2﹣2x+6≥0恒成立，由二次函数的性质即可求解．
【解答】解：f（x）＝x|x|，定义域为R，且f（﹣x）＝﹣x|﹣x|＝﹣x|x|＝﹣f（x），
所以f（x）为奇函数，
当x≥0时，f（x）＝x2为增函数，所以当x＜0时，f（x）为增函数，
所以f（x）＝x|x|是R上的增函数，且f（kx）＝k2f（x），
因为f（ax2）+4f（3﹣x）≥0，所以f（ax2）≥﹣4f（3﹣x）＝4f（x﹣3）＝f（2x﹣6），
所以ax2≥2x﹣6，即ax2﹣2x+6≥0恒成立，
所以a＞0且△＝4﹣24a≤0，故a≥，
即a的最小值是．
故选：C．
【知识点】函数恒成立问题

练习：
1.设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2，若对任意x∈[﹣3，3]，不等式f（x+a）≥4f（x）恒成立，则实数a的取值范围是（　　）
A．[3，+∞） B．[﹣3，+∞） C．[﹣3，3] D．（0，1）
【答案】A
【分析】由f（x）为奇函数，求得f（x）＝x|x|，判断f（x）在R上递增，原不等式化为x+a≥2x对任意x∈[﹣3，3]恒成立，运用参数分离和函数的最值求法，可得所求范围．
【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）＝x2，
可得x＜0时，f（x）＝﹣x2，
则f（x）＝x|x|，
由f（x）在[0，+∞）递增，（﹣∞，0）递增，且f（x）连续，f（0）＝0，
可得f（x）在R上为增函数，
f（x+a）≥4f（x）即为f（x+a）≥f（2x），
可得x+a≥2x对任意x∈[﹣3，3]恒成立，
即有a≥x对任意x∈[﹣3，3]恒成立，
则a≥3，即a的取值范围是[3，+∞）．
故选：A．
【知识点】函数奇偶性的性质与判断、函数恒成立问题
2.若两个正实数x，y满足，对这样的x，y，不等式恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．（﹣1，4） B．（﹣4，1）
C．（﹣∞，﹣4）∪（1，+∞） D．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）
【答案】A
【分析】利用基本不等式可把问题转化为解不等式m2﹣3m＜4，由此容易得解．
【解答】解：由，当且仅当“x＝4y”时取等号，
故m2﹣3m＜4，解得﹣1＜m＜4，
故选：A．
【知识点】函数恒成立问题

3.若不等式ax2+（a﹣4）x+a＜0对于x∈R恒成立，则a的取值范围是　　﹣∞　﹣　　．
【答案】（-∞，-4）
【分析】讨论a的符号，根据二次不等式解法列不等式组求出a的范围．
【解答】解：若a＝0，不等式等价于﹣4x＜0，即x＞0，显然不符合题意，
若a≠0，由ax2+（a﹣4）x+a＜0对于x∈R恒成立可得：
，解得a＜﹣4．
故答案为：（﹣∞，﹣4）．
【知识点】函数恒成立问题
4.已知函数f（x）＝x2+1，g（x）＝logax+2x，且x∈（1，2）时，f（x）＜g（x）恒成立，则a的取值范围为　　　　　　．
【答案】（1，2]
【分析】构造函数，利用函数恒成立，通过a的范围判断求解即可．
【解答】解：函数f（x）＝x2+1，g（x）＝logax+2x，且x∈（1，2）时，f（x）＜g（x）恒成立，
可得logax+2x﹣x2﹣1＞0恒成立，即logax﹣（x﹣1）2＞0在x∈（1，2）时，恒成立；
显然a∈（0，1）不成立，所以a＞1，此时logax＞0，y＝logax是增函数，
logax﹣（x﹣1）2＞0在x∈（1，2）时，恒成立，可得logax＞1，
解得a∈（1，2]．
故答案为：（1，2]．
【知识点】函数恒成立问题
5.己知函数f（x）＝2tx+ln（x﹣n+2），g（x）＝﹣t，若函数h（x）＝﹣（1﹣n）x+n﹣8在（﹣∞，+∞）上是增函数，且f（x）g（x）≤0在定义域上恒成立，则实数t的取值范围是　　　　　　．

【分析】利用导数可得n＝2，则在（0，+∞）上恒成立，且t＝0时显然不满足条件，再以t＜0及t＞0两种情况讨论即可．
【解答】解：h′（x）＝4x2﹣2nx﹣（1﹣n），由题意，h′（x）≥0恒成立，则（﹣2n）2+16（1﹣n）≤0，即n2﹣4n+4≤0恒成立，所以n＝2，
∴f（x）＝2tx+lnx，
∴≤0在（0，+∞）上恒成立，t＝0时显然不满足条件，
①当t＜0时，恒成立，则2tx+lnx≤0在（0，+∞）上恒成立，即恒成立，
令，则，显然，当x＝e时，函数φ（x）取得最小值为，
∴；
②当t＞0时，（2tx+lnx）（tx﹣1）≥0在（0，+∞）上恒成立，
当tx﹣1≥0，即时，2tx+lnx≥0恒成立，则，解得0＜t≤e2，
当tx﹣1≤0，即时，2tx+lnx≤0恒成立，则，解得t≥e2，
故t＝e2，
综上，实数t的取值范围是．
故答案为：．
【知识点】函数恒成立问题


1.已知函数f（x）的定义域为R，且对任意两个不相等的实数a，b都有（a﹣b）[f（a）﹣f（b）]＞0，则不等式f（3x﹣1）＞f（x+5）的解集为（　　）
A．（﹣∞，3） B．（﹣∞，2） C．（3，+∞） D．（2，+∞）
【答案】C
【分析】根据题意可得出f（x）在R上是增函数，从而由原不等式可得出3x﹣1＞x+5，然后解出x的范围即可．
【解答】解：不妨设a＞b，∵（a﹣b）[f（a）﹣f（b）]＞0，∴f（a）＞f（b），
∴f（x）是R上的增函数，
原不等式等价于3x﹣1＞x+5，解得x＞3，
∴原不等式的解集为（3，+∞）．
故选：C．
【知识点】函数单调性的性质与判断
2.已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是（　　）
A．（1，+∞） B．（1，8） C．（4，8） D．[4，8 ）
【答案】D
【分析】先分区间保证函数f（x）单调递增，再使函数在端点x＝1处满足（4﹣）×1+2≤a1即可．
【解答】解：因为f（x）为R上的增函数，所以有：
当x＞1时f（x）＝ax单调递增，则a＞1①；
当x≤1时f（x）＝单调递增，则4﹣＞0，解得a＜8②；
且（4﹣）×1+2≤a1，解得a≥4③．
综合①②③，得实数a取值范围是[4，8）．
故选：D．
【知识点】函数单调性的性质与判断
3.设函数f（x）＝x+2，g（x）＝x2﹣x﹣1．用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为M（x）＝max{f（x），g（x）}，则M（x）的最小值是（　　）
A．1 B．3 C．0 D．
【答案】A
【分析】先通过比较求出函数的解析式，再各段求出最小值即可．
【解答】解：令x2﹣x﹣1≥x+2，解得x≥3或x≤﹣1，
则M（x）＝，
当x≥3或x≤﹣1时，M（x）min＝M（﹣1）＝1，
当﹣1＜x＜3时，函数没有最小值，
综上：函数的最小值为1，
故选：A．
【知识点】函数的最值及其几何意义
4.若函数f（x）＝在（﹣∞，a]上的最大值为4，则a的取值范围为（　　）
A．[1，+∞） B．（﹣∞，1] C．[1，15] D．[1，17]
【答案】C
【分析】当x＝1时，f（x）＝2x+2此时的最大值为4，可知a≥1，而x＞1时，f（x）＝log2（x+1）单调性递增，其f（x）max≤4，然后求出a的范围；
【解答】解：由题意，当x≤1时，f（x）＝2x+2，此时的最大值为4，
当x＞1时，f（x）＝log2（x+1）单调性递增，其最大值f（x）max≤4，
令log2（x+1）≤4，解得x≤15，
所以a的取值范围为[1，15]．
故选：C．
【知识点】函数的最值及其几何意义
5.已知f（x）为奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x﹣2，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（）的值，结合函数的奇偶性计算可得答案．
【解答】解：根据题意，当x＞0时，f（x）＝x﹣2，
则f（）＝﹣2＝﹣，
又由f（x）为奇函数，则f（﹣）＝﹣f（）＝，
故选：C．
【知识点】函数的值、函数奇偶性的性质与判断
6.已知定义在R上的函数y＝f（x+1）﹣3是奇函数，当x∈（1，+∞）时，f'（x）≥x+﹣3，则不等式[f（x）﹣3]ln（x+1）＞0的解集为（　　）
A．（1，+∞） B．（﹣1，0）∪（e，+∞）
C．（0，1）∪（e，+∞） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）
【答案】D
【分析】根据已知可得对∀x∈（0，+∞），均有f'（x+1）≥0，从而可得y＝f（x+1）﹣3在（0，+∞）上单调递增，由函数的奇偶性可知函数y＝f（x+1）﹣3在R上单调递增，作出函数y＝f（x+1）﹣3的大致图象，利用图象的平移可得f（x）﹣3的图象，数形结合即可求得不等式的解集．
【解答】解：因为x∈（1，+∞）时，f'（x）≥x+﹣3，
则可令x＝x1+1，此时x1＞0，
所以当x1∈（0，+∞）时，f'（x1+1）≥x1+﹣2，
即对∀x∈（0，+∞），均有f'（x+1）≥0，
因为y＝f（x+1）﹣3，所以y′＝f′（x+1），
所以y＝f（x+1）﹣3在（0，+∞）上单调递增，
由函数y＝f（x+1）﹣3是奇函数，
所以函数y＝f（x+1）﹣3在R上单调递增，
故可大致画出函数y＝f（x+1）﹣3的图象，

对于f（x）﹣3只需要将y＝f（x+1）﹣3向右平移1个单位即可得到，
当x＞0时，ln（x+1）＞0，此时只需要f（x）＞3即可，
由图象可知，此时x∈（1，+∞），
当﹣1＜x＜0时，ln（x+1）＜0，此时只需要f（x）＜3即可，
由图象可知，此时x∈（﹣1，0）．
综上，不等式的解集为（﹣1，0）∪（1，+∞）．
故选：D．
【知识点】利用导数研究函数的单调性、函数奇偶性的性质与判断
7.已知函数f（x）对任意x∈R都有f（x+2）＝﹣f（x），且当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x+1），则f（2021）﹣f（﹣2021）＝（　　）
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【答案】A
【分析】根据f（x+2）＝﹣f（x），求得f（x）的周期为4，从而可求函数值．
【解答】解：∵f（x+2）＝﹣f（x），
∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
∴f（x）是周期为4的周期函数，
∵当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x+1），
∴f（2021）＝f（1）＝log22＝1，
由f（x+2）＝﹣f（x），可得f（x）＝﹣f（x+2），
f（﹣2021）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣1，
∴f（2021）﹣f（﹣2021）＝2．
故选：A．
【知识点】函数的值、抽象函数及其应用
8.已知函数f（x）是R上的偶函数．若对于x≥0都有f（x）＝f（2+x），且当x∈[0，2）时，f（x）＝log2（x+1），则f（﹣2019）+f（2020）的值为（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【答案】C
【分析】先求出函数的周期T＝2，所以f（﹣2019）+f（2020）＝f（2019）+f（2020）＝f（1）+f（0），在代入解析式求值即可．
【解答】解：因为f（x）为R上的偶函数，
所以f（x）＝f（﹣x），
又因为对于x≥0，都有f（x）＝f（2+x），
所以函数f（x）的周期T＝2，
f（﹣2019）+f（2020）＝f（2019）+f（2020）
＝f（1）+f（0）
＝log2（1+1）+log2（0+1）
＝1+0
＝1．
故选：C．
【知识点】函数奇偶性的性质与判断、函数的周期性
9.对∀x∈R，不等式（a﹣2）x2+2（a﹣2）x﹣4＜0恒成立，则a的取值范围是（　　）
A．﹣2＜a≤2 B．﹣2≤a≤2 C．a＜﹣2或a≥2 D．a≤﹣2或a≥2
【答案】A
【分析】对a讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到a的取值范围．
【解答】解：不等式（a﹣2）x2﹣2（a﹣2）x﹣4＜0对一切x∈R恒成立，
当a﹣2＝0，即a＝2时，﹣4＜0恒成立，满足题意；
当a﹣2≠0时，要使不等式恒成立，
需，即有，
解得﹣2＜a＜2．
综上可得，a的取值范围为（﹣2，2]．
故选：A．
【知识点】函数恒成立问题
10.正数a，b满足9a+b＝ab，若不等式a+b≥﹣x2+2x+18﹣m对任意实数x恒成立，则实数m的取值范围是（　　）
A．[3，+∞） B．（﹣∞，3] C．（﹣∞，6] D．[6，+∞）
【答案】A
【分析】求出a+b＝（a+b）（ +）＝10++≥10+6＝16（当且仅当b＝3a时取等号），问题转化为m≥﹣x2+2x+2对任意实数x恒成立，运用二次函数的最值求法和恒成立思想，即可求出实数m的取值范围．
【解答】解：∵正数a，b满足+＝1，
∴a+b＝（a+b）（+）＝10++≥10+2＝10+6＝16（当且仅当b＝3a时取等号）．
由不等式a+b≥﹣x2+2x+18﹣m对任意实数x恒成立，
可得﹣x2+2x+18﹣m≤16对任意实数x恒成立，
即m≥﹣x2+2x+2对任意实数x恒成立，
即m≥﹣（x﹣1）2+3对任意实数x恒成立，
∵﹣（x﹣1）2+3的最大值为3，
∴m≥3，
故选：A．
【知识点】函数恒成立问题

11.已知函数，则f（x）的递减区间是　　．
【分析】根据对勾函数的性质画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间即可．
【解答】解：画出函数f（x）的图象，如图示：
，
结合图象，函数f（x）在（0，），（1，2）递减，
故答案为：（0，），（1，2）．
【知识点】函数单调性的性质与判断
12.已知f（x）＝是定义在R上的减函数，那么a的取值范围是　　　．
【分析】由题意可得 ，由此求得a的取值范围．
【解答】解：由于f（x）＝是定义在R上的减函数，∴，
求得≤a＜，
故答案为：[，）．
【知识点】函数单调性的性质与判断
13.函数f（x）＝|3﹣x|+|x﹣7|的最小值等于　　．
【答案】4
【分析】通过讨论x的范围，求出f（x）的分段函数的形式，画出函数的图象，结合图象求出函数的最小值即可．
【解答】解：f（x）＝|3﹣x|+|x﹣7|＝，
画出函数f（x）的图象，如图示：
，
结合图象，函数的最小值是4，
故答案为：4．
【知识点】函数的最值及其几何意义
14.设函数f（x）＝．
①若a＝1，则f（x）的最小值为　　；
②若f（x）恰有2个零点，则实数a的取值范围是　　．
【分析】①代入a的值，求出f（x）在各个区间的最小值即可判断；
②通过讨论a的范围，再讨论x≥1和x＜1的情况，求出满足f（x）恰有2个零点的a的范围即可．
【解答】解：①若a＝1，x≥1时，f（x）＝log2x﹣1，f（x）在[1，+∞）递增，f（x）的最小值是f（1）＝﹣1，
x＜1时，f（x）＝5（x﹣1）（x﹣3）＝5（x2﹣4x+3），f（x）在（﹣∞，1）递减，f（x）＞f（1），
故f（x）的最小值是﹣1；
②a＝0时，x≥1时，f（x）＝log2x，f（x）递增，f（x）有1个零点是x＝1，
x＜1时，f（x）＝5x2，f（x）有1个零点是x＝0，
故a＝0时，f（x）恰有2个零点，符合题意；
a＞0时，x≥1时，f（x）＝log2x﹣a，f（x）递增，f（x）≥f（1）＝﹣a＜0，f（x）在[1，+∞）1个零点，
x＜1时，f（x）＝5（x﹣a）（x﹣3a），若f（x）在（﹣∞，1）恰有1个零点，
则零点是x＝a＜1，3a＞1，解得：＜a＜1，
a＜0时，x≥1时，f（x）＝log2x﹣a，f（x）递增，f（x）≥f（1）＝﹣a＞0，f（x）在[1，+∞）0个零点，
x＜1时，f（x）＝5（x﹣a）（x﹣3a）恰有2个零点，则x＝a＜0，x＝3a＜0，符合题意，
当a＝时，f（x）＝，
当x＜1时，函数1个零点是，
当x＞1时，函数1个零点是，共2个零点，
故a＝符合题意，
综上，若f（x）恰有2个零点，则a≤0或≤a＜1，
故答案为：﹣1，（﹣∞，0]∪[，1）．
【知识点】函数的最值及其几何意义
15.若函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，，则函数y＝f（x）在R上的解析式为f（x）＝　　．

【分析】利用已知奇函数定义，先由x＞0时函数解析式求出x＜0时的解析式，再由奇函数性质求解f（0），即可求解．
【解答】解：因为y＝f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，，
设x＜0，则﹣x＞0，
故f（x）＝﹣f（﹣x）＝﹣（）﹣x﹣1＝﹣1﹣2x，
由奇函数性质得，f（0）＝0，
故f（x）＝．
故答案为：．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法、函数奇偶性的性质与判断
16.设奇函数f（x）的定义域为R，且对任意实数x满足f（x+1）＝﹣f（x），若当x∈[0，1]时，f（x）＝2x﹣1，则f（）＝　　．

【分析】利用已知的f（x+1）＝﹣f（x）得到函数的周期，再利用奇偶性结合周期性将给定值转换到给定区间，求得结果即可
【解答】解：∵f（x+1）＝﹣f（x），
∴f（x）＝﹣f（x+1）
∴f（x+1）＝﹣f（x+2）
∴f（x）＝f（x+2）
∴f（x）为周期为2的奇函数．
∴．
∵f（x）周期为2，
∴．
故．
【知识点】函数的周期性
17.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时f（x）＝x2，则当x＜0时，f（x）＝　　；若对任意的x∈[a﹣1，a+1]，恒有f（x+a）＞a2f（x），则实数a的取值范围是　　．

【分析】由当x≥0时，f（x）＝x2，函数是奇函数，可得当x＜0时，f（x）＝﹣x2，从而f（x）在R上是单调递增函数，且满足a2f（x）＝f（ax），再根据不等式f（x+a）＞a2f（x）＝f（ax），在x∈[a﹣1，a+1]，恒成立，利用一次函数的单调性，可得不等式，即可得出答案．
【解答】解：当x≥0时，f（x）＝x2，
∵函数是奇函数，∴当x＜0时，f（x）＝﹣x2，
∴f（x）＝x|x|，
∴f（x）在R上是单调递增函数，且满足a2f（x）＝f（ax），
∵不等式f（x+a）＞a2f（x）＝f（ax）在x∈[a﹣1，a+1]恒成立，
∴x+a＞ax即（a﹣1）x﹣a＜0在x∈[a﹣1，a+1]恒成立，
即有，即为，
可得＜a＜，
故答案为：﹣x2，（，）．
【知识点】函数恒成立问题
18.设f（x）是定义在R上的周期为3的函数，当x∈[﹣2，1）时，，则＝　　　　　　．

【分析】推导出f（）＝f（﹣）＝4×（﹣）2﹣2＝，由此能求出＝f（）＝．
【解答】解：∵f（x）是定义在R上的周期为3的函数，
当x∈[﹣2，1）时，，
∴f（）＝f（﹣）＝4×（﹣）2﹣2＝，
＝f（）＝．
故答案为：．
【知识点】函数的值、函数的周期性





1.（2020•新课标Ⅱ）若2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，则（　　）
A．ln（y﹣x+1）＞0 B．ln（y﹣x+1）＜0
C．ln|x﹣y|＞0 D．ln|x﹣y|＜0
【答案】A
【分析】方法一：由2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，可得2x﹣3﹣x＜2y﹣3﹣y，令f（x）＝2x﹣3﹣x，则f（x）在R上单调递增，且f（x）＜f（y），结合函数的单调性可得x，y的大小关系，结合选项即可判断．
方法二：根据条件取x＝﹣1，y＝0，即可排除错误选项．
【解答】解：方法一：由2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，可得2x﹣3﹣x＜2y﹣3﹣y，
令f（x）＝2x﹣3﹣x，则f（x）在R上单调递增，且f（x）＜f（y），
所以x＜y，即y﹣x＞0，由于y﹣x+1＞1，
故ln（y﹣x+1）＞ln1＝0．
方法二：取x＝﹣1，y＝0，满足2x﹣2y＜3﹣x﹣3﹣y，
此时ln（y﹣x+1）＝ln2＞0，ln|x﹣y|＝ln1＝0，可排除BCD．
故选：A．
【知识点】函数单调性的性质与判断
2.（2019•新课标Ⅲ）设f（x）是定义域为R的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（　　）
A．f（log3）＞f（2）＞f（2）
B．f（log3）＞f（2）＞f（2）
C．f（2）＞f（2）＞f（log3）
D．f（2）＞f（2）＞f（log3）
【答案】C
【分析】根据log34＞log33＝1，，结合f（x）的奇偶和单调性即可判断．
【解答】解：∵f（x）是定义域为R的偶函数
∴，
∵log34＞log33＝1，，
∴0
f（x）在（0，+∞）上单调递减，
∴＞＞，
故选：C．
【知识点】函数奇偶性的性质与判断、函数单调性的性质与判断
3.（2019•北京）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（　　）
A．y＝x B．y＝2﹣x C．y＝logx D．y＝
【答案】A
【分析】判断每个函数在（0，+∞）上的单调性即可．
【解答】解：在（0，+∞）上单调递增，和在（0，+∞）上都是减函数．
故选：A．
【知识点】函数单调性的性质与判断
4.（2017•上海）函数f（x）＝（x﹣1）2的单调递增区间是（　　）
A．[0，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，0] D．（﹣∞，1]
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质求出函数的递增区间即可．
【解答】解：函数f（x）的对称轴是x＝1，开口向上，
故f（x）在[1，+∞）递增，
故选：B．
【知识点】函数的单调性及单调区间
5.（2017•山东）若函数exf（x）（e＝2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质，下列函数中具有M性质的是（　　）
A．f（x）＝2﹣x B．f（x）＝x2 C．f（x）＝3﹣x D．f（x）＝cosx
【答案】A
【分析】根据已知中函数f（x）具有M性质的定义，可得f（x）＝2﹣x时，满足定义．
【解答】解：当f（x）＝2﹣x时，函数exf（x）＝（）x在R上单调递增，函数f（x）具有M性质，
故选：A．
【知识点】函数单调性的性质与判断
6.（2020•海南）已知函数f（x）＝lg（x2﹣4x﹣5）在（a，+∞）上单调递增，则a的取值范围是（　　）
A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．（5，+∞） D．[5，+∞）
【答案】D
【分析】由对数式的真数大于0求得函数的定义域，令t＝x2﹣4x﹣5，由外层函数y＝lgt是其定义域内的增函数，结合复合函数的单调性可知，要使函数f（x）＝lg（x2﹣4x﹣5）在（a，+∞）上单调递增，需内层函数t＝x2﹣4x﹣5在（a，+∞）上单调递增且恒大于0，转化为（a，+∞）⊆（5，+∞），即可得到a的范围．
【解答】解：由x2﹣4x﹣5＞0，得x＜﹣1或x＞5．
令t＝x2﹣4x﹣5，
∵外层函数y＝lgt是其定义域内的增函数，
∴要使函数f（x）＝lg（x2﹣4x﹣5）在（a，+∞）上单调递增，
则需内层函数t＝x2﹣4x﹣5在（a，+∞）上单调递增且恒大于0，
则（a，+∞）⊆（5，+∞），即a≥5．
∴a的取值范围是[5，+∞）．
故选：D．
【知识点】复合函数的单调性
7.（2018•全国）f（x）＝ln（x2﹣3x+2）的递增区间是（　　）
A．（﹣∞，1） B．（1，） C．（，+∞） D．（2，+∞）
【答案】D
【分析】令t＝x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）＞0，求得函数的定义域，根据f（x）＝lnt，本题即求函数t在定义域内的增区间，结合二次函数的性质可得函数t在定义域内的增区间．
【解答】解：令t＝x2﹣3x+2＝（x﹣1）（x﹣2）＞0，求得x＜1或x＞2，
故函数的定义域为{x|x＜1或x＞2 }，f（x）＝lnt，
本题即求函数t在定义域内的增区间．
结合二次函数的性质可得函数t在定义域内的增区间为（2，+∞），
故选：D．
【知识点】复合函数的单调性
8.（2019•上海）已知ω∈R，函数f（x）＝（x﹣6）2•sin（ωx），存在常数a∈R，使f（x+a）为偶函数，则ω的值可能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用三角函数的性质的应用和函数的奇偶性的应用求出结果．
【解答】解：由于函数f（x）＝（x﹣6）2•sin（ωx），存在常数a∈R，
f（x+a）为偶函数，
则：f（x+a）＝（x+a﹣6）2•sin[ω（x+a）]，
由于函数为偶函数，
故：a＝6，
所以：，
当k＝1时．ω＝
故选：C．
【知识点】函数奇偶性的性质与判断
9.（2019•海南）设f（x）为奇函数，且当x≥0时，f（x）＝ex﹣1，则当x＜0时，f（x）＝（　　）
A．e﹣x﹣1 B．e﹣x+1 C．﹣e﹣x﹣1 D．﹣e﹣x+1
【答案】D
【分析】设x＜0，则﹣x＞0，代入已知函数解析式，结合函数奇偶性可得x＜0时的f（x）．
【解答】解：设x＜0，则﹣x＞0，
∴f（﹣x）＝e﹣x﹣1，
∵设f（x）为奇函数，∴﹣f（x）＝e﹣x﹣1，
即f（x）＝﹣e﹣x+1．
故选：D．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法、函数奇偶性的性质与判断
10.（2019•天河区）已知偶函数f（x），当x∈[0，2）时，f（x）＝﹣，当x∈[2，+∞）时，f（x）＝log2x，则f（﹣4）+f（﹣）＝（　　）
A．﹣4 B．0 C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，由函数的解析式求出f（﹣4）与f（﹣）的值，结合函数的奇偶性可得f（4）与f（）的值，计算可得答案．
【解答】解：根据题意，当x∈[0，2）时，f（x）＝﹣，则f（）＝﹣＝﹣，
当x∈[2，+∞）时，f（x）＝log2x，f（4）＝log24＝2，
又由f（x）为偶函数，则f（﹣4）＝f（4）＝2，f（﹣）＝f（）＝﹣；
则f（﹣4）+f（﹣）＝2﹣＝；
故选：D．
【知识点】函数奇偶性的性质与判断
11.（2018•新课标Ⅱ）已知f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，满足f（1﹣x）＝f（1+x），若f（1）＝2，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝（　　）
A．﹣50 B．0 C．2 D．50
【答案】C
【分析】根据函数奇偶性和对称性的关系求出函数的周期是4，结合函数的周期性和奇偶性进行转化求解即可．
【解答】解：∵f（x）是奇函数，且f（1﹣x）＝f（1+x），
∴f（1﹣x）＝f（1+x）＝﹣f（x﹣1），f（0）＝0，
则f（x+2）＝﹣f（x），则f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），
即函数f（x）是周期为4的周期函数，
∵f（1）＝2，
∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1﹣2）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，
f（4）＝f（0）＝0，
则f（1）+f（2）+f（3）+f（4）＝2+0﹣2+0＝0，
则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）＝12[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50）
＝f（1）+f（2）＝2+0＝2，
故选：C．
【知识点】函数奇偶性的性质与判断
12.（2020•海南）若定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，则满足xf（x﹣1）≥0的x的取值范围是（　　）
A．[﹣1，1]∪[3，+∞） B．[﹣3，﹣1]∪[0，1]
C．[﹣1，0]∪[1，+∞） D．[﹣1，0]∪[1，3]
【答案】D
【分析】根据函数奇偶性的性质，然后判断函数的单调性，利用分类讨论思想进行求解即可．
【解答】解：∵定义在R的奇函数f（x）在（﹣∞，0）单调递减，且f（2）＝0，f（x）的大致图象如图：
∴f（x）在（0，+∞）上单调递减，且f（﹣2）＝0；
故f（﹣1）＜0；
当x＝0时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，
当x＝1时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，
当x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2时，即x＝3或x＝﹣1时，不等式xf（x﹣1）≥0成立，
当x＞0时，不等式xf（x﹣1）≥0等价为f（x﹣1）≥0，
此时，此时1＜x≤3，
当x＜0时，不等式xf（x﹣1）≥0等价为f（x﹣1）≤0，
即，得﹣1≤x＜0，
综上﹣1≤x≤0或1≤x≤3，
即实数x的取值范围是[﹣1，0]∪[1，3]，
故选：D．
【知识点】奇偶性与单调性的综合
13.（2019•天津）已知a∈R．设函数f（x）＝若关于x的不等式f（x）≥0在R上恒成立，则a的取值范围为（　　）
A．[0，1] B．[0，2] C．[0，e] D．[1，e]
【答案】C
【分析】分2段代解析式后，分离参数a，再构造函数求最值可得．
【解答】解：当x＝1时，f（1）＝1﹣2a+2a＝1＞0恒成立；
当x＜1时，f（x）＝x2﹣2ax+2a≥0⇔2a≥恒成立，
令g（x）＝＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣（1﹣x+﹣2）≤﹣（2﹣2）＝0，
∴2a≥g（x）max＝0，∴a＞0．
当x＞1时，f（x）＝x﹣alnx≥0⇔a≤恒成立，
令h（x）＝，则h′（x）＝＝，
当x＞e时，h′（x）＞0，h（x）递增，
当1＜x＜e时，h′（x）＜0，h（x）递减，
∴x＝e时，h（x）取得最小值h（e）＝e，
∴a≤h（x）＝e，
综上a的取值范围是[0，e]．
故选：C．
【知识点】函数恒成立问题
14.（2017•天津）已知函数f（x）＝，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（　　）
A．[﹣，2] B．[﹣，] C．[﹣2，2] D．[﹣2，]
【答案】A
【分析】讨论当x≤1时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3，再由二次函数的最值求法，可得a的范围；讨论当x＞1时，同样可得﹣（x+）≤a≤+，再由基本不等式可得最值，可得a的范围，求交集即可得到所求范围．
【解答】解：当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，
即为﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3，
即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3，
由y＝﹣x2+x﹣3的对称轴为x＝＜1，可得x＝处取得最大值﹣；
由y＝x2﹣x+3的对称轴为x＝＜1，可得x＝处取得最小值，
则﹣≤a≤①
当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，
即为﹣（x+）≤+a≤x+，
即有﹣（x+）≤a≤+，
由y＝﹣（x+）≤﹣2＝﹣2（当且仅当x＝＞1）取得最大值﹣2；
由y＝x+≥2＝2（当且仅当x＝2＞1）取得最小值2．
则﹣2≤a≤2②
由①②可得，﹣≤a≤2．
另解：作出f（x）的图象和折线y＝|+a|
当x≤1时，y＝x2﹣x+3的导数为y′＝2x﹣1，
由2x﹣1＝﹣，可得x＝，
切点为（，）代入y＝﹣﹣a，解得a＝﹣；
当x＞1时，y＝x+的导数为y′＝1﹣，
由1﹣＝，可得x＝2（﹣2舍去），
切点为（2，3），代入y＝+a，解得a＝2．
由图象平移可得，﹣≤a≤2．
故选：A．

【知识点】函数恒成立问题、分段函数的应用

15.（2019•北京）设函数f（x）＝ex+ae﹣x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a＝　﹣　；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是　　﹣∞　　　．
【答案】【第1空】-1
【第2空】（-∞，0]
【分析】对于第一空：由奇函数的定义可得f（﹣x）＝﹣f（x），即e﹣x+aex＝﹣（ex+ae﹣x），变形可得分析可得a的值，即可得答案；
对于第二空：求出函数的导数，由函数的导数与单调性的关系分析可得f（x）的导数f′（x）＝ex﹣ae﹣x≥0在R上恒成立，变形可得：a≤e2x恒成立，据此分析可得答案．
【解答】解：根据题意，函数f（x）＝ex+ae﹣x，
若f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），即e﹣x+aex＝﹣（ex+ae﹣x），变形可得a＝﹣1，
函数f（x）＝ex+ae﹣x，导数f′（x）＝ex﹣ae﹣x
若f（x）是R上的增函数，则f（x）的导数f′（x）＝ex﹣ae﹣x≥0在R上恒成立，
变形可得：a≤e2x恒成立，分析可得a≤0，即a的取值范围为（﹣∞，0]；
故答案为：﹣1，（﹣∞，0]．
【知识点】函数奇偶性的性质与判断、函数单调性的性质与判断
16.（2018•浙江）已知λ∈R，函数f（x）＝，当λ＝2时，不等式f（x）＜0的解集是　　　　　　　．若函数f（x）恰有2个零点，则λ的取值范围是　　　　　　　　　　　　．
【答案】【第1空】{x|1＜x＜4}
【第2空】（1，3]∪（4，+∞）
【分析】利用分段函数转化求解不等式的解集即可；利用函数的图象，通过函数的零点得到不等式求解即可．
【解答】解：当λ＝2时函数f（x）＝，显然x≥2时，不等式x﹣4＜0的解集：{x|2≤x＜4}；x＜2时，不等式f（x）＜0化为：x2﹣4x+3＜0，解得1＜x＜2，综上，不等式的解集为：{x|1＜x＜4}．
函数f（x）恰有2个零点，
函数f（x）＝的草图如图：
函数f（x）恰有2个零点，则1＜λ≤3或λ＞4．
故答案为：{x|1＜x＜4}；（1，3]∪（4，+∞）．

【知识点】分段函数的应用、函数与方程的综合运用、函数单调性的性质与判断
17.（2017•山东）若函数exf（x）（e≈2.71828…是自然对数的底数）在f（x）的定义域上单调递增，则称函数f（x）具有M性质．下列函数中所有具有M性质的函数的序号为　　　　．
①f（x）＝2﹣x②f（x）＝3﹣x③f（x）＝x3④f（x）＝x2+2．
【答案】①④
【分析】把①②代入exf（x），变形为指数函数判断；把③④代入exf（x），求导数判断．
【解答】解：对于①，f（x）＝2﹣x，则g（x）＝exf（x）＝为实数集上的增函数；
对于②，f（x）＝3﹣x，则g（x）＝exf（x）＝为实数集上的减函数；
对于③，f（x）＝x3，则g（x）＝exf（x）＝ex•x3，
g′（x）＝ex•x3+3ex•x2＝ex（x3+3x2）＝ex•x2（x+3），当x＜﹣3时，g′（x）＜0，
∴g（x）＝exf（x）在定义域R上先减后增；
对于④，f（x）＝x2+2，则g（x）＝exf（x）＝ex（x2+2），
g′（x）＝ex（x2+2）+2xex＝ex（x2+2x+2）＞0在实数集R上恒成立，
∴g（x）＝exf（x）在定义域R上是增函数．
∴具有M性质的函数的序号为①④．
故答案为：①④．
【知识点】函数单调性的性质与判断
18.（2021•上海）已知函数f（x）＝3x+（a＞0）的最小值为5，则a＝　　．
【答案】9
【分析】利用基本不等式求最值需要满足“一正、二定、三相等”，该题只需将函数解析式变形成f（x）＝3x+1+﹣1，然后利用基本不等式求解即可，注意等号成立的条件．
【解答】解：f（x）＝3x+＝3x+1+﹣1≥﹣1＝5，
所以a＝9，经检验，3x＝2时等号成立．
故答案为：9．
【知识点】函数的最值及其几何意义
19.（2019•浙江）已知a∈R，函数f（x）＝ax3﹣x．若存在t∈R，使得|f（t+2）﹣f（t）|≤，则实数a的最大值是　　　　　　．

【分析】由题意可得|a（t+2）3﹣（t+2）﹣at3+t|≤，化为|2a（3t2+6t+4）﹣2|≤，去绝对值化简，结合二次函数的最值，以及不等式的性质，不等式有解思想，可得a的范围，进而得到所求最大值．
【解答】解：存在t∈R，使得|f（t+2）﹣f（t）|≤，
即有|a（t+2）3﹣（t+2）﹣at3+t|≤，
化为|2a（3t2+6t+4）﹣2|≤，
可得﹣≤2a（3t2+6t+4）﹣2≤，
即≤a（3t2+6t+4）≤，
由3t2+6t+4＝3（t+1）2+1≥1，
可得0＜a≤，可得a的最大值为．
故答案为：．
【知识点】函数的最值及其几何意义
20.（2020•江苏）已知y＝f（x）是奇函数，当x≥0时，f（x）＝x，则f（﹣8）的值是　　．
【答案】-4
【分析】由奇函数的定义可得f（﹣x）＝﹣f（x），由已知可得f（8），进而得到f（﹣8）．
【解答】解：y＝f（x）是奇函数，可得f（﹣x）＝﹣f（x），
当x≥0时，f（x）＝x，可得f（8）＝8＝4，
则f（﹣8）＝﹣f（8）＝﹣4，
故答案为：﹣4．
【知识点】函数奇偶性的性质与判断
21.（2019•海南）已知f（x）是奇函数，且当x＜0时，f（x）＝﹣eax．若f（ln2）＝8，则a＝　﹣　．
【答案】-3
【分析】奇函数的定义结合对数的运算可得结果
【解答】解：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣ln2）＝﹣8，
又∵当x＜0时，f（x）＝﹣eax，
∴f（﹣ln2）＝﹣e﹣aln2＝﹣8，
∴﹣aln2＝ln8，∴a＝﹣3．
故答案为：﹣3
【知识点】函数奇偶性的性质与判断
22.（2018•天津）已知a∈R，函数f（x）＝．若对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，则a的取值范围是　　　　　　　　．

【分析】根据分段函数的表达式，结合不等式恒成立分别进行求解即可．
【解答】解：当x≤0时，函数f（x）＝x2+2x+a﹣2的对称轴为x＝﹣1，抛物线开口向上，
要使x≤0时，对任意x∈[﹣3，+∞），f（x）≤|x|恒成立，
则只需要f（﹣3）≤|﹣3|＝3，
即9﹣6+a﹣2≤3，得a≤2，
当x＞0时，要使f（x）≤|x|恒成立，即f（x）＝﹣x2+2x﹣2a，在射线y＝x的下方或在y＝x上，
由﹣x2+2x﹣2a≤x，即x2﹣x+2a≥0，由判别式△＝1﹣8a≤0，
得a≥，
综上≤a≤2，
故答案为：[，2]．

【知识点】函数恒成立问题