(新高考)高考数学一轮考点复习4.3《三角函数的图象与性质》学案 (含详解)

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第三节　三角函数的图象与性质
核心素养立意下的命题导向
1.与不等式相结合考查三角函数定义域的求法，凸显数学运算的核心素养．
2．与二次函数、函数的单调性等结合考查函数的值域(最值)，凸显数学运算的核心素养．
3．借助函数的图象、数形结合思想考查函数的奇偶性、单调性、对称性等性质，凸显数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养．

[理清主干知识]
1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
(1)在正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
(2)在余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，，(π， －1)，，(2π，1)．
2．正弦、余弦、正切函数的图象与性质
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
图象



定义域
R
R
xx∈R，且x≠kπ＋，k∈Z
值域
[－1,1]
[－1,1]
R
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在－＋2kπ，＋2kπ(k∈Z)上是递增函数，在＋2kπ，＋2kπ(k∈Z)上是递减函数
在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数
在－＋kπ，＋kπ(k∈Z)上是递增函数
周期性
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是
周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是
周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是
对称性
对称轴是x＝＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)
对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是kπ＋，0(k∈Z)
对称中心是(k∈Z)

[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(三角函数的定义域)函数y＝tan 2x的定义域是(　　)
A.　　 B.
C. D.
答案：D
2．(三角函数的周期性)已知函数f(x)＝cos(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝________.
答案：2
3．(三角函数的奇偶性)若函数f(x)＝sin(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.
解析：由已知f(x)＝sin是偶函数，可得＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝3kπ＋(k∈Z)，又φ∈[0,2π]，所以φ＝.
答案：
4．(三角函数的对称性)函数f(x)＝3sin的对称轴为________，对称中心为________．
答案：x＝＋(k∈Z)　(k∈Z)
5．(三角函数的单调性)函数y＝tan的单调递增区间为__________________．
答案：(k∈Z)
二、易错点练清
1．(忽视正切函数自身的定义域)函数y＝lg(3tan x－)的定义域为________________．
解析：要使函数y＝lg(3tan x－)有意义，
则3tan x－>0，即tan x>.
所以＋kπ0)过原点，
所以当0≤ωx≤，即0≤x≤时，y＝sin ωx是增函数；
当≤ωx≤，即≤x≤时，y＝sin ωx是减函数．
由f(x)＝sin ωx(ω>0)在上单调递增，
在上单调递减知，＝，所以ω＝.
(2)f(x)＝cos 2x＋acos＝1－2sin2x－asin x，
令sin x＝t，t∈，则g(t)＝－2t2－at＋1，t∈，
因为f(x)在上单调递增，
所以－≥1，即a≤－4.
[答案]　(1)B　(2)(－∞，－4]
[方法技巧]
已知单调区间求参数范围的3种方法
子集法
求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解
反子
集法
由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解
周期
性法
由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解

[针对训练]
1．已知为函数f(x)＝sin(2x＋φ)的零点，则函数f(x)的单调递增区间是(　　)
A.(k∈Z)
B.(k∈Z)
C.(k∈Z)
D.(k∈Z)
解析：选C　 由于为函数f(x)＝sin(2x＋φ)的零点，
则f＝0，所以sin＝0，
解得φ＝，故f(x)＝sin.
令－＋2kπ≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
2．已知ω>0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D．(0,2]
解析：选A　由