(新高考)高考数学一轮考点复习5.1《平面向量的概念及线性运算》学案 (含详解)

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第五章 平面向量、复数
第一节　平面向量的概念及线性运算
核心素养立意下的命题导向
1.结合平面向量的有关概念，考查对向量特性的理解，凸显数学抽象的核心素养．
2．结合向量的线性运算，考查用向量刻画平面图形的能力，凸显逻辑推理的核心素养．
3．结合向量的线性运算的几何意义，考查数形结合的思想，凸显直观想象的核心素养．


[理清主干知识]
1．向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量，可在平面内自由平移
零向量
长度为的向量
记作0，其方向是任意的
单位向量
长度等于个单位的向量
非零向量a的单位向量为±
平行向量
方向相同或相反的非零向量(又叫做共线向量)
0与任一向量平行或共线
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不相等，不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0

2．向量的线性运算
向量



运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算

(1)交换律：a＋b＝b＋a；
(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差

a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
|λa|＝|λ||a|，当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ1，
因为＝λ＋μ，
所以m＝λ＋μ，
即＝＋.
又知A，B，D三点共线，
所以＋＝1，即λ＋μ＝m，
所以λ＋μ>1，故选B.
二、创新考查方式——领悟高考新动向
1．已知平面上点O与线段AB，若线段AB上有n(n＞1)个异于端点A，B的互异动点P1，P2，…，Pn，且满足＝λK＋μK，λK，μK∈R,1≤K≤n，K∈Z，则(λ1λ2…λn)·(μ1μ2…μn)的取值范围是(　　)
A．(0，) B．(0，)
C．(0，] D．[，＋∞)
解析：选B　因为()2－ab＝＝≥0，
所以ab≤()2对任意a，b∈R均成立，并且当且仅当a＝b时等号成立．
由于PK，A，B共线，所以λK＋μK＝1，
由于PK在线段AB上且异于端点A，B，结合＝λK＋μK以及平行四边形法则可知λK＞0，μK＞0.若λK＝μK＝，此时PK为线段AB的中点，仅有1点，但n＞1，所以0＜(λ1λ2…λn)(μ1μ2…μn)＝(λ1μ1)·(λ2μ2)……(λnμn)＜()2·()2·…·()2＝，故选B.


2.赵爽是我国古代数学家、天文学家，大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”(以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成的)．类比“赵爽弦图”，可构造如图所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设DF＝2AF，则(　　)
A．＝＋ B．＝＋
C．＝＋ D．＝＋
解析：选C　由题意知＝3，＝3，＝3，
则＝3＝3(＋)＝3＋9＝3＋9＋9
＝3＋9(－)＋27
＝－6＋9＋27(－)
＝－6－18＋27，
所以＝＋.
3.窗的运用是中式园林设计的重要组成部分，常常运用象征、隐喻、借景等手法，将民族文化与哲理融入其中，营造出广阔的审美意境．从窗的外形看，常见的有圆形、菱形、正六边形、正八边形等．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为正八边形P1P2…P8的中心，P1P8⊥x轴，现用如下方法等可能地确定点M：点M满足2＋＋＝0(其中1≤i，j≤8且i，j∈N*，i≠j)，则点M(异于点O)落在坐标轴上的概率为(　　)
A. B．
C. D．
解析：选D　由题意可知＋所有可能结果有：
＋，＋，＋，＋，＋，＋，＋，＋，＋，＋，＋，＋，＋，＋，＋，＋，＋，＋，＋，＋，＋，＋，＋，＋，＋，＋，＋，＋，共有28种．
点M(异于点O)落在坐标轴上的结果有：＋，＋，＋，＋，＋，＋，＋，＋，共有8种，
所以点M(异于点O)落在坐标轴上的概率为P＝＝.故选D.

一、基础练——练手感熟练度
1．(多选)设a，b是非零向量，记a与b所成的角为θ，下列四个条件中，使＝成立的充要条件是(　　)
A．a∥b B．θ＝0
C．a＝2b D．θ＝π
解析：选BC　＝等价于非零向量a与b同向共线，即θ＝0，故B正确．对于选项C，a＝2b，则a与b同向共线，故C正确．
2．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则＋＝(　　)
A． B．
C. D．
解析：选A　由题意得＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝.
3．设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　)
A．a与λa的方向相反 B．a与λ2a的方向相同
C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a
解析：选B　对于A，当λ>0时，a与λa的方向相同，当λ