(新高考)高考数学一轮考点复习5.4《复数》学案 (含详解)

这是一份(新高考)高考数学一轮考点复习5.4《复数》学案 (含详解)，共12页。

第四节　复数
核心素养立意下的命题导向
1.通过方程的解，认识复数．
2．结合复数的代数表示及其几何意义，考查复数的实部、虚部，共轭复数，复数的模等概念的认识，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
3．结合复数的运算法则，考查复数的加、减、乘、除运算，凸显数学运算的核心素养．


[理清主干知识]
1．复数的定义及分类
(1)复数的定义：
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中实部是a，虚部是b.
(2)复数的分类：

2．复数的有关概念
复数相等
a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数
a＋bi与c＋di共轭⇔a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
复数的模
向量OZ―→的模叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝r＝(r≥0，a，b∈R)
3.复数的几何意义
复平面
的概念
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面
实轴、
虚轴
在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数
复数的
几何表示
复数z＝a＋bi复平面内的点Z(a，b) 平面向量
4.复数的运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：
(1)z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)＝＝＝＋i(c＋di≠0)．
5．复数运算的几个重要结论
(1)|z1＋z2|2＋|z1－z2|2＝2(|z1|2＋|z2|2)．
(2)·z＝|z|2＝||2.
(3)若z为虚数，则|z|2≠z2.
(4)(1±i)2＝±2i.
(5)＝i；＝－i.
(6)i4n＝1；i4n＋1＝i；i4n＋2＝－1；i4n＋3＝－i.

[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(复数的概念)复数z＝的虚部为(　　)
A.　　　　　　　　　　 B．i
C．－ D．－i
解析：选A　z＝＝＝＝＋i.故选A.
2．(复数的模)复数z＝(1＋i)2，则|z|＝(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C　由题得z＝2i，所以|z|＝2.故选C.
3．(复数的几何意义)复数z＝在复平面上的对应点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选A　z＝＝＝2＋i，在复平面上的对应点为，位于第一象限．故选A.
4．(复数的运算)若复数z满足z·i＝1＋i(i是虚数单位)，则z的共轭复数是________．
解析：由z·i＝1＋i，得z＝＝＝1－i，
∴＝1＋i.
答案：1＋i
二、易错点练清
1．(概念理解错误)i为虚数单位，复数的虚部是(　　)
A．－1 B．1
C．i D．－i
解析：选B　由题意得，＝＝＝i，所以复数的虚部是1.故选B.
2．(混淆绝对值与复数模的含义)若z＝3＋4i，则|z|＝(　　)
A. B．5
C．7 D．25
解析：选B　因为z＝3＋4i，
所以|z|＝＝＝5.

考点一　复数的概念
1．(2020·浙江高考)已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝(　　)
A．1　　　　　　　　　 B．－1
C．2 D．－2
解析：选C　因为a－1＋(a－2)i是实数，所以a－2＝0，所以a＝2，故选C.
2．(2020·全国卷Ⅰ)若z＝1＋2i＋i3，则|z|＝(　　)
A．0 B．1
C. D．2
解析：选C　因为z＝1＋2i＋i3＝1＋2i－i＝1＋i，
所以|z|＝＝，故选C.
3．(多选)已知i为虚数，且复数z满足z(1＋2i)＝1＋i3，则下列关于复数z的命题中正确的为(　　)
A．复数z的虚部为－
B．|z|＝
C．复数z对应的点在第三象限
D．z<1＋2i
解析：选AC　z＝＝＝，
则复数z的虚部为－，故A正确；
|z|＝ ＝，故B错误；
复数z对应的点为，为第三象限内的点，故C正确；
虚数不能比较大小，故D错误．故选A、C.
4．(多选)(2021年1月新高考八省联考卷)设z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中正确的是(　　)
A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3
B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3
C．若2＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|
D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2
解析：选BC　由复数的形式知选项A显然不正确；
当z1z2＝z1z3时，有z1z2－z1z3＝z1(z2－z3)＝0，又z1≠0，所以有z2＝z3，故选项B正确；
当2＝z3时，则z2＝3，
|z1z2|2－|z1z3|2＝(z1z2)(1 2)－(z1z3)(1 3)＝z1z212－z1z313＝0，故选项C正确；
当z1z2＝|z1|2时，则z1z2＝|z1|2＝z11⇒z1z2－z11＝z1(z2－1)＝0，又z1≠0，所以1＝z2，故选项D不正确．
5．已知复数z＝＋的实部与虚部的和为2，则实数a的值为________．
解析：易知z＝＋＝＋＝＋，由题意得＋＝2，解得a＝3.
答案：3
[方法技巧]
解决复数概念问题的方法及注意事项
(1)求一个复数的实部与虚部，只需将已知的复数化为代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，则该复数的实部为a，虚部为b.
(2)求一个复数的共轭复数，只需将此复数整理成标准的代数形式，实部不变，虚部变为相反数，即得原复数的共轭复数．复数z1＝a＋bi与z2＝c＋di共轭⇔a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(3)复数是实数的条件：
①z＝a＋bi∈R⇔b＝0(a，b∈R)；
②z∈R⇔z＝；③z∈R⇔z2≥0.
(4)复数是纯虚数的条件： ①z＝a＋bi是纯虚数⇔a＝0且b≠0(a，b∈R); ②z是纯虚数⇔z＋＝0(z≠0)；③z是纯虚数⇔z2<0.　　
考点二　复数代数形式的运算
[典题例析]　
(1)(2020·新高考全国卷Ⅱ)(1＋2i)(2＋i)＝(　　)
A．－5i　　　　　　　 B．5i
C．－5 D．5
(2)(2020·全国卷Ⅰ)若z＝1＋i，则|z2－2z|＝(　　)
A．0 B．1
C. D．2
(3)(2020·新高考全国卷Ⅰ)＝(　　)
A．1 B．－1
C．i D．－i
[解析]　(1)(1＋2i)(2＋i)＝2＋4i＋i－2＝5i，故选B.
(2)法一：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|(1＋i)2－2(1＋i)|＝|2i－2－2i|＝2.故选D.
法二：∵z＝1＋i，∴|z2－2z|＝|z||z－2|＝×|－1＋i|＝×＝2.故选D.
(3)＝＝＝－i.
[答案]　(1)B　(2)D　(3)D
[方法技巧]　复数代数形式运算问题的解题策略
复数的
加减法
在进行复数的加减法运算时，可类比合并同类项，运用法则(实部与实部相加减，虚部与虚部相加减)计算即可
复数的
乘法
复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可
复数的
除法
除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式
　　
[针对训练]
1．复数＋的共轭复数的虚部为(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选B　∵＋＝＋＝＋＝－i＋＝＋i，
∴复数＋的共轭复数为－i，虚部为－.故选B.
2．计算：
(1)＝________；
(2)＋＝________.
解析：(1)＝
＝＝＝＋i.
(2)＋＝－＝＝－1.
答案：(1)＋i　(2)－1
考点三　复数的几何意义
[典例]　(1)(2020·北京高考)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i·z＝(　　)
A．1＋2i　　　　　　　　　 B．－2＋i
C．1－2i D．－2－i
(2)在复平面内，复数(i为虚数单位)对应的点位于第一象限，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1) B．(－∞，0)
C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
[解析]　(1)由题意知，z＝1＋2i，所以i·z＝i·(1＋2i)＝－2＋i，故选B.
(2)＝＝＋i.
∵该复数对应的点位于第一象限，
∴∴解得m>1，
∴实数m的取值范围是(1，＋∞)，故选D.
[答案]　(1)B　(2)D
[方法技巧]
复数几何意义问题的解题策略
(1)复数z、复平面上的点Z及向量OZ―→相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔OZ―→.
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．　　

[针对训练]
1．复数z＝在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D　∵z＝＝＝＝－，∴在复平面内对应的点为，位于第四象限，故选D.
2．设复数z满足条件|z|＝1，那么|z＋2＋i|的最大值是(　　)
A．3 B．2
C．1＋2 D．4
解析：选D　|z|＝1表示单位圆上的点， 那么|z＋2＋i|表示在单位圆上的点到(－2，－1)的距离，求最大值转化为点(－2，－1)到原点的距离加上圆的半径．因为点(－2，－1)到原点的距离为3，所以最大值为4.
3．设复数z满足|z－i|＝|z＋i|(i为虚数单位)，且z在复平面内对应的点为Z(x，y)，则下列结论一定正确的是(　　)
A．x＝1 B．y＝1
C．x＝0 D．y＝0
解析：选D　∵满足|z－i|＝|z＋i|的点为复平面内到点(0，－1)和(0,1)的距离相等的点的集合，∴Z(x，y)的轨迹为x轴，其方程为y＝0.故选D.

1．已知i为虚数单位，z＝，则复数z的虚部为(　　)
A．－2i　　　　　　　　　　 B．2i
C．2 D．－2
解析：选C　z＝＝＝＝2＋2i，虚部即为i的系数，为2，故选C.
2．设复数z＝，f(x)＝x2 020＋x2 019＋…＋x＋1，则f(z)＝(　　)
A．i B．－i
C．1 D．－1
解析：选C　∵z＝＝＝＝－i，
∴f(z)＝f(－i)＝(－i)2 020＋(－i)2 019＋…＋(－i)＋1.
∵(－i)＋(－i)2＋(－i)3＋(－i)4＝－i－1＋i＋1＝0，
∴f(z)＝505×0＋1＝1.故选C.
3．若z＝＋(m－2)i为纯虚数，则实数m的值为(　　)
A．－2 B．2
C．－3 D．3
解析：选C　因为z＝＋(m－2)i为纯虚数，所以解得m＝－3，故选C.
4．复数z＝在复平面内对应的点位于(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：选D　由题得复数z＝＝＝＝1－i，所以复数z对应的点位于复平面第四象限，故选D.
5．“a＝－2”是“复数z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)为纯虚数”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选C　当a＝－2时，z＝(－2＋2i)(－1＋i)＝－4i，则z为纯虚数，
可知“a＝－2”是“复数z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)为纯虚数”的充分条件；
当z＝(a＋2i)(－1＋i)＝(－a－2)＋(a－2)i为纯虚数时，有解得a＝－2，
可知“a＝－2”是“复数z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)为纯虚数”的必要条件．
综上所述，“a＝－2”是“复数z＝(a＋2i)(－1＋i)(a∈R)为纯虚数”的充要条件．
6．已知a∈R，i是虚数单位，若z＝a＋i，z·＝4，则a＝(　　)
A．1或－1 B．或－
C．－ D．
解析：选A　∵z＝a＋i，∴＝a－i，
∴z·＝(a＋i)(a－i)＝a2＋3＝4，
∴a2＝1，∴a＝±1，故选A.
7．已知m∈R，复数z1＝1＋3i，z2＝m＋2i，且z1·2为实数，则m＝(　　)
A．－ B．
C．3 D．－3
解析：选B　因为z1·2＝(1＋3i)(m－2i)＝(m＋6)＋(3m－2)i为实数，所以3m－2＝0，解得m＝.故选B.
8．已知复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝3－i(i为虚数单位)，则＝(　　)
A.－i B．－＋i
C．－－i D．＋i
解析：选A　由题意，复数z1，z2在复平面内的对应点关于实轴对称，z1＝3－i，则z2＝3＋i，则根据复数的运算，得＝＝－i.
9．已知z＝a＋bi，其中a，b∈R，且满足(a＋i)2＝bi5，则|z|＝(　　)
A．5 B．
C．3 D．
解析：选B　由已知得(a＋i)2＝bi，
所以a2－1＋(2a－b)i＝0，所以a2－1＝0且2a－b＝0，
解得a＝1，b＝2或a＝－1，b＝－2，
所以|z|＝＝.
10．设z是复数，|z－i|≤2(i是虚数单位)，则|z|的最大值是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
解析：选C　∵|z－i|≤2，
∴复数z在复平面内对应点在以(0,1)为圆心，2为半径的圆上及其内部(如图)．
∴|z|的最大值为3.
11．已知ABCD是复平面内的平行四边形，A，B，C三点对应的复数分别是－2＋i,1－i,2＋2i，则点D对应的复数为(　　)
A．4－i B．－3－2i
C．5 D．－1＋4i
解析：选D　由题得A(－2,1)，B(1，－1)，C(2,2)，
设D(x，y)，
则＝(3，－2)，＝(2－x,2－y)，
因为＝，所以
解得x＝－1，y＝4.
所以点D的坐标为(－1,4)，
所以点D对应的复数为－1＋4i.
12．(多选)已知复数z满足z(2－i)＝i(i为虚数单位)，复数z的共轭复数为，则(　　)
A．|z|＝
B.＝－
C．复数z的实部为－1
D．复数z对应复平面上的点在第二象限
解析：选BD　因为复数z满足z(2－i)＝i，所以z＝＝＝－＋i，所以|z|＝ ＝，故A错误；＝－－i，故B正确；复数z的实部为－，故C错误；复数z对应复平面上的点在第二象限，故D正确．
13．已知i为虚数单位，且复数z满足z－2i＝，则复数z在复平面内的点到原点的距离为(　　)
A. B．
C. D．
解析：选B　由z－2i＝，
得z＝2i＋＝2i＋＝＋i，
∴复数z在复平面内的点的坐标为，到原点的距离为 ＝.
14．(多选)已知集合M＝，其中i为虚数单位，则下列元素属于集合M的是(　　)
A．(1－i)(1＋i) B．
C. D．(1－i)2
解析：选BC　根据题意，M＝，
∴M＝.
选项A中，(1－i)(1＋i)＝2,2∉M；
选项B中，＝＝－i∈M；
选项C中，＝＝i∈M；
选项D中，(1－i)2＝－2i∉M，故选B、C.
15．(2020·全国卷Ⅱ)设复数z1，z2满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝＋i，则|z1－z2|＝_______.
解析：法一：设z1＝a＋bi(a，b∈R)，则z2＝－a＋(1－b)i，则即
所以|z1－z2|2＝(2a－)2＋(2b－1)2＝4(a2＋b2)－4(a＋b)＋4＝4×4－4×2＋4＝12，
所以|z1－z2|＝2.
法二：题设可等价转化为向量a，b满足|a|＝|b|＝2，a＋b＝(，1)，求|a－b|.
因为(a＋b)2＋(a－b)2＝2|a|2＋2|b|2，
所以4＋(a－b)2＝16，所以|a－b|＝2，
即|z1－z2|＝2.
法三：设复数z1，z2在复平面内分别对应向量，，则z1＋z2对应向量＋.
由题知||＝||＝|＋|＝2，如图所示，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，
则z1－z2对应向量.
由OA＝AC＝OC＝2，
可得BA＝2OAsin 60°＝2.
故|z1－z2|＝||＝2.
答案：2
16．已知复数z＝m－1＋(3－m)i(m∈R)对应的点在x轴上方，则m的取值范围是________．
解析：复数z＝m－1＋(3－m)i(m∈R)在复平面上对应的点的坐标为(m－1,3－m)，如果该点落在x轴上方，则有3－m>0，解得m<3.
答案：(－∞，3)
17．已知i为虚数单位，z＝对应的点在第二象限，则θ是第________象限的角．
解析：∵z＝＝
＝cos 2θ＋isin 2θ对应的点在第二象限，
∴cos 2θ＜0，sin 2θ＞0，
∴2kπ＋＜2θ＜2kπ＋π，k∈Z，
解得kπ＋＜θ＜kπ＋，k∈Z.
当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋＜θ＜2nπ＋，θ为第一象限角；
当k＝2n－1(n∈Z)时，2nπ－＜θ＜2nπ－，θ为第三象限角．
综上可得，θ是第一、三象限的角．
答案：一、三
18．满足条件|z－i|＝|1＋i|的复数z在复平面上对应的点(x，y)的轨迹方程为________________．
解析：设z＝x＋yi，x，y∈R.
∵|z－i|＝|1＋i|＝2，∴|x＋(y－1)i|＝2，
∴＝2，∴x2＋(y－1)2＝4.
答案：x2＋(y－1)2＝4