(新高考)高考数学一轮考点复习6.2《等差数列及其前n项和》学案 (含详解)

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第二节　等差数列及其前n项和
核心素养立意下的命题导向
1.理解等差数列的概念，凸显数学抽象的核心素养．
2．与一次函数相对比，掌握等差数列的通项公式及应用，凸显数学运算的核心素养．
3．与二次函数相结合，掌握等差数列的前n项和公式及应用，凸显数学运算的核心素养．
4．与具体的问题情境相结合，考查等差数列的概念，凸显数学建模的核心素养．


[理清主干知识]
1．等差数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．
(2)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝.
2．等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝＝n2＋n.
3．等差数列的性质
(1)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(2)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(3)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…(m∈N*)也是等差数列，公差为m2d.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列．
4．等差数列的相关结论
(1)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为.
(2)在等差数列{an}中，a1>0，d0时，{an}是递数列；当d0，∴d0，a21＝a1＋20d＝d0时，n的最大值为20
(2)在等差数列{an}中，已知a1＝13,3a2＝11a6，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为________．
[解析]　(1)因为S6＝90，所以6a1＋d＝90，
即2a1＋5d＝30，①
又因为a7是a3与a9的等比中项，所以a＝a3·a9，
所以(a1＋6d)2＝(a1＋2d)(a1＋8d)，整理得a1＝－10d，②
由①②解得a1＝20，d＝－2，故A错误，B正确；
所以Sn＝20n＋×(－2)＝－n2＋21n＝－2＋，
又n∈N*，所以当n＝10或n＝11时，Sn取得最大值，故C正确；
令Sn＝－n2＋21n>0，解得0a8>a9>…，可得S6与S7均为Sn的最大值，即选项D正确，故选A、B、D.
2．设等差数列{an}满足a1＝1，an>0(n∈N*)，其前n项和为Sn，若数列{}也为等差数列，则的最大值是________．
解析：设数列{an}的公差为d，依题意得2＝＋，
∴2＝＋，
把a1＝1代入求得d＝2，
∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1，Sn＝n＋×2＝n2，
∴＝＝2＝2
＝2≤121.
∴的最大值是121.
答案：121


创新考查方式——领悟高考新动向
1．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“九百九十六斤绵，赠分八子作盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次弟，孝和休惹外人传．”其意思为：“996斤棉花，分别赠送给8个子女作旅费，从第一个开始，以后每人依次多17斤，使孝顺子女的美德外传，试求各人应分得多少斤．”则第3个子女分得棉花(　　)
A．65斤　　　　　　　　 B．82斤
C．99斤 D．106斤
解析：选C　设第一个孩子分配到a1斤棉花，
则由题意得S8＝8a1＋×17＝996，
解得a1＝65.
则a3＝65＋2×17＝99(斤)．
2．(多选)朱世杰是元代著名数学家，他所著的《算学启蒙》是一部在中国乃至世界最早的科学普及著作．《算学启蒙》中涉及一些“堆垛”问题，主要利用“堆垛”研究数列以及数列的求和问题．现有100根相同的圆形铅笔，小明模仿“堆垛”问题，将它们全部堆放成纵断面为等腰梯形的“垛”，要求层数不小于2，且从最下面一层开始，每一层比上一层多1根，则该“等腰梯形垛”应堆放的层数可以是(　　)
A．4 B．5
C．7 D．8
解析：选BD　依据题意，根数从上至下构成等差数列，设首项即第一层的根数为a1，公差为d＝1，设一共放n(n≥2)层，则总根数为：Sn＝na1＋＝na1＋＝100，整理得2a1＝＋1－n.因为a1∈N*，所以n为200的因数，＋(1－n)≥2且为偶数，验证可知n＝5,8满足题意．
3.(2020·全国卷Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)
A．3 699块 B．3 474块
C．3 402块 D．3 339块
解析：选C　由题意知，由天心石开始向外的每环的扇面形石板块数构成一个等差数列，记为{an}，易知其首项a1＝9，公差d＝9，所以an＝a1＋(n－1)d＝9n.
设数列{an}的前n项和为Sn，
由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等差数列，
所以2(S2n－Sn)＝Sn＋S3n－S2n，
所以(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝S2n－2Sn＝－2×＝9n2＝729，得n＝9，
所以三层共有扇面形石板的块数为S3n＝＝＝3 402，故选C.
4．已知函数f(x)＝log2(x－1)＋2，数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，则与f的大小关系是(　　)
A.>f
B.