(新高考)高考数学一轮考点复习6.5《数列的综合应用》学案 (含详解)

这是一份(新高考)高考数学一轮考点复习6.5《数列的综合应用》学案 (含详解)，共13页。
第五节　数列的综合应用
核心素养立意下的命题导向
1.数列与传统数学文化相结合，考查等差、等比数列的基本运算，凸显数学建模的核心素养．
2．数列与新定义问题相结合，考查转化、迁移能力，凸显数学抽象的核心素养．
3．数列与函数、不等式相结合，考查学生综合分析解决问题的能力，凸显逻辑推理的核心素养．
题型一　等差、等比数列的综合问题
[典例]　数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1)．
(1)求{an}的通项公式；
(2)等差数列{bn}的各项为正，其前n项和为Tn，且T3＝15，又a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列，求Tn.
[解]　(1)由an＋1＝2Sn＋1，可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，
两式相减得an＋1－an＝2an，则an＋1＝3an(n≥2)．
当n＝1时，a2＝2S1＋1＝3＝3a1，满足上式，
故{an}是首项为1，公比为3的等比数列，所以an＝3n－1.
(2)设等差数列{bn}的公差为d.
由T3＝15，即b1＋b2＋b3＝15，可得b2＝5，
故b1＝5－d，b3＝5＋d.
又a1＝1，a2＝3，a3＝9，且由a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3成等比数列可得(1＋5－d)(9＋5＋d)＝(3＋5)2，
解得d＝2或d＝－10.
因为等差数列{bn}的各项为正，
所以d>0.
所以d＝2，b1＝3，所以Tn＝3n＋×2＝n2＋2n.
[方法技巧]
等差、等比数列的综合问题的解题技巧
(1)将已知条件转化为等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解．求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程．求解过程中注意合理选择有关公式，正确判断是否需要分类讨论．
(2)一定条件下，等差数列与等比数列之间是可以相互转化的，即{an}为等差数列⇔ {aan }(a>0且a≠1)为等比数列；{an}为正项等比数列⇔{logaan}(a>0且a≠1)为等差数列．
[针对训练]
已知无穷数列{an}中，a1，a2，…，am是首项为2，公差为3的等差数列，am＋1，am＋2，…，a2m是首项为2，公比为2的等比数列(其中m≥3，m∈N*)，并对任意的n∈N*，均有an＋2m＝an成立．
(1)当m＝14时，求a1 000；
(2)若a52＝128，试求m的值．
解：由题设得an＝3n－1(1≤n≤m)，am＋n＝2n(1≤n≤m)．
(1)当m＝14时，数列的周期为28.
因为1 000＝28×35＋20，而a20是等比数列中的项，
所以a1 000＝a20＝a14＋6＝26＝64.
(2)显然，a52＝128不是数列{an}中等差数列的项．
设am＋k是第一个周期中等比数列中的第k项，则am＋k＝2k.
因为128＝27，所以等比数列中至少有7项，即m≥7，则一个周期中至少有14项．
所以a52最多是第三个周期中的项．
若a52是第一个周期中的项，则a52＝am＋7＝128，
所以m＝52－7＝45；
若a52是第二个周期中的项，则a52＝a3m＋7＝128，
所以3m＝45，m＝15；
若a52是第三个周期中的项，则a52＝a5m＋7＝128，
所以5m＝45，m＝9.
综上，m的值为45或15或9.
题型二　数列的新定义问题
[典例]　Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lg an]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.
(1)求b1，b11，b101；
(2)求数列{bn}的前1 000项和．
[思路点拨]
关键信息
信息转化
Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28
可以求得数列{an}的通项公式
bn＝[lg an]，[x]的定义
可以分别求出b1，b2，…，b1 000
数列{bn}的前1 000项和
分组求和

[解]　(1)设数列{an}的公差为d，
由已知得7＋21d＝28，解得d＝1.
所以数列{an}的通项公式为an＝n.
b1＝[lg 1]＝0，b11＝[lg 11]＝1，b101＝[lg 101]＝2.
(2)记{bn}的前n项和为Tn，
则T1 000＝b1＋b2＋…＋b1 000＝[lg a1]＋[lg a2]＋…＋[lg a1 000]，
当0≤lg an0，
因此c1＋c2＋c3＋…＋cn