(新高考)高考数学一轮考点复习8.7《直线与圆锥曲线的位置关系》学案 (含详解)

这是一份(新高考)高考数学一轮考点复习8.7《直线与圆锥曲线的位置关系》学案 (含详解)，共18页。
第七节　直线与圆锥曲线的位置关系
核心素养立意下的命题导向
1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养；
2．了解圆锥曲线的简单应用，凸显数学抽象、数学运算的核心素养．
3．通过学习直线与圆锥曲线的位置关系，凸显直观想象的核心素养．


[理清主干知识]
1．直线与圆锥曲线的位置关系
设直线l：Ax＋By＋C＝0，圆锥曲线C：F(x，y)＝0，
由消去y得到关于x的方程ax2＋bx＋c＝0.
(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线l与圆锥曲线C有两个公共点；
Δ＝0⇔直线l与圆锥曲线C有一个公共点；
Δ＜0⇔直线l与圆锥曲线C有零个公共点．
(2)当a＝0，b≠0时，圆锥曲线C为抛物线或双曲线．
当C为双曲线时，l与双曲线的渐近线平行或重合，它们的公共点有1个或0个．
当C为抛物线时，l与抛物线的对称轴平行或重合，它们的公共点有1个．
2．圆锥曲线的弦长公式
设斜率为k的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝|x1－x2|＝·＝|y1－y2|＝·.
[澄清盲点误点]
一、关键点练明
1．(直线与圆锥曲线的位置关系)过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有(　　)
A．1条　　　　　　　　 B．2条
C．3条 D．4条
解析：选C　结合图形分析可知，满足题意的直线共有3条：直线x＝0，过点(0,1)且平行于x轴的直线以及过点(0,1)且与抛物线相切的直线(非直线x＝0)．故选C.
2．(弦长公式)过抛物线y＝x2的焦点F作一条倾斜角为30°的直线交抛物线于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
题中的抛物线x2＝4y的焦点坐标是F(0,1)，
直线AB的方程为y＝x＋1，
即x＝(y－1)．由
消去x得3(y－1)2＝4y，
即3y2－10y＋3＝0，y1＋y2＝，
|AB|＝|AF|＋|BF|＝(y1＋1)＋(y2＋1)＝y1＋y2＋2＝.
答案：
二、易错点练清
1．(忽视相切与交点个数的关系)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　直线与双曲线相切时，只有一个公共点，但直线与双曲线相交时，也可能有一个公共点，例如：与双曲线的渐近线平行的直线与双曲线只有一个交点．故选A.
2．(忽略直线过定点)直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
解析：选A　直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，又点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．故选A.

考点一　直线与圆锥曲线的位置关系
[典例]　(1)过抛物线y2＝2x的焦点作一条直线与抛物线交于A，B两点，它们的横坐标之和等于2，则这样的直线(　　)
A．有且只有一条　　　　　 B．有且只有两条
C．有且只有三条 D．有且只有四条
(2)若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(0，＋∞)
C．(0,1)∪(1,5) D．[1,5)∪(5，＋∞)
[解析]　(1)设该抛物线焦点为F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AB|＝|AF|＋|FB|＝xA＋＋xB＋＝xA＋xB＋1＝3>2p＝2.所以符合条件的直线有且只有两条．
(2)由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则02，所以e＝＝ >＝.
考点二　弦长问题
[典例]　在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(2,1)，且离心率e＝.
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l的斜率为，直线l与椭圆C交于A，B两点．求△PAB面积的最大值．
[解]　(1)∵e2＝＝＝，∴a2＝4b2.
又椭圆C：＋＝1(a>b>0)过点P(2,1)，
∴＋＝1，∴a2＝8，b2＝2.
故所求椭圆方程为＋＝1.
(2)设l的方程为y＝x＋m，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，
联立整理得x2＋2mx＋2m2－4＝0.
∵Δ＝4m2－8m2＋16>0，解得|m|0)的焦点，与C交于A，B两点，且|AB|＝，则p＝(　　)
A. B．1
C．2 D．4
解析：选C　因为斜率为的直线过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，所以直线方程为y＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得32＝2px，
整理得3x2－5px＋p2＝0，
所以x1＋x2＝，因此＝x1＋x2＋p＝，
又＝，所以＝，解得p＝2.
3．(2020·新高考全国卷Ⅰ)斜率为的直线过抛物线C：y2＝4x的焦点，且与C交于A，B两点，则|AB|＝________.
解析：由题意得直线方程为y＝(x－1)，
联立得3x2－10x＋3＝0，∴xA＋xB＝，
∴|AB|＝1＋xA＋1＋xB＝2＋＝.
答案：
考点三　中点弦问题
[典例]　已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，点A，B分别为椭圆E的左、右顶点，点C在E上，且△ABC面积的最大值为2.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设F为E的左焦点，点D在直线x＝－4上，过F作DF的垂线交椭圆E于M，N两点．证明：直线OD平分线段MN.
[解]　(1)由题意得解得
故椭圆E的方程为＋＝1.
(2)证明：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(－4，n)，
线段MN的中点P(x0，y0)，则2x0＝x1＋x2,2y0＝y1＋y2，由(1)可得F(－1,0)，
则直线DF的斜率为kDF＝＝－，
当n＝0时，直线MN的斜率不存在，
根据椭圆的对称性可知OD平分线段MN.
当n≠0时，直线MN的斜率kMN＝＝.
∵点M，N在椭圆E上，∴
整理得：＋＝0，
又2x0＝x1＋x2,2y0＝y1＋y2，
∴＝－，直线OP的斜率为kOP＝－，
∵直线OD的斜率为kOD＝－，
∴直线OD平分线段MN.
[方法技巧]
1．“点差法”的4步骤
处理有关中点弦及对应直线斜率关系的问题时，常用“点差法”，步骤如下：

2．“点差法”的常见结论
设AB为圆锥曲线的弦，点P为弦AB的中点：
(1)椭圆＋＝1(a＞b＞0)中的中点弦问题：kAB·kOP＝－；
(2)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)中的中点弦问题：kAB·kOP＝；
(3)抛物线y2＝2px(p＞0)中的中点弦问题：kAB＝(y0为中点P的纵坐标)．　　
[针对训练]
1．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是x－y＋5＝0，弦的中点坐标是M(－4,1)，则椭圆的离心率是(　　)
A.　　　　　　　　　B.
C. D．
解析：选C　设直线x－y＋5＝0与椭圆＋＝1相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，因为AB的中点M(－4,1)，所以x1＋x2＝－8，y1＋y2＝2.易知直线AB的斜率k＝＝1.由两式相减得，＋＝0，所以＝ －·，所以＝，于是椭圆的离心率e＝＝ ＝.故选C.
2．在椭圆＋＝1中，以点M(1,2)为中点的弦所在直线方程为______________．
解析：设弦的两端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
代入椭圆方程得
两式相减得＋＝0，
所以＝－，
即－＝，
因为x1＋x2＝2，y1＋y2＝4，所以＝－，
故该直线方程为y－2＝－(x－1)，
即9x＋32y－73＝0.
答案：9x＋32y－73＝0
3．已知椭圆＋＝1(a>b>0)过点P，且左焦点与抛物线y2＝－4x的焦点重合．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m(k≠0)与椭圆交于不同的两点M，N，线段MN的中点记为A，且线段MN的垂直平分线过定点G，求k的取值范围．
解：(1)设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，
∵抛物线y2＝－4x的焦点坐标为(－1,0)，
∴椭圆的左焦点F1的坐标为(－1,0)，∴c＝1，
又∵椭圆过点P，
∴2a＝|PF1|＋|PF2|＝4，
∴a＝2，∴b＝.
∴椭圆的标准方程为＋＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，A(x，y)．
则两式相减得＝－，
即＝－·，
∴k＝－·，
∴点A的坐标满足方程y＝－x.①
又∵AG⊥MN，且直线AG过点G，
∴线段MN的垂直平分线AG：y＝－.②
联立①②
解得A.
∵点A在椭圆内部，∴＋，∴k>或k0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
结论1：x1·x2＝.
结论2：y1·y2＝－p2.
结论3：|AB|＝x1＋x2＋p＝(α是直线AB的倾斜角)．
结论4：＋＝为定值(F是抛物线的焦点)．

应用(一)　利用结论3或4解决问题
[例1]　过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若|AF|＝2|BF|，则|AB|等于(　　)
A．4　　　　　　　　　　B.
C．5 D．6
[解析]　法一：由对称性不妨设点A在x轴的上方，如图．
设A，B在准线上的射影分别为D，C，作BE⊥AD于E，
设|BF|＝m，直线l的倾斜角为θ，
则|AB|＝3m，
由抛物线的定义知|AD|＝|AF|＝2m，|BC|＝|BF|＝m，
所以cos θ＝＝，所以tan θ＝2.则sin2θ＝8cos2θ，所以sin2θ＝.又y2＝4x，知2p＝4，故利用弦长公式|AB|＝＝.
法二：因为|AF|＝2|BF|，＋＝＋＝＝＝1，解得|BF|＝，|AF|＝3，
故|AB|＝|AF|＋|BF|＝.
[答案]　B
应用(二)　利用结论3解决问题
[例2]　设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为(　　)
A.　　　 B.　　　 C.　　　 D.
[解析]　由2p＝3，及|AB|＝，
得|AB|＝＝＝12.
原点到直线AB的距离d＝|OF|·sin 30°＝，
故S△AOB＝|AB|·d＝×12×＝.
[答案]　D
应用(三)　利用结论1或4解决问题
[例3]　如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若F是AC的中点，且|AF|＝4，则线段AB的长为(　　)
A．5 B．6
C. D．
[解析]　法一：过A作l的垂线交l于点D，设l与x轴交于点E，由于F为AC的中点，所以EF为△ACD的中位线，所以p＝|AD|＝|AF|＝2.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AF|＝x1＋＝x1＋1＝4，所以x1＝3，又x1x2＝＝1，所以x2＝，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝3＋＋2＝.
法二：过A作l的垂线交l于点D，设l与x轴的交点为E，由于F为AC的中点，所以EF为△ACD的中位线，
所以p＝|AD|＝|AF|＝2.
因为＋＝，|AF|＝4，所以|BF|＝，所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝4＋＝.
[答案]　C


一、综合练——练思维敏锐度

1．直线y＝x＋3与双曲线－＝1的交点个数是(　　)
A．1　　　　　　　　　　 B．2
C．1或2 D．0
解析：选A　因为直线y＝x＋3与双曲线的渐近线y＝x平行，所以它与双曲线只有1个交点．
2．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线l与抛物线交于A，B两点，若A，B两点的横坐标之和为，则|AB|＝(　　)
A. B．
C．5 D．
解析：选D　过抛物线的焦点的弦长公式为|AB|＝p＋x1＋x2.∵p＝2，∴|AB|＝2＋＝.
3．(2021·佛山模拟)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，则双曲线的离心率为(　　)
A．2 B．
C. D．
解析：选D　∵过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F且斜率为1的直线与双曲线有且只有一个交点，∴根据双曲线的几何性质，所给直线应与双曲线的一条渐近线y＝x平行，∴＝1，由e＝＝＝.
4．已知直线l与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，若线段AB的中点为(2,1)，则直线l的方程为(　　)
A．y＝x－1 B．y＝－2x＋5
C．y＝－x＋3 D．y＝2x－3
解析：选D　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有①－②得y－y＝4(x1－x2)，由题可知x1≠x2.∴＝＝＝2，即kAB＝2，∴直线l的方程为y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.故选D.
5．(多选)设椭圆的方程为＋＝1，斜率为k的直线不经过原点O，而且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点．下列结论正确的是(　　)
A．直线AB与OM垂直
B．若点M坐标为(1,1)，则直线方程为2x＋y－3＝0
C．若直线方程为y＝x＋1，则点M坐标为
D．若直线方程为y＝x＋2，则|AB|＝
解析：选BD　对于A项，因为在椭圆中，根据椭圆的中点弦的性质kAB·kOM＝－＝ －2≠－1，所以A项不正确；对于B项，根据kAB·kOM＝－2，所以kAB＝－2，
所以直线方程为y－1＝－2(x－1)，即2x＋y－3＝0，所以B项正确；
对于C项，若直线方程为y＝x＋1，点M，则kAB·kOM＝1·4＝4≠－2，所以C项不正确；
对于D项，若直线方程为y＝x＋2，与椭圆方程＋＝1联立，得到2x2＋(x＋2)2－4＝0，整理得：3x2＋4x＝0，解得x1＝0，x2＝－，所以|AB|＝＝，所以D项正确．
6.如图，过椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F.若