(新高考)高考数学一轮考点复习10.6《概率与统计的综合问题》学案 (含详解)

这是一份(新高考)高考数学一轮考点复习10.6《概率与统计的综合问题》学案 (含详解)，共15页。

第六节　概率与统计的综合问题
题型一　概率与频率分布直方图的交汇
[典例]　(2021·西安一模)某超市每年10月份都销售某种桃子，在10月份的每天计划进货量都相同，进货成本为每千克16元，销售价为每千克24元；当天超出需求量的部分，以每千克10元全部卖出．根据往年销售经验，每天的需求量与当天最高气温(单位：℃)有一定关系：最高气温低于25 ℃，需求量为1 000千克；最高气温位于[25,30)内，需求量为2 000千克；最高气温不低于30 ℃，需求量为3 000千克．为了制订2020年10月份的订购计划，超市工作人员统计了近三年10月份的气温数据，得到如图所示的频率分布直方图．

以气温位于各区间的频率代替气温位于该区间的概率．
(1)求2020年10月份桃子一天的需求量X的分布列；
(2)设2020年10月份桃子一天的销售利润为Y元，当一天的进货量为多少千克时，E(Y)取到最大值？
[解]　(1)由题意知X的可能取值为1 000,2 000,3 000，
P(X＝1 000)＝(0.008 9＋0.031 1)×5＝0.2，
P(X＝2 000)＝0.080 0×5＝0.4，
P(X＝3 000)＝(0.046 7＋0.033 3)×5＝0.4.
所以X的分布列为
X
1 000
2 000
3 000
P
0.2
0.4
0.4
(2)设一天的进货量为n千克，则1 000≤n≤3 000.
①当1 000≤n<2 000时，
若最高气温不低于25 ℃，则Y＝8n；
若最高气温低于25 ℃，则Y＝1 000×8－(n－1 000)×6＝14 000－6n.
此时E(Y)＝0.8×8n＋0.2×(14 000－6n)＝5.2n＋2 800<13 200.
②当2 000≤n≤3 000时，
若最高气温不低于30 ℃，则Y＝8n；
若最高气温位于[25,30)内，则Y＝2 000×8－(n－2 000)×6＝28 000－6n；
若最高气温低于25 ℃，则Y＝1 000×8－(n－1 000)×6＝14 000－6n.
此时E(Y)＝0.4×8n＋0.4×(28 000－6n)＋0.2×(14 000－6n)＝14 000－0.4n≤13 200，当且仅当n＝2 000时取等号．
综上，当一天的进货量为2 000千克时，E(Y)取到最大值．
[方法技巧]
高考常将求概率与等可能事件、互斥事件、相互独立事件、超几何分布、二项分布等交汇在一起进行考查，因此在解答此类题时，准确把题中所涉及的事件进行分解，明确所求问题所属的事件类型是关键．特别是要注意挖掘题目中的隐含条件．　　

[针对训练]
“不忘初心、牢记使命”主题教育活动正在全国开展，某区政府为统计全区党员干部一周参与主题教育活动的时间，从全区的党员干部中随机抽取n名，获得了他们一周参加主题教育活动时间(单位：时)的频率分布直方图，如图所示，已知参加主题教育活动的时间在(12,16]内的人数为92.

(1)求n的值；
(2)估计这些党员干部一周参与主题教育活动时间的平均值以及中位数(中位数的结果精确到0.01)；
(3)用频率估计概率，如果计划对全区一周参与主题教育活动的时间在(16,24]内的党员干部给予奖励，且参与时间在(16,20]，(20,24]内的分别得二等奖和一等奖，从这些获奖人中随机抽取5人，求这5人中获得一等奖人数的分布列及期望．
解：(1)由已知可得，a＝1÷4－(0.025 0＋0.047 5＋0.050 0＋0.012 5)＝0.115 0，
0．115 0×4×n＝92，因而n＝＝200.
(2)这些党员干部一周参加主题教育活动时间的平均值约为
(6×0.025 0＋10×0.047 5＋14×0.115 0＋18×0.050 0＋22×0.012 5)×4＝13.64.
设中位数的估计值为x，则0.050 0×4＋0.012 5×4＋(16－x)×0.115 0＝0.5，得x≈13.83.
(3)由频率分布直方图知，这些获奖人中参与主题教育活动的时间在(16,20]的概率为＝，在(20,24]的概率为＝，
设抽取的5人中获得一等奖的人数为ξ，则ξ的可能取值为0,1,2,3,4,5.
P(ξ＝0)＝C×0×5＝，
P(ξ＝1)＝C×1×4＝，
P(ξ＝2)＝C×2×3＝，
P(ξ＝3)＝C×3×2＝，
P(ξ＝4)＝C×4×1＝，
P(ξ＝5)＝C×5×0＝，
则ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
4
5
P







法一：E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝1.
法二：易知ξ服从二项分布，所以E(ξ)＝5×＝1.
题型二　概率与统计、统计案例的交汇
[典例]　(2021·上饶一模)某晚会上，演员身穿独特且轻薄的石墨烯发热服，在寒气逼人的零下20 ℃的现场表演了精彩的节目．石墨烯发热服的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜，再把石墨烯发热膜铺到衣服内．
(1)从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶．现有A，B两种材料供选择，研究人员对附着在A材料上再结晶做了30次试验，成功28次；对附着在B材料上再结晶做了30次试验，成功20次．补充下面的2×2列联表，并判断是否有99.5%的把握认为试验是否成功与A材料和B材料的选择有关.

A材料
B材料
总计
成功



不成功



总计



(2)研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有四个环节，其中前三个环节每个环节生产合格的概率均为，每个环节不合格需要修复的费用均为200元；第四个环节生产合格的概率为，此环节不合格需要修复的费用为100元．问：一次生产出来的石墨烯发热膜成为合格品平均需要多少修复费用？
附：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.

P(K2≥k0)
0.100
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
[解]　(1)2×2列联表如下：

A材料
B材料
总计
成功
28
20
48
不成功
2
10
12
总计
30
30
60
K2＝≈6.667<7.879，
所以没有99.5%的把握认为实验是否成功与A材料和B材料的选择有关．
(2)设X为一次生产出石墨烯发热膜为合格品所需的修复费用，则X的可能取值为0,100,200,300,400,500,600,700，
P(X＝0)＝3×＝，
P(X＝100)＝3×＝，
P(X＝200)＝C×2×＝，
P(X＝300)＝C×2×＝，
P(X＝400)＝C2××＝，
P(X＝500)＝C2××＝，
P(X＝600)＝3×＝，
P(X＝700)＝3×＝，
E(X)＝0×＋100×＋200×＋300×＋400×＋500×＋600×＋700×＝333.
故一次生产出来的石墨烯发热膜成为合格品平均需要333元修复费用．

(1)概率常与随机抽样、频率分布直方图、统计、独立性检验、离散型随机变量的分布列、数学期望等综合，注意频率分布直方图的纵轴不表示频率．
(2)当题目中出现“在……条件(前提)下”等字眼时，所求概率一般为条件概率；若无上述字眼，但已发生的事件影响了所求事件的概率，也认为是条件概率．条件概率的公式需记牢，不要混淆事件A，B.也有不用条件概率的公式，根据实际意义求概率的，如“甲、乙比赛时，甲每局获胜的概率皆为，且各局比赛胜负互不影响，比赛采用五局三胜制．已知第一局乙获胜，求甲获胜的概率．”易得甲获胜的概率P＝3＋×C2×＝.　　
[针对训练]
某人经营淡水池塘养草鱼，根据过去40期的养殖档案，该池塘的养殖重量X(百斤)都在20百斤以上，其中不足40百斤的有8期，不低于40百斤且不超过60百斤的有24期，超过60百斤的有8期．根据统计，该池塘的草鱼重量的增加量y(百斤)与使用某种饵料的质量x(百斤)之间的关系如图所示．
(1)根据数据可知y与x具有线性相关关系，请建立y关于x的回归方程＝x＋；如果此人设想使用某种饵料10百斤时，草鱼重量的增加量须多于5百斤，请根据回归方程计算，确定此方案是否可行？并说明理由．
(2)养鱼的池塘对水质含氧量与新鲜度要求较高，某商家为该养殖户提供收费服务，即提供不超过3台增氧冲水机，每期养殖使用的冲水机运行台数与鱼塘的鱼重量X有如下关系：
鱼的重量
(单位：百斤)
20 40≤X≤60
X>60
冲水机只
需运行台数
1
2
3

若某台增氧冲水机运行，则商家每期可获利5千元；若某台冲水机未运行，则商家每期亏损2千元．视频率为概率，商家欲使每期冲水机总利润的均值达到最大，应提供几台增氧冲水机？
附：对于一组数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回归方程＝x＋的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝＝，＝－.
解：(1)依题意，＝5，＝4，(xi－)(yi－)＝6，
(xi－)2＝26，
∴＝＝，＝－＝4－×5＝，
∴＝x＋.当x＝10时，＝>5，故此方案可行．
(2)设盈利为Y，安装1台时，盈利Y＝5 000.
安装2台时，20 ∴E(Y)＝×3 000＋×10 000＝8 600.
安装3台时，2060，Y＝ 15 000，P＝.
∴E(Y)＝1 000×＋8 000×＋15 000×＝8 000.
∵8 600>8 000，故应提供2台增氧冲水机．
题型三　概率与函数、数列、不等式的交汇
[典例]　为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位(一套住宅为一户).
阶梯级别
第一阶梯
第二阶梯
第三阶梯
月用电范围/度
(0,210]
(210,400]
(400，＋∞)

某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：

居民用电户编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
用电量/度
53
86
90
124
132
200
215
225
300
410

(1)若规定第一阶梯的电价为每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算A居民用电户用电410度时应交电费多少元？
(2)现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到用电量为第二阶梯的户数的分布列与数学期望；
(3)以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电，现从全市中抽取10户，若抽到k户的用电量为第一阶梯的可能性最大，求k的值．
[解]　(1)210×0.5＋(400－210)×0.6＋(410－400)×0.8＝227(元)．
(2)设抽到用电量为第二阶梯的户数为ξ.由题意知，用电量为第二阶梯的用户有3户，则ξ的所有可能取值为0,1,2,3，
P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝，
P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝.
故ξ的分布列为
ξ
0
1
2
3
P





所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
(3)由题意知，从全市中抽取10户，用电量为第一阶梯的户数X满足X～B，可知
P(X＝k)＝Ck10－k(k＝0,1,2,3，…，10)．
由
解得≤k≤，k∈N*.
所以当k＝6时，概率最大，即抽到6户的用电量为第一阶梯的可能性最大．
[方法技巧]
在概率与统计的问题中，决策的工具是样本的数字特征或有关概率．决策方案的最佳选择是将概率最大(最小)或数学期望最大(最小)的方案作为最佳方案，这往往借助于函数、不等式或数列的有关性质去实现．　　

[针对训练]
1．上面[典例]其他条件不变，求居民一个月应交电费关于用电量n(n∈N)的函数解析式f(n)．
解：因为当0＜n≤210时，f(n)＝0.5n；
当210＜n≤400时，f(n)＝210×0.5＋(n－210)×0.6＝0.6n－21；
当n＞400时，f(n)＝210×0.5＋(400－210)×0.6＋(n－400)×0.8＝0.8n－101，
所以f(n)＝
2．设甲投球命中的概率为p.
(1)[考查不等式]如果甲一共投球4次，甲恰好投中2次的概率不大于其恰好投中3次的概率，试求p的取值范围．
(2)[考查基本不等式]如果甲一共投球6次，那么甲恰好命中3次的概率可能是吗？
(3)[与导数交汇]记甲3次投球中恰有2次投中的概率为q，则当p取何值时，q最大？
解：(1)由C·p2·(1－p)2≤C·p3·(1－p)，0＜p＜1，解得≤p＜1，故p的取值范围为.
(2)不可能．P(X＝3)＝C·p3·(1－p)3≤
203＝＜.
(3)由题意知q＝C·p2·(1－p)＝－3p3＋3p2，0＜p＜1，则q′＝－9p2＋6p＝－3p(3p－2)，易知在上q＝－3p3＋3p2为增函数，在上q＝－3p3＋3p2为减函数，故当p＝时，q取得最大值．

3．武汉又称江城，是湖北省省会，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多名胜古迹与旅游景点，黄鹤楼与东湖便是其中的两个．为合理配置旅游资源，现对已参观黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记1分，若继续游玩东湖记2分，每位游客选择是否参观东湖的概率均为，游客之间选择意愿相互独立．
(1)从游客中随机抽取3人，记这3人的总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望．
(2)①若从游客中随机抽取m(m∈N*)人，记这m人的总分恰为m分的概率为Am，求数列{Am}的前10项和；
②在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的人的累计得分恰为n分的概率为Bn，探讨Bn与Bn－1(n≥2)之间的关系，并求数列{Bn}的通项公式．
解：(1)X的所有可能取值为3,4,5,6.
P(X＝3)＝3＝，P(X＝4)＝C3＝，P(X＝5)＝C3＝，P(X＝6)＝3＝.
所以X的分布列为
X
3
4
5
6
P





所以E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＝.
(2)①总分恰为m分的概率Am＝m，
所以数列{Am}是首项为，公比为的等比数列．
其前10项和S10＝＝.
②因为已调查过的人的累计得分恰为n分的概率为Bn，得不到n分的情况只有先得(n－1)分，再得2分，概率为Bn－1(n≥2)，
所以1－Bn＝Bn－1(n≥2)，
即Bn＝－Bn－1＋1(n≥2)，
所以Bn－＝－(n≥2)，
所以Bn－＝n－1.易知B1＝，
所以Bn＝－n－1＝＋n＝＋.

1．调查表明，市民对城市的居住满意度与该城市环境质量、城市建设、物价与收入的满意度有极强的相关性．现将这三项的满意度指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不满意，1表示基本满意，2表示满意．再用综合指标ω＝x＋y＋z的值评定居民对城市的居住满意度等级：若ω≥4，则居住满意度为一级；若2≤ω≤3，则居住满意度为二级；若0≤ω≤1，则居住满意度为三级．为了解某城市居民对该城市的居住满意度，研究人员从此城市居民中随机抽取10人进行调查，得到如下结果：
人员编号
1
2
3
4
5
(x，y，z)
(1,1,2)
(2,1,1)
(2,2,2)
(0,1,1)
(1,2,1)






人员编号
6
7
8
9
10
(x，y，z)
(1,2,2)
(1,1,1)
(1,2,2)
(1,0,0)
(1,1,1)
(1)在这10名被调查者中任取2人，求这2人的居住满意度指标z相同的概率；
(2)从居住满意度为一级的被调查者中任取一人，其综合指标为m，从居住满意度不是一级的被调查者中任取一人，其综合指标为n，记随机变量X＝m－n，求随机变量X的分布列及其数学期望．
解：(1)记事件A为“从10名被调查者中任取2人，这2人的居住满意度指标z相同”，则居住满意度指标z为0的只有编号为9的1名；居住满意度指标z为1的编号有2,4,5,7,10共5名；居住满意度指标z为2的编号有1,3,6,8共4名．
从10名被调查者中任取2人，所有可能的结果为C＝45(种)，这2人的居住满意度指标z相同的结果为C＋C＝10＋6＝16(种)，所以在这10名被调查者中任取2人，这2人的居住满意度指标z相同的概率为P(A)＝.
(2)计算10名被调查者的综合指标，可列下表：
人员编号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
综合指标
4
4
6
2
4
5
3
5
1
3

其中居住满意度为一级的编号有1,2,3,5,6,8共6名，则m的值可能为4,5,6；居住满意度不是一级的编号有4,7,9,10共4名，则n的值可能为1,2,3，所以随机变量X所有可能的取值为1,2,3,4,5.
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
P(X＝3)＝＝，
P(X＝4)＝＝，
P(X＝5)＝＝，
所以随机变量X的分布列为
X
1
2
3
4
5
P





E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.
2．已知具有相关关系的两个变量x，y之间的几组数据如下表所示：

x
2
4
6
8
10
y
3
6
7
10
12

(1)请根据上表数据在图中绘制散点图；
(2)请根据上表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程＝x＋，并估计当x＝20时的值；
(3)将表格中的数据看作5个点的坐标，则从这5个点中随机抽取3个点，记落在直线2x－y－4＝0右下方的点的个数为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
参考公式：＝，＝－.
解：(1)散点图如图所示．

(2)依题意得，＝×(2＋4＋6＋8＋10)＝6，
＝×(3＋6＋7＋10＋12)＝7.6，
＝4＋16＋36＋64＋100＝220，
iyi＝6＋24＋42＋80＋120＝272，
＝＝＝1.1，
所以＝7.6－1.1×6＝1，
所以线性回归方程为 ＝1.1x＋1，
故当x＝20时，＝23.
(3)可以判断，落在直线2x－y－4＝0右下方的点的坐标满足2x－y－4>0，
所以符合条件的点的坐标为(6,7)，(8,10)，(10,12)，
故ξ的所有可能取值为1,2,3.
P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝＝＝，P(ξ＝3)＝＝，
故ξ的分布列为
ξ
1
2
3
P




E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.
3．2020年10月16日，是第40个世界粮食日．中国工程院院士袁隆平海水稻团队迎来了海水稻的测产收割，其中宁夏石嘴山海水稻示范种植基地YC801测产，亩产超过648.5千克，通过推广种植海水稻，实现了荒滩变粮仓，大大提高了当地居民收入．某企业引进一条先进食品生产线，以海水稻为原料进行深加工，发明了一种新产品，若该产品的质量指标值为m(m∈[70,100])，其质量指标等级划分如下表：
质量指标值m
[70,75)
[75,80)
[80,85)
[85,90)
[90,100]
质量指标等级
良好
优秀
良好
合格
废品


为了解该产品的经济效益并及时调整生产线，该企业先进行试生产．现从试生产的产品中随机抽取了1 000件，将其质量指标值m的数据作为样本，绘制频率分布直方图如图：
(1)若将频率作为概率，从该产品中随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件不是废品”为事件A，求事件A发生的概率．
(2)若从质量指标值m≥85的样本中利用分层抽样的方法抽取7件产品，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值m∈[90,95)的件数X的分布列及数学期望．
(3)若每件产品的质量指标值m与利润y(单位：元)的关系如下表(1 质量指标值m
[70,75)
[75,80)
[80,85)
[85,90)
[90,100]
利润y/元
6t
8t
4t
2t
－et

试分析生产该产品能否盈利，若不能，请说明理由；若能，试确定t为何值时，每件产品的平均利润达到最大．(参考数值：ln 2≈0.7，ln 5≈1.6)
解：(1)设事件A发生的概率为P(A)，将频率作为概率，则由频率分布直方图可得，随机抽取1件产品，为废品的概率P＝(0.04＋0.02)×5＝0.3，
则P(A)＝1－C(0.3)3＝1－0.027＝0.973.
(2)由频率分布直方图可知，质量指标值大于或等于85的产品中，
m∈[85,90)的频率为0.08×5＝0.4，
m∈[90,95)的频率为0.04×5＝0.2，
m∈[95,100]的频率为0.02×5＝0.1.
故利用分层抽样抽取的7件产品中，m∈[85,90)的有4件，m∈[90,95)的有2件，m∈[95,100]的有1件．
从这7件产品中任取3件产品，质量指标值m∈[90,95)的件数X的所有可能取值为0,1,2，
P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，
所以X的分布列为
X
0
1
2
P



所以E(X)＝0×＋1×＋2×＝.
(3)由频率分布直方图可得该产品的质量指标值m与利润y(元)的关系如下表所示(1 质量指
标值m
[70,75)
[75,80)
[80,85)
[85,90)
[90,100]
利润y/元
6t
8t
4t
2t
－et
P
0.05
0.1
0.15
0.4
0.3

故每件产品的平均利润y＝0.3t＋0.8t＋0.6t＋0.8t－0.5et＝2.5t－0.5et(1 则y′＝2.5－0.5et，令y′＝2.5－0.5et＝0，得t＝ln 5，
当t∈(1，ln 5)时，y′>0，函数y＝2.5t－0.5et单调递增；
当t∈(ln 5,4)时，y′<0，函数y＝2.5t－0.5et单调递减．
所以当t＝ln 5时，y取得最大值，最大值为2.5×ln 5－0.5eln 5≈1.5.
所以生产该产品能够盈利，当t＝ln 5≈1.6时，每件产品的平均利润取得最大值，约为1.5元．
4．某景点上山共有999级台阶，寓意长长久久．甲上台阶时，可以一步走一个台阶，也可以一步走两个台阶，若甲每步上一个台阶的概率为，每步上两个台阶的概率为.为了简便描述问题，我们约定，甲从0级台阶开始向上走，一步走一个台阶记1分，一步走两个台阶记2分，记甲登上第n个台阶的概率为Pn，其中n∈N*，且n≤998.
(1)若甲走3步时所得分数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)证明：数列{Pn＋1－Pn}是等比数列；
(3)求甲在登山过程中，恰好登上第99级台阶的概率．
解：(1)由题意可得X的所有可能取值为3,4,5,6，
则P(X＝3)＝3＝，
P(X＝4)＝C××2＝，
P(X＝5)＝C×2×＝，
P(X＝6)＝3＝，
所以X的分布列为
X
3
4
5
6
P




所以X的数学期望
E(X)＝3×＋4×＋5×＋6×＝5.
(2)证明：由题意可得Pn＋2＝Pn＋1＋Pn，
所以Pn＋2－Pn＋1＝－(Pn＋1－Pn)．
又P1＝，P2＝＋2＝，所以P2－P1＝≠0，
所以{Pn＋1－Pn}是以为首项，－为公比的等比数列．
(3)由(2)可得，
P99＝(P99－P98)＋(P98－P97)＋…＋(P2－P1)＋P1
＝＋＝－×98.