初中数学华师大版八年级上册第14章 勾股定理综合与测试单元测试课堂检测

第14章　勾股定理

时间:45分钟　满分:100分

一、选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意)　　　　　　　　 　　　　　　　

1.下列是勾股数的是 (　　)

A.1.5,2,2.5 B.,, 

C.9,40,41 D.6,7,8

2.如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍,那么斜边长扩大到原来的 (　　)

A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍

3.如图是由边长为1的小正方形组成的网格,点A,B都在格点上,则线段AB的长度为 (　　)

A.7 B.6 C.5 D.25

(第3题)　　　　(第6题)

4.在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(a-b)=c2,则 (　　)

A.∠A=90° B.∠B=90°

C.∠C=90° D.△ABC不是直角三角形

5.一架长10 m的梯子,斜靠在一面竖直的墙上,这时梯足距离墙角6 m,若梯子的顶端下滑2 m,则梯足将滑动 (　　)

A.0 m B.2 m C.1 m D.3 m

6.如图,一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发,轮船从港口O沿北偏西20°的方向航行60海里到达点M处,同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处,若M,N两点相距100海里,则∠NOF的度数为 (　　)

A.50°  B.60° C.70° D.80°

7.下列说法中正确的是 (　　)

A.已知a,b,c是三角形的三边,则a2+b2=c2

B.在直角三角形中两边的平方和等于第三边的平方

C.在Rt△ABC中,∠C=90°,则a2+b2=c2

D.在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,则AC=5

8.如图,在△ABC中,AB=20,AC=12,BC=16,点E为BC边上一点,不与B,C重合.连接AE,把△ABC沿AE折叠,使AB落在直线AC上,则CE的长为 (　　)

A.6 B.8 C.10 D.12

(第8题)　(第9题)　　(第10题)

9.如图,△ABC是等边三角形,点D是直线BC上的动点,连接AD,以AD为直角边作等腰直角三角形ADE,且使AD=AE.若AB=2,则△ADE的面积的最小值为 (　　)

A. B.2 C. D.

10.如图是一个长、宽、高分别为4,2,1的长方体木块,一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处,沿着长方体的表面到顶点B处吃食物,那么它需要爬行的最短路径的长是 (　　)

A.  B.5.4  C.6.1  D.5

二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)

11.用反证法证明命题“在一个三角形中,至少有一个内角小于或等于60°”的第一步应假设　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　. 

12.[教材变式P127第5题]如图,所有的四边形都是正方形,所有的三角形都是直角三角形,若正方形B,C,D的面积依次为4,3,9,则正方形A的面积为　　　　　　. 

(第12题)　(第13题)

13.如图,在四边形ABCD中,∠C=90°,BD平分∠ABC,AD=3,E为AB上一点,AE=4,ED=5,则CD的长为　　　　. 

14.[新风向·关注数学文化]《九章算术》是我国古代的数学名著,书中的“折竹抵地”问题:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,问折者高几何?大意是:如图,一根竹子,原高一丈(一丈=10尺),一阵风将竹子折断,其竹梢恰好抵地,抵地处离竹子底部3尺远,则折断处离地面的高度为　　　　尺. 

(第14题)　　(第15题)

15.[新风向·新定义试题]定义:如图,点M,N把线段AB分割成AM,MN和BN三条线段,若以线段AM,MN,BN为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点.已知点M,N是线段AB的勾股分割点,若AM=2,MN=3,则BN2=　　　　　　　　　. 

三、解答题(共5小题,共55分)

16.(9分)如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,AD=12,BD=16,CD=5.求△ABC的周长.

17.(10分)[教材变式P123第5题]如图,在四边形ABCD中,AB=13,BC=5,CD=15,AD=9,AC⊥BC.

(1)求AC的长;

(2)求四边形ABCD的面积.

18.(11分)如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点叫做格点.

　　　　　　　  　图(1)　　　　 　　图(2)　　　　　　图(3)

(1)在图(1)中以格点为顶点画一个面积为5的正方形;

(2)在图(2)中以格点为顶点画一个三角形,使三角形的三边长分别为2,,;

(3)如图(3),A,B,C是边长为1的小正方形的顶点,求∠ABC的度数.

19.(12分)如图,A市的工作人员早上6:00接到台风警报,在该市正南方向170 km的B处有一台风中心,正沿BC方向以15 km/h的速度移动,已知A市到BC的距离AD=80 km,在距台风中心100 km的圆形区域内会受到不同程度的影响.

(1)A市必须在几点之前做好应对台风的准备工作?

(2)求A市受台风影响的时长.

20.(13分)阅读下面的对话,然后解答下列问题.

老师:我们新定义一种三角形,两边平方和等于第三边平方的2倍的三角形叫做奇异三角形.

小华:等边三角形一定是奇异三角形!

小明:那直角三角形中是否存在奇异三角形呢?

(1)根据“奇异三角形”的定义,请你判断小华的说法是否正确,并给出理由.

(2)在Rt△ABC中,两边长的平方分别是a2=50,c2=100,这个三角形是否是奇异三角形?并说明理由.

(3)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=c,AC=b,BC=a,且b>a,若Rt△ABC是奇异三角形,求a2∶b2∶c2的值.

第14章　勾股定理

15.5或13　【解析】①当MN为最长线段时,∵点M,N是线段AB的勾股分割点,∴BN2=MN2-AM2=32-22=5;②当BN为最长线段时,∵点M,N是线段AB的勾股分割点,∴BN2=MN2+AM2=32+22=13.综上所述,BN2的值为5或13.

16.【参考答案】在Rt△ABD和Rt△ACD中,

根据勾股定理得,AB2=AD2+BD2,AC2=AD2+CD2, (4分)

∴AB==20,AC==13,

∴△ABC的周长=AB+AC+BC=AB+AC+BD+DC=20+13+16+5=54. (9分)

17.【参考答案】(1)∵AB=13,BC=5,AC⊥BC,

∴AC===12. (4分)

(2)∵AC=12,CD=15,AD=9,

∴CD2=AC2+AD2,

∴△ADC是直角三角形. (8分)

∴四边形ABCD的面积=BC·AC+AD·AC=×5×12+×9×12=84. (10分)

18.

【参考答案】(1)所画正方形如图(1)所示. (3分)

　　图(1)　　　　　　　图(2)　　　　　图(3)

(2)所画三角形如图(2)所示. (6分)

(3)连接AC,如图(3),

由勾股定理,得AC=BC=,AB=. (9分)

∵AC2+BC2=5+5=10=AB2,

∴△ABC为等腰直角三角形,且∠ACB=90°,

∴∠ABC=45°. (11分)

19.【参考答案】(1)如图,设AE=AF=100 km,则当台风中心移动到点E时,A市将会受到影响. (2分)

在Rt△AED中,由勾股定理,

得DE===60(km).　

在Rt△ABD中,由勾股定理,

得DB===150(km).

∴BE=BD-DE=150-60=90(km),  (6分)

∴90÷15=6(h).

∵ 6+6=12,

∴A市必须在12:00之前做好应对台风的准备工作. (9分)

(2)∵AE=AF,AD⊥BD,

∴DE=DF=60 km,

∴EF=120 km. (10分)

∵120÷15=8(h),

∴A市受台风影响的时长为8 h. (12分)

20.【参考答案】(1)正确. (1分)

理由:设等边三角形的边长为a.

∵a2+a2=2a2,符合奇异三角形的定义,

∴等边三角形一定是奇异三角形.

故“等边三角形一定是奇异三角形”的说法正确. (2分)

(2) 分两种情况讨论:

①当c为斜边时,Rt△ABC不是奇异三角形; (3分)

②当b为斜边时,Rt△ABC是奇异三角形. (4分)

理由如下:

①当c为斜边时,b2=c2-a2=50,

∴a=b,∴a2+c2≠2b2(或b2+c2≠2a2),

故Rt△ABC不是奇异三角形. (6分)

②当b为斜边时,b2=a2+c2=150.

∵a2+b2=200,2c2=200,∴a2+b2=2c2,

故Rt△ABC是奇异三角形. (8分)

(3)在Rt△ABC中,a2+b2=c2.

∵c>b>a>0,

∴2c2>a2+b2,2a2<b2+c2. (9分)

∵Rt△ABC是奇异三角形,

∴a2+c2=2b2,∴2b2=a2+(a2+b2),

∴b2=2a2,

∴c2=a2+b2=3a2, (12分)

∴a2∶b2∶c2=1∶2∶3. (13分)