高中数学竞赛专题1 集合（附解析）

这是一份高中数学竞赛专题1 集合（附解析），共33页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
【高中数学竞赛专题大全】
竞赛专题1 集合
（50题竞赛真题强化训练）
一、单选题
1．（2018·天津·高三竞赛）如果集合，，C是A的子集，且，则这样的子集C有（       ）个.
A．256 B．959 C．960 D．961
【答案】C
【解析】
【详解】
满足的子集C有个，所以满足的子集C有个.
故答案为C
2．（2020·浙江温州·高一竞赛）已知集合，则(             ).
A．
B．
C．或
D．或
【答案】A
【解析】
【详解】
，
又，
所以.
故选：A.
3．（2018·黑龙江·高三竞赛）已知集合，集合.若，则a的值是（       ）.
A．3或-1 B．0 C．-1 D．0或-1
【答案】D
【解析】
【详解】
，即直线与平行.
令，解得或-1
4．（2019·全国·高三竞赛）已知.若集合中任两个元素的和都不能被6整除，则集合中元素的个数最多为（       ）.
A．36 B．52 C．74 D．90
【答案】C
【解析】
【详解】
记，且.
易知.则集合中既不能同时有与或与中元素，也不能有中两个元素、中两个元素.要使中元素最多，可选与中全部元素，与中各一个元素.故最多共有个元素.
故答案为C
5．（2019·吉林·高三竞赛）集合A={2,0,1,3}，集合B={x|-x∈A,2-x2∉A}，则集合B中所有元素的和为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【详解】
由题意可得B={-2，-3}，则集合B中所有元素的和为-5.
故选：B.
二、填空题
6．（2018·四川·高三竞赛）设集合，若的非空子集满足，就称有序集合对为的“隔离集合对”，则集合的“隔离集合对”的个数为______.（用具体数字作答）
【答案】6050
【解析】
【详解】
设为的元子集，则为的补集的非空子集.所以，“隔离集合对”的个数为
.
故答案为6050.
7．（2018·湖南·高三竞赛）设集合，若，则实数m的取值范围为__________.
【答案】
【解析】
【详解】
由知，，而
.
当时，，即，此时成立.
当时，，即，由，得
解得.又，故得.
综上，有.
故答案为
8．（2021·全国·高三竞赛）已知，集合，若，则的值为_________．
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
依题意，．
若，则，所以．
若，则或1，矛盾．
若，则，于是或a，得或，舍去．
综上所述，．
故答案为：.
9．（2018·山东·高三竞赛）集合、满足，，若中的元素个数不是中的元素，中的元素个数不是中的元素，则满足条件的所有不同的集合的个数为______．
【答案】186       
【解析】
【详解】
设中元素个数为，则中元素个数为，
依题意，．
，，此时满足题设要求的的个数为．
其中，当时，不满足题意，故．
所以的个数为．
10．（2018·福建·高三竞赛）将正偶数集合从小到大按第组有个数进行分组：，，，…，则2018位于第______组．
【答案】27       
【解析】
【详解】
设2018在第组，由2018为第1009个正偶数，根据题意得，即．解得正整数．所以2018位于第27组．
11．（2021·全国·高三竞赛）在的非空真子集中，满足最大元素与最小元素之和为13的集合个数为___________.
【答案】1364
【解析】
【详解】
考虑这5组数，每一组可作为集合的最大元素和最小元素，
故所求集合的个数为，
故答案为：
12．（2021·全国·高三竞赛）已知集合，A是M的子集，当时，，则集合A元素个数的最大值为_______．
【答案】1895
【解析】
【详解】
解析：先构造抽屉：．使前100个抽屉中恰均只有2个数，且只有1个数属于A，可从集合M中去掉前100个抽屉中的数，剩下个数，作为第101个抽屉．
现从第1至100个抽屉中取较大的数，和第101个抽屉中的数，组成集合A，于是
，
满足A包含于M，且当时，．
所以的最大值为．
故答案为：1895.
13．（2021·全国·高三竞赛）设，子集之积数定义为G中所有元素之乘积（空集的积数为零），求X中所有偶数个元素之子集的积数的总和是_________．
【答案】##
【解析】
【详解】
解：设X中所有偶数个元素之子集的积数的总和是A，X中所有奇数个元素之子集的积数之和是B，则
，
．
解得．
故答案为：
14．（2020·江苏·高三竞赛）设，欧拉函数表示在正整数1，2，3，…，中与互质的数的个数，例如1，3都与4互质，2，4与4不互质，所以，则__________．
【答案】800
【解析】
【详解】
解析：法一：因为，
故能被2整除的数有1010个，能被5整除的数有404个，
能被101整除的数有20个，
既能被2整除又能被5整除的数有202个，
既能被2整除又能被101整除的数有10个，
既能被5整除又能被101整除的数有4个，
既能被2整除又能被5和101整除的数有2个．
故与2020不互质的有，则．
故答案为：800.
法二：.
故答案为：800.
15．（2021·浙江·高二竞赛）给定实数集合，，定义运算.设，，则中的所有元素之和为______.
【答案】29970
【解析】
【分析】
【详解】
由，
则可知所有元素之和为.
故答案为：29970.
16．（2021·全国·高三竞赛）从自然数中删去所有的完全平方数与立方数，剩下的数从小到大排成一个数列，则_________．
【答案】2074
【解析】
【分析】
【详解】
注意到，
我们考虑1到2025中出现的次数．这里有45个平方数，12个立方数，3个6次方数，
所以出现的次数为，
接下来直至2197前都没有平方数和立方数，
所以．
17．（2021·全国·高三竞赛）设正整数m、n，集合，,，满足对任意的，均有：，则________．
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
首先对S中任意两个不同元素，必有．
事实上，若，则（否则，这与矛盾）．
若，则，则，这与题意矛盾，
同理，亦与题意矛盾．
这样S中任意元素各不相同，
而共种情形，
则．
再令且，或且，此时．
故答案为：.
18．（2021·全国·高三竞赛）已知A与B是集合的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且为空集.若当时总有，则集合的元素个数最多为_______.
【答案】66
【解析】
【分析】
【详解】
先证，只须证，
为此只须证若A是的任一个34元子集，
则必存在，使得.证明如下：
将分成如下33个集合：
共12个；
共4个；
共13个；
共4个.
由于A是的34元子集，
从而由抽屉原理可知上述33个集合中至少有一个2元集合中的数均属于A，
即存在，使得.
如取，，
则A､B满足题设且.
故答案为：66.
19．（2021·全国·高三竞赛）设集合，且，则有_______个元素．
【答案】243
【解析】
【分析】
【详解】
将中元素按模9余数分类得：．
对每个，有分别属于，或均属于．
因此中共有个元素．
故答案为：243.
20．（2021·全国·高三竞赛）设为集合的子集，若存在正整数，使得对任意整数，总能找到正实数，满足，且在十进制表示下的所有数字（不包括开头的0）都属于集合，则的最小值为___（表示集合的元素个数）.
【答案】5
【解析】
【分析】
【详解】
第一步，证明，若，则其中两数（可相同）相加共10个值（4个加上个），而的个位数由这10个值的个位数产生，因此，这10个值的个位数不能重复；
在0、1、2、…、9中有五个奇数，五个偶数，
若四个元中0或4个奇数，不能加出奇数；
若四个元中有1个奇数，只能产生3个奇数；
若四个元中有2个奇数，只能产生4个奇数；
若四个元中有3个奇数，只能产生3个奇数；
因此.
第二步，构造一个五元组满足条件，稍加实验可得下表

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9

0
1
1
1
1
2
3
1
2
3

0
0
1
2
3
3
3
6
6
6

上表表明，0、1、2、…、9中的每个数字，都可以由中的两个相加得到，则对任意正整数，从个位数开始依次向高位遍历，将每位数都按表格中表示分解为两个数，赋值给对应的位置，遍历完毕后自然得到.
综上.
故答案为：5.
21．（2019·江西·高三竞赛）将集合{1，2，……，19}中每两个互异的数作乘积，所有这种乘积的和为_________ .
【答案】16815
【解析】
【详解】
所求的和为.
故答案为：16815．
22．（2019·河南·高二竞赛）称{1,2,3,4,5,6,7,8,9}的某非空子集为奇子集：如果其中所有数之和为奇数，则奇子集的个数为____________ .
【答案】256
【解析】
【详解】
全集{1，2，3，…，9}中含有5个奇数、4个偶数.根据奇子集的定义知，奇子集中只能含有1个奇数、3个奇数、5个奇数，而偶数的个数为0、1、2、3、4都有可能.
所以，奇子集共有：

个.
故答案为：256．
23．（2019·广西·高三竞赛）已知yz≠0，且集合{2x，3z，xy}也可以表示为{y，2x2，3xz}，则x=____________.
【答案】1
【解析】
【详解】
易知xyz≠0，由两集合各元素之积得.
经验证，x=1符合题意.
故答案为：1．
24．（2019·山东·高三竞赛）已知其中a