高中数学竞赛专题3 三角函数（附解析）

【高中数学竞赛专题大全】

竞赛专题3 三角函数

（50题竞赛真题强化训练）

一、单选题

1．（2018·吉林·高三竞赛）已知，则对任意，下列说法中错误的是（       ）

A． B． 

C． D．

【答案】A

【解析】

【详解】

由得，所以该式不一定成立，sinx有可能是负数，所以选项A错误；

.所以选项B正确；

=表示单位圆上的点和（-2,0）所在直线的斜率的绝对值，数形结合观察得到，所以选项C正确；

，所以选项D正确.

故答案为A

2．（2018·四川·高三竞赛）函数的最大值为（       ）.

A． B．1 C． D．

【答案】B

【解析】

【详解】

因为，令

，

则，于是

令，则.

由知或1.

因为，于是的最小值是，所以的最大值是.

故答案为:B

3．（2019·全国·高三竞赛）函数的值域为（       ）（表示不超过实数的最大整数）.

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【详解】

..

下面的讨论均视.

（1）当时，；

（2）当时，；

（3）当时，；

（4）当或时，；

（5）当时，；

（6）当时，；

（7）当时，.

综上，.

故答案为D

4．（2010·四川·高三竞赛）已知条件和条件．则是的（       ）．

A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】C

【解析】

【详解】

因，所以，是的充要条件．

5．（2018·全国·高三竞赛）在中，，，则的取值范围是（       ）.

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【详解】

由条件有

.

利用辅助角公式有

，

所以，或者或者,

即或者或者,亦即中有一个为.

若,则，所以，只能，此时，,矛盾；

若，则,所以，只能，从而，，亦矛盾. 选C.

二、填空题

6．（2018·江西·高三竞赛）若三个角、、成等差数列，公差为，则______．

【答案】       

【解析】

【详解】

根据，，

则，．

所以，，．

则．

故答案为-3

7．（2018·广东·高三竞赛）已知△ABC的三个角A、B、C成等差数列，对应的三边为a、b、c，且a、c、成等比数列，则___________.

【答案】

【解析】

【详解】

因为A、B、C成等差数列，，，因此.

又因为a、c、成等比数列，所以，.

由正弦定理，

整理得，，.

所以，，，.

故，所以.

故答案为

8．（2019·全国·高三竞赛）设锐角、满足，且，则__________．

【答案】

【解析】

【详解】

由已知等式得，

.

但锐角，故

.

故答案为

9．（2021·全国·高三竞赛）函数的最小正周期为____________．

【答案】

【解析】

【详解】

解析：当时，，

当时，，其中且，

画出图象可得函数周期为．

故答案为：.

10．（2021·浙江金华第一中学高三竞赛）设为定义在上的函数．若正整数满足，则的所有可能值之和为______．

【答案】12121

【解析】

【详解】

,

,

考虑的周期为4,分四种情况考虑

(1)当(为正整数)时,

,

所以;

(2)当时，,无正整数解;

(3)当时，,无正整数解;

(4)当时，,此时，

综上,或,

故答案为：12121.

11．（2021·全国·高三竞赛）在中，，则的值为__________．

【答案】7

【解析】

【详解】

解析：记中A、B、C所对的边分别是a、b、c，

如图，设内切圆的半径为，

则，，，

故，故，

即，

故答案为：7

12．（2021·全国·高三竞赛）已知满足，则的最小值是_______．

【答案】16

【解析】

【详解】

解析：

．

令，则

．

当时，，所以，

故．

故答案为：16

13．（2020·浙江·高三竞赛）已知，则的最大值为___________.

【答案】.

【解析】

【详解】

，

同理，

故，

而，

因为，故.

当且仅当时，各等号成立，

故答案为：.

14．（2021·全国·高三竞赛）已知三角形的三个边长成等比数列，并且满足.则的取值范围为___________.

【答案】

【解析】

【详解】

由条件，结合余弦定理，则有，

从而，而是最大角，从而.

故答案为：.

15．（2021·全国·高三竞赛）设，且，则实数m的取值范是___________.

【答案】

【解析】

【详解】

解析：

.

令，则，且，

于是，

为然m是上的减函数，所以，即.

故答案为：.

16．（2021·浙江·高三竞赛）在中，，.若动点，分别在，边上，且直线把的面积等分，则线段的取值范围为______.

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

如图所示，设,

所以,所以,

由余弦定理可得,,

易得,所以,

所以,

则的取值范围为.

故答案为：.

17．（2021·浙江·高三竞赛）若，则函数的最小值为______.

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

令，

,

当且仅当即时取等号.

故答案为：.

18．（2021·全国·高三竞赛）已知等腰直角的三个顶点分别在等腰直角的三条边上，记、的面积分别为、，则的最小值为__________．

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

（1）当的直角顶点在的斜边上，如图1所示，则P，C、Q，R四点共圆，，所以．

在、中分别应用正弦定理得．

又，故，即R为的中点．

过R作于H，则，

所以，此时的最小值为．

（2）当的直角顶点在的直角边上，如图2所示．

设，

则．

在中，，在中，

，

由正弦定理，，因此．

这样，，

当且仅当时取等号，此时的最小值为．

故答案为：.

19．（2021·全国·高三竞赛）满足方程的实数x构成的集合的元素个数为________．

【答案】14

【解析】

【分析】

【详解】

将方程变形为，．

两边同乘，运用积化和差和正弦的倍角公式，得：

，

即，

故或，

即或．

又因为在方程两边同时乘时，所以引入了增根（代入原方程检验可得）．

再结合，得所求结果为14．

故答案为：14.

20．（2021·全国·高三竞赛）设的三内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若，则值为_________．

【答案】1

【解析】

【分析】

【详解】

．

故答案为：1.

21．（2021·全国·高三竞赛）中，A、B、C的对边分别为a、b、c，O是的外心，点P满足，若，且，则的面积为_________．

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

由，得，即．

注意到，所以．

同理，，所以P是的垂心，

，

所以，，

所以．

故答案为：.

22．（2021·全国·高三竞赛）设的三个内角分别为A、B、C，并且成等比数列，成等差数列，则B为____________.

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

依题意，，

前一式积化和差可得，

后一式和差化积可得，

所以，

联立两式得或3（舍去），所以.

故答案为：.

23．（2021·全国·高三竞赛）如果三个正实数满足，，，则_________.

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

易知三个等式可化为

构造，其中.

设为内一点，使得.

因，则，

所以.

故答案为：.

24．（2021·全国·高三竞赛）设，则_________．

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

因为，所以：

．

令：，①

，②

①+②得：：

，

所以，即．

又，

则．

故答案为：.

25．（2021·全国·高三竞赛）已知，则的取值范围是________.

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

设，易得，即.

由于，所以，

解得.

故答案为：.

26．（2020·全国·高三竞赛）在中，，边上的中线长为，则的值为_______．

【答案】．

【解析】

【分析】

由中线长公式计算出的长度，然后运用余弦定理计算出的值，化简后即可求出结果.

【详解】

记M为的中点，由中线长公式得

，

可．

由余弦定理得，所以

．

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：解答本题关键是能够熟练运用中线长公式、余弦定理、倍角公式等进行计算，考查综合能力.

27．（2019·江苏·高三竞赛）已知函数的最小值为－6，则实数a的值为________ .

【答案】

【解析】

【详解】

令，则，

∴，

∴，

当，时，

函数的最小值为：，

解得：，不合题意，舍去；

当，时，

函数的最小值为：，

解得：，不合题意，舍去；

当，时，

函数的最小值为：，

解得：，满足题意.

故答案为：．

28．（2019·福建·高三竞赛）在△ABC中，若，AB=2，且，则BC=____________ .

【答案】

【解析】

【详解】

由，得，

即，所以.

结合，得.

所以由余弦定理，得：

所以.

故答案为：．

29．（2018·全国·高三竞赛）设是的三个内角.若,其中,,且,则______.

【答案】

【解析】

【详解】

因为,所以,为锐角,.

又,则.

于是.

若为钝角,则为锐角.

又为锐角,则矛盾.

从而,为锐角,且.

故,

则

30．（2018·全国·高三竞赛）在中，已知、、分别是、、的对边．若，，则______．

【答案】

【解析】

【详解】

由题设及余弦定理知

或．

而（舍去）．

因此，．

31．（2018·全国·高三竞赛）若对任意的，只要，就有，则正数的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【详解】

设的三边长分别为、、.

则①.

若，则 ；

若，令.

当，时，，式①不成立.

综上，.

32．（2018·全国·高三竞赛）在锐角中，的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【详解】

由 ，.

则，

故. 所以取值范围是.

33．（2019·全国·高三竞赛）已知单位圆上三个点，， 满足 .则__________.

【答案】

【解析】

【详解】

设，，，， .

由题设知的外心、重心、垂心重合，其为正三角形.

故，

.

故答案为

34．（2021·全国·高三竞赛）在中，，则的最大值为_______________．

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

令，则，即．

因为，

所以，

整理得，

，

化简得，

于是，得，

所以的最大值为．

故答案为：.

35．（2021·全国·高三竞赛）已知正整数，且，设正实数满足，则的最小值为_______．

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

令．

由题设可得，于是：

，

，

……

，

将上述各式利用均值不等式得：

，

，

……

，

再把上述个不等式相乘，得

，

即．

由于，故，

当且仅当时上式等号成立．

故答案为：.

36．（2021·全国·高三竞赛）设锐角的三个内角，满足，则的最小值为_______．

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

由题设可知，，则．

又由及

得，

即，

则，                                 ①

由，①式两边同时除以，

可得．

设，则，

由知，，则．

于是有，故，

从而有．

又，得，而．所以．故．

．

因为，于是求的最小值转化为求函数的最小值．

考虑函数，

即在上单调递增，从而．

因此的最小值在时取得，为．

由得，，从而，

故当，时，取得最小值．

故答案为：.

37．（2019·贵州·高三竞赛）在△ABC中，.则____________ .

【答案】

【解析】

【详解】

设△ABC中角A、B、C所对的边分别为a、b、c.

由，知G为△ABC的重心.

又GA⊥GB，所以.

得到.故：

.

故答案为：．

38．（2019·江西·高三竞赛）△ABC的三个内角A、B、C满足：A=3B=9C，则____________ .

【答案】

【解析】

【详解】

设，由得，

所以

.

注意括号中的诸角度构成公差为的等差数列，两边同乘，得到

.

所以，.

故答案为：．

三、解答题

39．（2021·全国·高三竞赛）在中，三内角A、B、C满足，求的最小值．

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

由，得：

，

所以．由正余弦定理，得，

所以，

当且仅当时等号成立，所以的最小值为．

40．（2021·全国·高三竞赛）解关于实数x的方程：（这里为不超过实数x的最大整数）

【答案】

【解析】

【分析】

【详解】

（1）当时，，此时原方程无解．

（2）当时，有．

（3）当时，令，

则，

故在上递增．有，即

于是，此时，

即，矛盾．故无解．

（4）当时，注意到，

且由，

知．

则，

与，矛盾．

故此时无解．

由（1）（2）（3）（4），知原方程的解集为．

41．（2021·全国·高三竞赛）已知点，其中，且坐标原点O恰好为的重心，判断是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

【答案】三角形面积为定值．

【解析】

【分析】

【详解】

先证明一个引理：若，则．

因为，

所以，

所以，

所以：

回到原题，连结、、，则：

．

由三角形的重心为原点得即

所以两式平方相加可得，所以，

同理，

所以，

故三角形面积为定值．

42．（2019·上海·高三竞赛）已知，且，求tanA的最大值.

【答案】

【解析】

【详解】

由题设等式可得，

所以.

令，则，

于是，，

这里是锐角，.所以，

注意到t>0，可得.

当时，题设等式成立.

所以，tanA的最大值为.

43．（2018·全国·高三竞赛）在中，证明：，当且仅当为正三角形时，上式等号成立.

【答案】见解析

【解析】

【详解】

如图，对，作其相伴.

则，，.

故.

由O、E、、F四点共圆得

则.

类似地，，

记的三边分别为，相应边上的高分别为，且其面积为S、

则.

其中，“”表示轮换对称和.

由熟知的不等式，得.

当且仅当为正三角形时，上式等号成立.

44．（2019·全国·高三竞赛）在△ABC中，若，证明:∠A＋∠B＝90°

【答案】见解析

【解析】

【详解】

由

=0

.

.

.

45．（2018·全国·高三竞赛）已知的三个内角满足,，求的值.

【答案】

【解析】

【详解】

由题设知 .

设,则,于是,.

故.

.

故

.

若舍，

从而,.

46．（2018·全国·高三竞赛）已知函数在有最大值2.求实数的值.

【答案】

【解析】

【详解】

注意到，

.

令.

则.

由，有以下两种情形.

（1）.

由，知 ，矛盾.

（2）.

若，即时，；

若，即时，

，矛盾；

若，即时，

，矛盾.

综上，.

47．（2019·全国·高三竞赛）求的最小值．

【答案】

【解析】

【详解】

注意到， ，

同理，，

而

，

，如图，作边长为1的正、、，在、上分别取点、使得，，联结、，则 ，其最小值就是线段的长度，即当时，.

48．（2021·全国·高三竞赛）求证：对任意的，都有．

【答案】证明见解析.

【解析】

【详解】

由于，只需证：

．

设，注意到：，

即，

又由于、、均大于0，则

，

从而．

所以，

所以对任意的，都有．

49．（2021·全国·高三竞赛）设是锐角，满足，求证：.

【答案】证明见解析

【解析】

【详解】

.

由于，所以.

由恒等式可知，

如果且，则，所以

.

所以.

50．（2019·河南·高二竞赛）锐角三角形ABC中，求证：.

【答案】证明见解析

【解析】

【详解】

原不等式等价于.

在三角形ABC中，，

.

令，则原不等式等价于.

而上式左边，故原不等式得证