高中数学竞赛专题16 导数与极限（附解析）

这是一份高中数学竞赛专题16 导数与极限（附解析），共44页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
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竞赛专题16 导数与极限
（50题竞赛真题强化训练）
一、填空题
1．（2019·全国·高三竞赛）函数的最大值是______.
【答案】.
【解析】
【详解】
设.则.
由，得.
令.解得（舍去负根）.
故.
故答案为
2．（2019·全国·高三竞赛）已知等比数列满足，则的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【详解】
设等比数列的公比为，由部分和的极根存在知则.解得.
3．（2019·全国·高三竞赛）称一个函数是“好函数”当且仅当其满足：
（1）定义在上；
（2）存在，使其在、上单调递增，在上单调递减．
则以下函数是好函数的有______．
①，             ②，
③，       ④．
【答案】①②③
【解析】
【详解】
①在、上单调递增，在上单调递减，满足定义．
②．
注意到．
故在、上单调递增，在上单调递减，满足定义．
③．
注意到．
（因为，所以，存在、为的两实根且．）
故在、上单调递增，在上单调递减，满足定义．
④．
注意到．
由于，则恒成立．
故在上单调递增，不满足定义．
故答案为①②③
4．（2019·全国·高三竞赛）函数在区间[0，3]上的最小值为_______.
【答案】
【解析】
【详解】
令.则
.
而，
故当时，，单调递减；当时，，单调递增.
所以，当t=3时，取得最小值,
，
即当x=1时，f(x)取最小值-53.
故答案为-53
5．（2019·全国·高三竞赛）关于的不等式的解集为______.
【答案】
【解析】
【详解】
原不等式可化为.
构造函数.
因为，
所以，函数在上是单调递增函数，且易知.
故只有一个实数根0.
进而知原不等式的解集为.
故答案为
6．（2019·山东·高三竞赛）设函数，那么f(x)的最大值是______ .
【答案】
【解析】
【详解】
，故f(x)在上单调递增，
所以f(x)的最大值为.
故答案为：．
7．（2019·全国·高三竞赛）满足的整数n=__________．
【答案】
【解析】
【详解】
注意到，对任意的有
则与的导函数分别为
，.
故在区间上递减，在区间上递增.
且对任意的有.
从而，对任意的m、n有.
因此，满足的整数n必为负数.
记，代入题设等式得.
故，.
故答案为-2015
8．（2019·全国·高三竞赛）设函数的图像关于直线对称.则对满足的任意实数，的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【详解】
由题意，知定义区间的中点为.于是，.
则

令，得.
由对任意的有，及对任意的有
知
记
则                 ①
由，得
即.
类似地，由式①得.
两式相加得.
当时，上式等号成立.
故.
故答案为
9．（2019·全国·高三竞赛）设．则当与两个函数图像相切时，______．
【答案】
【解析】
【详解】
因为两个函数互为反函数，且关于直线对称，
所以，相切时切点在上．
设切点为．则
，①
．②
将式①代入式②得，即．③
再将式①代入式③得．
故．
10．（2019·全国·高三竞赛）已知过点的直线与曲线交于两不同的点、.则曲线在、处切线交点的轨迹为______.
【答案】，.
【解析】
【详解】
设，，点、处的切线为、，交点坐标为，直线的方程为.
由.
而，.
易知的方程为.
同理，.
故，.
又.
故所求交点的轨迹为，.
故答案为，.
11．（2019·全国·高三竞赛）若函数 的图像上存在互相垂直的切线，则实数 是__________.
【答案】0
【解析】
【详解】
注意到，.
若函数上存在两条切线垂直，则存在、，使得



.
故答案为0
12．（2019·全国·高三竞赛）在各项均为正数的等比数列中，若，则的最小值是______.
【答案】
【解析】
【详解】
设公比为.由题设知.
由，得.
而.
令.则，且.
因为，所以时上式取最小值为.
13．（2019·全国·高三竞赛）已知数列满足，，且. 则______.
【答案】
【解析】
【详解】
由已知有，从而，.
故 .
于是，.
从而，.
另一方面，.
从而，成立.
14．（2019·全国·高三竞赛）某人练习打靶，开始时，他距靶，此时，进行第一次射击.若此次射击不中，则后退进行第二次射击，一直进行下去.每次射击前都后退，直到命中为止，已知他第一次的命中率为，且命中率与距离的平方成反比.则他能够命中的概率等于_________.
【答案】
【解析】
【详解】
记事件“第次射击命中”为，其概率为.则.
又第次射击时距离靶，
则.
于是，前次内命中的概率为


.
令，得.
因此，此人能够命中的概率是.
故答案为
15．（2019·全国·高三竞赛）已知数列满足，，，记，其中，表示不超过实数的最大整数.则_______.
【答案】
【解析】
【详解】
根据递推关系及初始值，易算得.
由， ①
得.   ②
得.
整理得.
则，
即.
所以，.
故是以为首项、8为公差的等差数列，即
.
则
.
由，知.于是，

.
所以，.
故答案为
16．（2019·全国·高三竞赛）设．则______.
【答案】1005
【解析】
【详解】
设．则
．
从而，，．
又由，得．
故
．
故答案为1005
17．（2019·全国·高三竞赛）联结正多面体各个面的中心，得到一个新的正多面体，我们称这个新正多面体为原多面体的正子体．一正方体的表面积为，它的正子体为，表面积为，的正子体为，表面积为，……如此下去，记第个正子体的表面积为．则________．
【答案】
【解析】
【详解】
由已知为正方体，为正八面体．设的边长为，如图易知．
                    
如图，计算得，．
易知，对于自然数，有，．
而，，，．
同样，，．
于是，可得，．
故 ．
18．（2019·全国·高三竞赛）四次多项式的四个实根构成公差为2的等差数列.则的所有根中最大根与最小根之差是_________.
【答案】
【解析】
【详解】
设的四个实根为
.
则.
令.则
.
故.
故的根为，0，则的根为.
故的最大根与最小根之差为.
19．（2021·全国·高三竞赛）若数列是首项不为零的等差数列，则___________.
【答案】1或3##3或1.
【解析】
【详解】
设数列的前项和为，则，
若为常数列，则；
若不为常数列，则，
故答案为：1或3.
20．（2021·全国·高三竞赛）两数列满足，且对任意正整数n，，则为___________.
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
易知两数列均为严格递增的正数列，且不同时存在极限（否则对递推式取极限得矛盾）.
将两个递推式等号两边加1，可得：

再取倒数可得
所以，
当时，由得，于是数列有极限，从而没有极限，即，
此时；
当时，，于是都没有极限.
此时，
当时，，所以，
于是数列有极限，没有极限，
此时.
综上可得：.
故答案为：.
21．（2021·浙江·高三竞赛）若，，，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
【详解】
解析:由题意知设,
问题转化为:若,求,
即与的图象的两个公共点的横坐标设为求的范围;

如图所示，易知,所以,所以.
故答案为：3.
22．（2019·四川·高三竞赛）已知a为实数，且对任意k∈[－1，1]当x∈(0，6]时，6lnx+x2－8x+a≤kx恒成立，则a的最大值是_____ .
【答案】6－6ln6
【解析】
【详解】
由题意，对k∈[－1，1]，在x∈(0，6]时恒成立，
所以，在x∈(0，6]时恒成立，
即a≤－x2－6lnx+7x在x∈(0，6]时恒成立.
设h(x)=－x2－6lnx+7x，x∈(0，6]，则.
所以.
因为x>0，所以当时，h'(x)>0，h(x)为增函数；
当x∈和(2，6]时h'(x)1，讨论f(x)在区间(0，1)上的单调性；
（2）设a>0，求f(x)的极值.
【答案】（1）减区间是，增区间是；（2）当a>1时，极小值为，极大值为；当a=1时，无极值；当01时，f(x)的减间是和[a，+∞)增区间是.
f(x)的极小值为，极大值为.
当a=1时，，f(x)无极值.
当00时，g(x)≥g(x0)>0，故当x>0时，.
48．（2019·全国·高三竞赛）如果一个多项式的系数都是自然数，则称为“自然多项式”.对正整数，用表示满足的不同自然多项式的个数.证明：.
【答案】见解析
【解析】
【详解】
首先证明：对任何正整数，有.              ①
事实上，对任何满足的自然多项式，因为奇数，所以，的常数项为奇数.令.则是自然多项式，且.
反之，对任何满足的自然多项式，令.则是自然多项式，且.
所以，.
对任何满足的自然多项式，若，令，则是自然多项式，且，这样的多项式有个；若
，令，则是自然多项式，且，故，这样的多项式有个.
所以，.
式①成立.
其次证明：对任何正整数，有.              ②
由式①可知，不减，且对，有

.
特别地，令，有.
故.
式②的右边获证.
取整数，使.
则.
取自然数组（），使，这样的数组（）有个.
对每个这样的数组，再取，其中，，令，则，且，有.
从而，是自然多项式.因此，.
故式②的左边获证.
由式②有.
令，得.
对任意的正整数，设.则，.
又由不减可知，.
则.
令，，得.
49．（2019·全国·高三竞赛）设求正实数，使得满足不等式的实数的集合是互不相交的区间的并集，且这些区间的长度总和为2009．
【答案】
【解析】
【详解】
考虑函数．
易知，当时，
，．
而在内是严格递减的连续函数，因此，在内恰好有一个实根（）．
又，而在于内都是严格递减的连续函数，于是，在内无实根，在内有唯一实根．
考虑方程．①
显然（）为方程①的实根．
又方程①左边为一个次多项式，则至多有个实根．
这说明（）是在对应区间内的唯一实根．
故不等式的解集是，其长度和为．
又在方程①中，次项系数为，次项系数为

，
故．
从而，所有区间长度之和为．
所以，．
50．（2019·全国·高三竞赛）求所有的实数组（a、b、c），使得对任何整数n，都有.其中，表示不超过实数x的最大整数.
【答案】见解析
【解析】
【详解】
首先证明：“使对任何整数n，都有”等价于“a、b中至少有一个为整数，且c=a+b”.
一方面，若a、b中至少有一个为整数，且c=a+b，则不妨设a为整数.那么，对任何整数n，na为整数.所以，.
于是， .
另一方面，若对任何整数n，都有.则分别取n=1、-1，
得，
两式相加得.
又对任何实数x，

于是，如果a、b都不是整数，则
故，矛盾.
所以，a、b中至少有一个为整数.
不妨设a为整数，那么，对任何整数n，na为整数，于是，.
则对任何整数n，.
即.
故
而
于是，.
综上，所求的实数组，，
其中，m、n为任意整数，t为任意实数.