第五章《一元函数的导数》章节测试卷

2019新教材A版数学学科高二年级选择性必修第二册

第五章《一元函数的导数》章节测试卷

一、单选题:

1.火车开出车站一段时间内，速度v（单位：米/秒）与行驶时间t（单位：秒）之间的关系是v(t)＝0.4t+0.6t2，则火车开出(       )秒时加速度为2.8米/.

A． B．2 C． D．

2.已知函数，则的值为（       ）

A． B．0 C．-1 D．

3.设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数可能为（       ）

A． B．

C． D．

4.现要做一个无盖的圆柱形水桶，若要使其容积为且用料最省，则水桶底面圆的半径为（       ）

A． B．3 C． D．

5.若函数在区间单调递增，则实数的取值范围是（          ）

A． B． C． D．

6.若函数与的图象只有一个公共点，且在这个公共点处的切线相同，则实数（    ）

A． B． C． D．

7.已知是函数的导函数，对任意，都有，且，则不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

二、双空题：

8.拋物线在点处的切线方程为______，倾斜角为______．

9.若函数的单调递减区间是，则其单调递增区间为______．实数的值为______．

三．填空题：

10.函数在处的切线的斜率为_________.

11.已知直线是函数的图象在点处的切线，则____．

12.设P为曲线C：y＝x2＋2x＋3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为________．

四、多选题：

13.已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A．函数存在两个不同的零点      B．函数既存在极大值又存在极小值

C．当时，方程有且只有两个实根

D．若时，，则的最小值为

14.已知函数，则下列结论正确的是（    ）

A． B．

C． D．

五.拓展题：

15.设函数，曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为7x-4y-12=0．

（1）求y=f（x）的解析式；

（2）证明：曲线y=f（x）上任一点处的切线与直线x=0和直线y=x所围成的三角形面积为定值，并求此定值．

16.函数.

（1）求的极大值和极小值；

（2）已知在区间D上的最大值为20，以下3个区间D的备选区间中，哪些是符合已知条件的？哪些不符合？请说明理由.①；②；③

六、创新题：

17.已知函数，.

（1）当时，求函数的单调区间；

（2）对任意的，恒成立，求的取值范围.

七、探究题：

18. 已知函数，．

（1）当时，求的单调区间；

（2）若在区间内单调递增，求a的取值范围；

（3）若存在单调递减区间，求a的取值范围．

同步练习答案

一、 单选题：

1.答案:B

解析:由题意可知，＝0.4+1.2t，

令0.4+1.2t＝2.8可得，t＝2（秒）．   故选：B．

2.答案：D

解析：因为  

所以

所以    故选：D.

3.答案：D

解析：由图象知，，的图象为增函数，则，

故排除A，C.

当时，的图象先增，后减，再增，

所以的图象先正，后负，再正，所以D正确.    故选：D

4.答案：B

解析：设水桶底面半径为，高为，用料面积为，

由题知：，所以，

所以，

，

因为在为增函数，且，

所以，，为减函数，

，，为增函数.

所以当时，取得最小值.        故选：B

5.答案：C

解析：  ∵ ，      ∴．

∵函数在单调递增，

  ∴在上恒成立，

即在上恒成立．      令，则，

∴当时，单调递增，  

  当时，单调递减．

∴．      ∴．选C．

6.答案:D

解析:设两个函数图象的公共点为，

根据题意，得即，

解式得或（舍去），代入第式，解得. 故选：D.

7.答案:D

解析：设，    ，

，    ，      ，

     ，      ，

即，    解得，    所以不等式解集为，

故选：D

二．双空题：

8.答案: 

解析：因为，则，，，

故所求切线方程为，即，

切线的倾斜角为.     故答案为：；.

9.答案： ，  ；  

解析：因为，

又因为的单调递减区间是，

所以的两个根为，，

即，解得．

且的解集为，所以的解集为

所以的单调递增区间是，，

故答案为：，   

三．填空题：

10.答案：1

   解析：由，得，    则，

所以在处的切线的斜率为1     故答案为：1.

11.答案：2.

解析：由于点在函数图象和直线上，

则，. 又由函数的导函数 可知，切线的斜率，有，和

则.

12.答案:

解析:由题意知y′＝2x＋2，设P(x0，y0)，则k＝2x0＋2.

∵曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为

∴0≤k≤1，即0≤2x0＋2≤1，故－1≤x0≤. 故答案为：.

四.多选题：

13.答案:A、B、C.

解析：对于A．，解得，所以A正确；

对于B．，

当时，，当时，或，

所以是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间，

所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确．

对于C．当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；

对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．

故选：A、B、C.

14.答案：A、B、D

解析：当时，，函数的定义域为，

，

令，得，当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

故当时，函数取得极小值，也是最小值，，

则，故选项A正确；

当时，，

则，

故，故选项B正确，选项C错误；

因为，所以，使成立，因此选项D正确.      故选：A、B、D.

五、拓展题：

15.答案:(1)；(2)证明见解析.

解析：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，

当x＝2时，y＝．   又f′(x)＝a＋，于是

解得       故f(x)＝x－．

(2)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知，曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(1＋)·(x－x0)，

即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．

令x＝0得，y＝－，从而得切线与直线x＝0，交点坐标为(0，－)．

令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．

所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积

为|－||2x0|＝6．

所以曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，此定值为6．

16,答案：（1）极大值25，极小值-7；

（2）区间①③不符，区间②符合，理由见解析.

解析：(1) ，令，

或，

当时，当时，

当时，

在和上单调递减，在上单调递增，

的极大值为，

极小值为

(2)当区间为①时，在上递减，在上递增，

，

所以，不符合题意；

当区间为②时，在上递减，在上递增，

，

，

所以，符合题意；

当区间为③时，在上递减，在上递增，

，

，    所以，不符合题意，  

综上可知：区间①③不符，区间②符合.

六、创新题：

17.答案：（1）的单调递增区间是，单调递减区间是和  

（2）

解析：（1）因为， 所以，  

所以    令，即，所以

令，即，所以  或

所以在上单调递增，在和上单调递减.  

所以的单调递增区间是，单调递减区间是和.

（2）因为，所以因为

所以对任意的，恒成立，即恒成立.

等价于恒成立.  

令 ()，所以

令  ()，所以

所以当时，

所以在上单调递增. 所以

所以当时，      所以在上单调递增.

所以   所以     即.

七、探究题：

18.答案:（1）的增区间是，减区间是；

(2）；        （3）．

解析：（1）当时，且定义域为，即，

∴若，得；若，得，

∴的增区间是，减区间是．

（2）由题意知：在内恒成立，

则恒成立，

令，则即可，

而在内的最小值为． ∴．

（3）依题意，在区间内有解，

即在区间内有解，

而对称轴为且开口向上，

∴必有，即．  ∴