八年级上册13.3.1 等腰三角形课后作业题

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2022人教版八年级数学上册第13章第13.3.1节-带答案和解析

副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。

第I卷（选择题）

一、选择题（本大题共9小题，共27.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角是(    )

A. 或 B. 或 C. 或 D. 或

2. 等腰三角形的顶角是，则这个三角形的一个底角的大小是(    )

A.  B.  C.  D.

3. 如图，在等腰中，为的平分线，，，，则(    )

A.
B.
C.
D.

4. 下列三角形中，不是等腰三角形的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 若一个等腰三角形的两边长分别为，，则第三边的长为(    )

A.  B.  C.  D. 或

6. 如图，，，，则图中等腰三角形的个数是  (    )

A.
B.
C.
D.

7. 如图，关于，给出下列四组条件：
   中，；
   中，，；
   中，，平分；
   中，，平分边．
   其中，能判定是等腰三角形的条件共有(    )

A. 组 B. 组 C. 组 D. 组

8. 如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径作弧，交于点，连接，则等于(    )

A.
B.
C.
D.

9. 下列说法：

三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形和等边三角形；

等边三角形是特殊的等腰三角形；  等腰三角形是特殊的等边三角形；

有两边相等的三角形一定是等腰三角形；
其中，说法正确的个数是(    )

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

第II卷（非选择题）

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

10. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则这个等腰三角形的顶角的度数为______．
11. 如图，在中，，，点在边上，、关于直线对称，的角平分线交边于点，连接，当的值等于______时，为等腰三角形．

12. 如图，在中，，，则_________．

13. 如图，在中，，和的平分线分别交于点、，若，，，则的长为          

三、解答题（本大题共7小题，共56.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

14. 本小题分
    如图，在中，，，是中点，连接点在线段上不与点，重合，连接，点在的延长线上且，连接．
    
    比较与的大小，并证明；
    用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
15. 本小题分

如图，在中，平分，交于点，是上一点，，交于点，交的延长线于点，交的延长线于点．

求证：是等腰三角形；

猜想与有什么数量关系？证明你的猜想．

16. 本小题分
    如图，在四边形中，，的平分线交的延长线于点，是的中点，连接并延长交于点．
    求证：平分．
    若，，求的度数．

17. 本小题分
    如图，在中，，是的中点，，垂足为，，求的度数．
     

18. 本小题分
    如图，，，分别为边上一点，且，．

若，求的度数；

若，直接写出的度数________．

19. 本小题分
    如图，在中，，是边上的中点，连接，平分交于点，过点作交于点．
     

若，求的度数；   

求证：   

20. 本小题分
    如图，已知，，和相交于点．
    求证：≌；
    判断的形状，并说明理由．
     

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】
此题主要考查等腰三角形的性质，熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，此题属于易错题．等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．
【解答】
解： 有两种情况；
如图：

当是锐角三角形时，于， 
则 
因为， 
所以；
如图：

当是钝角三角形时，于， 则．
因为， 
所以， 
所以， 
综合得：等腰三角形的顶角是或  
故选B．  

2.【答案】 

【解析】解：这个等腰三角形的一个底角为：，
故选：．
根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．
本题考查的是等腰三角形的性质、三角形内角和定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
 

3.【答案】 

【解析】解：在等腰中，为的平分线，，
，
，
，
，
，
，，
，
故选：．
根据等腰三角形的性质和判定得出，进而解答即可．
此题考查等腰三角形的判定与性质，关键是根据等腰三角形的性质和判定得出解答．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了三角形的内角和与等腰三角形的判定和定义．利用三角形的内角和为求出第三角是突破点．
由三角形的内角和判定选项ABC中的三角形是否为等腰三角形，选项由等腰三角形的定义判断．
【解答】
解：、由三角形的内角和为知：第三个角的大小为：，
选项中的图形不是等腰三角形．故A选项符合题意；
B、由三角形的内角和为知：第三个角的大小为：，
选项中的图形是等腰三角形．故B选项不符合题意；
C、由三角形的内角和为知：第三个角的大小为：，
选项中的图形是等腰三角形．故C选项不符合题意；
D、由图形中有两边长为知：选项D中的图形是等腰三角形．故D选项不符合题意；
故选：．  

5.【答案】 

【解析】解：是腰长时，三角形的三边分别为、、，
能组成三角形，
所以，第三边为；
是底边时，三角形的三边分别为、、，
，
不能组成三角形，
综上所述，第三边为．
故选：．
分是腰长与底边两种情况，再根据三角形任意两边之和大于第三边讨论求解即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，难点在于要分情况讨论．
 

6.【答案】 

【解析】解：，
与是等腰三角形，
在与中，
，
≌，
，
，
，
，
，
，
和是等腰三角形，
，
≌，
，
是等腰三角形，
故选：．
根据等腰三角形的判定定理得到与是等腰三角形，根据全等三角形的性质得到，推出和是等腰三角形，根据全等三角形的性质得到，得到是等腰三角形．
本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的判定等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．根据等腰三角形的判定定理逐个判断即可．
【解答】
解：、中，，
是等腰三角形，故正确；
、中，，，
，
，
是等腰三角形，故正确；
中，，平分，
，，
，，
，
是等腰三角形，故正确；
、中，，平分边，
，
是等腰三角形，故正确；
即正确的个数是，
故选D．  

8.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查了等腰三角形的性质，主要利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键．根据等腰三角形两底角相等求出，再求出，然后根据计算即可得解：
【解答】
解：，，
．
以为圆心，的长为半径的圆弧，交于点，
．
，
．
 ．
故选B．  

9.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查三角形的分类，等腰三角形的判定，等边三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识．
根据三角形的分类，等腰三角形的判定，等边三角形的判定一一判断即可．
【解答】
解：三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形，其中等腰三角形又可分为底和腰不相等的三角形和等边三角形，故错误．
等边三角形是特殊的等腰三角形，故正确．
等腰三角形不一定是等边三角形，故错误．
有两边相等的三角形一定是等腰三角形，故正确，
故选：．  

10.【答案】或 

【解析】

【分析】
本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，做题时，考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．本题要分当等腰三角形的顶角是钝角或者等腰三角形的顶角是锐角两种情况讨论即可．
【解答】
解：当为锐角三角形时，如图，

，，
，
三角形的顶角为；
当为钝角三角形时，如图，

，，
，
，
，
三角形的顶角为．
综上所述，这个等腰三角形的顶角的度数为或．  

11.【答案】，或 

【解析】解：，，
．
和关于直线对称，
≌，
，，
．
平分，
．
在和中，
，
≌，
．
，
．
当时，
．
，
，
．
当时，
．
，
．
，
．
当时，
，
，
，
．
当，或时，为等腰三角形．
故答案为：，或．
首先由轴对称可以得出≌，就可以得出，，在证明≌就可以得出，就可以求出的值；再分三种情况讨论解答即可，当时，就可以得出，根据，就有就可以求出结论；当时，就可以得出，就有，当时，，就有，从而求出结论．
本题考查了轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键．
 

12.【答案】 

【解析】解：中，，
，
，
，
故答案为．
首先利用等角对等边判定等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质直接得到边的长即可．
本题考查了等腰三角形的性质及判定，属于基础题，难度较小．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】
本题考查等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义，平行线的性质等知识，解题的关键是等腰三角形的证明，属于基础题．只要证明，即可解决问题．
【解答】
解：，
，，
和的平分线分别交于点、，
，，
，，
，，
，，，
，即，
，
故答案为．  

14.【答案】解：，
理由如下：连接，

，是的中点，
垂直平分线段，，
即，
，
，
，
，，
，

；
．
证明：在线段上取一点，使得，连接，

，是的中点，，
，
，
是等边三角形，
，，
，由可知
在和中，
，
≌，
，
，，
． 

【解析】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形性质，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定与性质以及全等三角形判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质．
连接，由等腰三角形的性质得出垂直平分线段，，证出，由等腰三角形的性质可得出结论；
在线段上取一点，使得，连接，证出是等边三角形，由等边三角形的性质得出，，证明≌，由全等三角形的性质得出，则可得出结论．
 

15.【答案】证明：如图

，

，，

平分，

，

，

，

即是等腰三角形；

解：理由如下：

证明：如上图所示，
，

，，

，

，

，

在和中，

≌，

，

平分，

，

，

，

，

，，

．

【解析】本题考查了等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，以及平行线的性质．
根据两直线平行，内错角相等可得，同位角相等可得，再根据角平分线的定义可得，然后求出即可得证；
根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，然后利用“”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再求出，再根据，，整理即可得解．
 

16.【答案】证明：平分，
．
，
，
，
，
是等腰三角形．
为的中点，
平分，
即平分．
解：，
．
，
．
平分，
．
，，
． 

【解析】根据角平分线的定义得到根据平行线的性质得到，推出是等腰三角形．根据等腰三角形的性质即可得到结论．
根据平行线的性质待定的根据角平分线的定义即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，判断出是等腰三角形是解题的关键．
 

17.【答案】解：，为的中点，

等腰三角形，三线合一，

，为的角平分线，

，

又，

．

【解析】本题主要考查了等腰三角形三线合一定理、与角平分线有关的三角形内角和问题，解题的关键在于判断出为的角平分线．根据题意可得，为等腰三角形，等腰三角形三线合一，故AD为的角平分线，即可得到的度数，且，的度数即可求得．
 

18.【答案】解：，
，

，
，
，



；

．

【解析】

【分析】

此题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质．

利用三角形内角和等于度可得，再利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得出，，再利用平角的定义计算即可．

解法同．

【解答】

见答案；

，
，

，
，
，



．

故答案为．

19.【答案】解：，
，
，
，
，，
，
，
．

证明：平分，
，
，
，
，
．

 

【解析】利用等腰三角形的三线合一的性质证明，再利用等腰三角形的性质求出即可解决问题．
只要证明即可解决问题．
本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
 

20.【答案】证明：，，，
≌；
是等腰三角形，
理由如下：
≌，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形． 

【解析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，灵活运用全等三角形的性质是本题的关键．
由“”可证≌；
由全等三角形的性质可得，由等腰三角形的性质可得，可求，可得，即可得结论．